Gol Hausdorff

În matematică, un gol Hausdorff (în Format:En) constă aproximativ din două colecții de secvențe de numere întregi, astfel încât să nu existe nicio secvență situată între cele două colecții. Primul exemplu a fost găsit deFormat:Harvard citations. Existența golurilor Hausdorff arată că ansamblul parțial ordonat al posibilelor rate de creștere a secvențelor nu este complet.

Definiție

Fie ${\omega }^{\omega }$ mulțimea tuturor secvențelor de numere întregi pozitive și să să definim $f<g$ să însemne $\lim (g(n)-f(n))=+\mathrm{\infty }$.

Dacă $X$ este o mulțime parțial ordonată și $\kappa$ și $\lambda$ sunt cardinale, atunci un pregol în $(\kappa ,\lambda )$ $X$ este un set de elemente $f_{\alpha }$ pentru $\alpha \in \kappa$ și un set de elemente $g_{\beta }$ pentru $\beta \in \lambda$ astfel încât:

• Secvența infinită numerabilă $f$ este strict crescătoare;
• Secvența infinită numerabilă $g$ este strict descrescătoare;
• Toate elementele din secvența $f$ sunt mai mici decât toate elementele din secvența $g$.

Un pregol se numește gol dacă îndeplinește condiția suplimentară:

• Nu există un element $h$ care să fie simultan mai mare decât toate elementele din $f$ și mai mic decât toate elementele din $g$.

Un gol Hausdorff este un gol $({\omega }_1,{\omega }_1)$ în ${\omega }^{\omega }$ astfel încât pentru fiecare ordinal numărabil $\alpha$ și orice număr natural $n$ există doar un număr finit de $\beta$ mai mic decât $\alpha$ astfel încât pentru toate $k>n$ avem $f_{\alpha }(k)<g_{\beta }(k)$.

Există variații ale acestor definiții, cu mulțimea ordonată ${\omega }^{\omega }$ înlocuită cu o mulțime similară. De exemplu, se poate redefini $f<g$ să însemne $f(n)<g(n)$ pentru toți $n$, cu excepția unui număr finit de $n$. O altă variantă introdusă de Format:Harvtxt este înlocuirea lui ${\omega }^{\omega }$ cu mulțimea tuturor submulțimilor lui $\omega$, cu ordinea dată de $A<B$ dacă $A$ are doar un număr finit de elemente care nu se află în $B$, dar $B$ are un infinit de elemente care nu sunt în $A$.

Existență

Este posibil să se demonstreze în ZFC că există goluri Hausdorff și goluri $(b,\omega )$ unde $b$ este cardinalitatea celei mai mici mulțimi nemărginite din ${\omega }^{\omega }$ și că nu există goluri $(\omega ,\omega )$. Axioma mai puternică de colorare deschisă poate exclude toate tipurile de goluri, cu excepția golurilor Hausdorff și a celor de tip $(\kappa ,\omega )$ cu $\kappa \ge {\omega }_2$.

Bibliografie

• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation

Legături externe

• Format:Springer