Număr întreg algebric

Format:Distinge În Format:Ill-wd un număr întreg algebric este un număr complex care este o rădăcină complexă a unui polinom monic (un polinom al cărui coeficient determinant este 1) ai cărui coeficienți sunt numere întregi. Mulțimea tuturor numerelor întregi algebrice Format:Mvar este închisă la adunare, scădere și înmulțire și, prin urmare, este un subinel comutativ al numerelor complexe.

Inelul numerelor întregi al unui Format:Ill-wd Format:Mvar, notat cu Format:Mvar, este intersecția lui Format:Mvar și Format:Mvar: poate fi caracterizat și ca ordinul maxim din corpul Format:Mvar. Fiecare număr întreg algebric aparține inelului de numere întregi a unui corp de numere. Un număr Format:Mvar este un număr întreg algebric dacă și numai dacă inelul $\mathbb{Z}[\alpha ]$ este un Format:Ill-wd, adică un $\mathbb{Z}$-Format:Ill-wd.

Definiții

Următoarele sunt definiții echivalente ale unui număr întreg algebric. Fie Format:Mvar un corp de numere (adică, o extindere finită a $\mathbb{Q}$, corpul numerelor raționale), cu alte cuvinte, $K=\mathbb{Q}(\theta )$ pentru un număr algebric $\theta \in ℂ$ prin Format:Ill-wd.

• Format:Math este un număr întreg algebric dacă există un polinom monic $f(x)\in \mathbb{Z}[x]$ astfel încât Format:Math.
• Format:Math este un număr întreg algebric dacă polinomul monic minimal în Format:Mvar peste $\mathbb{Q}$ este în $\mathbb{Z}[x]$.
• Format:Math este un număr întreg algebric dacă $\mathbb{Z}[\alpha ]$ este un $\mathbb{Z}$-modul finit generat.
• Format:Math este un număr întreg algebric dacă există un $\mathbb{Z}$-submodul nenul finit generat $M\subset ℂ$ astfel încât Format:Math.

Exemple

• Singurele numere întregi algebrice care se găsesc în mulțimea numerelor raționale sunt numerele întregi. Cu alte cuvinte, intersecția dintre $\mathbb{Q}$ și Format:Mvar este chiar $\mathbb{Z}$. Numărul rațional Format:Math nu este un număr întreg algebric decât dacă Format:Mvar este un divizor al lui Format:Mvar. De reținut că coeficientul determinant al polinomului Format:Mvar este întregul Format:Mvar. Ca un alt caz particular, rădăcina pătrată $\sqrt{n}$ dintr-un întreg nenegativ Format:Mvar este un număr întreg algebric, dar este irațional cu excepția cazului în care Format:Mvar este un pătrat perfect.
• Dacă Format:Mvar este un întreg liber de pătrate, atunci extinderea $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ este o extindere de corp pătratică de numere raționale. Inelul numerelor întregi algebrice Format:Mvar conține $\sqrt{d}$ deoarece aceasta este o rădăcină a polinomului monic Format:Math. În plus, dacă Format:Math, atunci elementul $\frac{1}{2}(1+\sqrt{d})$ este, de asemenea, un număr întreg algebric. El satisface polinomul Format:Math unde termenul constant Format:Math este un număr întreg. Inelul întreg de numere întregi este generat de $\sqrt{d}$ respectiv de $\frac{1}{2}(1+\sqrt{d})$. A se vedea Format:Ill-wd pentru mai multe.
• Inelul numerelor întregi ale corpului $F=\mathbb{Q}[\alpha ]$, Format:Math, are următoarea Format:Ill-wd, scriind Format:Math pentru doi întregi liberi de pătrate coprimi Format:Mvar și Format:Mvar:

$\{\begin{array}{cc}1,\alpha ,\frac{{\alpha }^2\pm k^2\alpha +k^2}{3k}& m\equiv \pm 1mod9\\ 1,\alpha ,\frac{{\alpha }^2}{k}& \text{altfel}\end{array}$

• Dacă Format:Mvar este a Format:Mvar-a rădăcină primitivă a unității, atunci inelul numerelor întregi al Format:Ill-wd $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ este chiar $\mathbb{Z}[{\zeta }_n]$.
• Dacă Format:Mvar este un număr întreg algebric, atunci Format:Math este alt număr întreg algebric. Un polinom în Format:Mvar se obține substituind Format:Math în polinomul în Format:Mvar.

Diverse

• Suma, diferența și produsul a două numere întregi algebrice este un număr întreg algebric. În general, câtul lor nu este. Polinomul monic implicat este, în general, de grad mai mare decât cel al numerelor întregi algebrice inițiale și poate fi găsit luând rezultantul și factorizarea. De exemplu, dacă Format:Math, Format:Math și Format:Math, atunci eliminând Format:Mvar și Format:Mvar din Format:Math și polinoamele satisfăcute de Format:Mvar și Format:Mvar folosind rezultantul se obține Format:Math, care este ireductibil și este ecuația monică satisfăcută de produs. (Pentru a vedea că Format:Mvar este o rădăcină a rezultatului Format:Mvar din Format:Math și Format:Math, s-ar putea folosi faptul că rezultantul este conținut în idealul generat de cele două polinoame de intrare.)
• Orice număr care poate fi construit din numere întregi cu rădăcini, adunare și înmulțire este, prin urmare, un întreg algebric. Dar nu toate numerele întregi algebrice sunt construibile astfel: într-un sens naiv, majoritatea rădăcinilor polinoamelor de gradul al cincilea ireductibile nu sunt. Aceasta este teorema Abel–Ruffini.
• Orice rădăcină a unui polinom monic ai cărui coeficienți sunt numere întregi algebrice este ea însăși un număr întreg algebric. Cu alte cuvinte, numerele întregi algebrice formează un inel care este un domeniu de integritate închis în oricare dintre extinderile sale.
• Inelul numerelor întregi algebrice este un Format:Ill-wd, ca o consecință a teoremei idealului principal.
• Dacă polinomul monic asociat unui număr întreg algebric are termenul constant 1 sau −1, atunci inversul acelui întreg algebric este, de asemenea, un întreg algebric și este o Format:Ill-wd, un element al grupului de unități al inelului de numere întregi algebrice.
• Orice număr algebric poate fi scris ca raportul dintre un număr întreg algebric și un număr întreg algebric diferit de zero. De fapt, numitorul poate fi întotdeauna ales să fie un întreg pozitiv. Mai exact, dacă Format:Mvar este un număr algebric care este o rădăcină a polinomului Format:Math cu coeficienți întregi și termenul principal Format:Mvar pentru Format:Math atunci Format:Mvar este raportul așteptat. În special, Format:Mvar este un număr întreg algebric deoarece este o rădăcină a lui Format:Math, care este un polinom monic în Format:Mvar cu coeficienți întregi.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book