Distanța de la un punct la o dreaptă

În geometria euclidiană distanța de la un punct la o dreaptă este cea mai scurtă distanță de la un punct dat până la orice punct situat pe o dreaptă dată. Distanța este lungimea segmentului care unește punctul cu cel mai apropiat punct de pe dreaptă. Acest punct de pe dreptă este piciorul perpendicularei dusă prin punct la dreaptă. Formula de calcul a distanței poate fi obținută și exprimată în mai multe moduri.

Cunoașterea distanței de la un punct la o dreaptă poate fi utilă de exemplu la găsirea celei mai scurte distanțe pentru a ajunge la un drum, la cuantificarea împrăștierii pe un grafic etc. În Regresia Deming, un tip de aproximare liniară a unei curbe, dacă variabilele dependente și independente au varianță egală, rezultă o regresie ortogonală, în care gradul de imperfecțiune al aproximării este măsurat pentru fiecare punct al datelor ca distanța punctului față de dreapta de regresie.

Dreapta definită de o ecuație

În cazul unei drepte din plan dată de ecuația Format:Math, unde Format:Mvar, Format:Mvar și Format:Mvar sunt numere reale constante cu Format:Mvar și Format:Mvar diferite de zero, distanța de la dreaptă la un punct Format:Math este:

$\mathrm{dist}(ax+by+c=0,(x_0,y_0))=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Punctul de pe această dreaptă care este cel mai apropiat de Format:Math are coordonatele:

$x=\frac{b(b{x}_0-a{y}_0)-ac}{a^2+b^2}$   și   $y=\frac{a(-b{x}_0+a{y}_0)-bc}{a^2+b^2}.$

Drepte orizontale și verticale

În ecuația generală a unei drepte, Format:Math, Format:Mvar și Format:Mvar nu pot fi ambele zero decât dacă Format:Mvar este și el zero, caz în care ecuația nu definește o dreaptă. Dacă Format:Math și Format:Math, dreapta este orizontală și are ecuația Format:Math. Distanța de la Format:Math la această dreaptă se măsoară de-a lungul unui segment vertical de lungime Format:Math, cum prevede formula. Similar, pentru drepte verticale (b = 0) distanța între același punct ți dreaptă este Format:Math și se măsoară de-a lungul unui segment orizontal.

Dreapta definită prin două puncte

Dacă drepta trece prin două puncte Format:Math și Format:Math atunci distanța de la punctul Format:Math la dreaptă este:

$\mathrm{dist}(P_1,P_2,(x_0,y_0))=\frac{|(x_2-x_1)(y_1-y_0)-(x_1-x_0)(y_2-y_1)|}{\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}}.$

Numitorul acestei expresii este distanța dintre punctele Format:Math și Format:Math. Numărătorul este de două ori aria triunghiului cu vârfurile în cele trei puncte, Format:Math, Format:Math și Format:Math. Expresia este echivalentă cu Format:Math, care poate fi obținută prin rearanjarea formulei standard pentru aria unui triunghi: Format:Math, unde Format:Mvar este lungimea unei laturi, iar Format:Mvar este înălțimea perpendiculară pe ea de la vârful opus.

Dreapta definită printr-un punct și un unghi

Dacă dreapta trece prin punctul Format:Math și formează unghiul Format:Math cu axa orizontală, atunci distanța punctului Format:Math la dreaptă este

$\mathrm{dist}(P,\theta ,(x_0,y_0))=|\cos (\theta )(P_y-y_0)-\sin (\theta )(P_x-x_0)|$

Altă formulă

Este posibilă și altă expresie pentru distanța cea mai scurtă dintre un punct și o dreaptă. Această metodă necesită, de asemenea, ca dreapta să nu fie verticală sau orizontală.

Fie punctul Format:Mvar cu coordonatele ($x_0,y_0$). Ecuația dreptei este $y=mx+n$. Ecuația normalei la această dreaptă și care trece prin Format:Mvar este $y=\frac{x_0-x}{m}+y_0$.

Punctul în care aceste două drepte se intersectează este cel mai apropiat punct de pe dreapta inițială de punctul Format:Mvar. Prin urmare:

$mx+n=\frac{x_0-x}{m}+y_0.$

Se rezolvă ecuația pentru x:

$x=\frac{x_0+m{y}_0-mn}{m^2+1}.$

Coordonata y a punctului de intersecție poate fi găsită prin înlocuirea valorii lui x în ecuația dreptei inițiale:

$y=m\frac{(x_0+m{y}_0-mn)}{m^2+1}+n.$

Folosind ecuația distanței dintre 2 puncte, $d=\sqrt{(X_2-X_1{)}^2+(Y_2-Y_1{)}^2}$, se obține formula pentru distanța dintre o dreptă și un punct:

$d=\sqrt{{\left(\frac{x_0+m{y}_0-mn}{m^2+1}-x_0\right)}^2+{\left(m\frac{x_0+m{y}_0-mn}{m^2+1}+n-y_0\right)}^2}=\frac{|n+m{x}_0-y_0|}{\sqrt{1+m^2}}.$

Ținând cont că m = −a/b și n = −c/b pentru ecuația dreptei ax + by + c = 0, o mică simplificare algebrică reduce aceasta la expresia standard.

Formulare vectorială

Ilustrarea formulării vectoriale

Ecuația unei drepte în formă vectorială este:

$𝐱=𝐚+t𝐧$

Aici Format:Math este un punct pe dreaptă, iar Format:Math este un versor în direcția dreptei. Apoi, pe măsură ce scalarul t variază, Format:Math dă locul geometric al dreptei.

Distanța unui punct arbitrar Format:Math la această dreaptă este dată de:

$\mathrm{dist}(𝐱=𝐚+t𝐧,𝐩)=\Vert (𝐩-𝐚)-((𝐩-𝐚)\cdot 𝐧)𝐧\Vert .$

Această formulă se obține în modul următor: $𝐩-𝐚$ este vectorul de la Format:Math la Format:Math. Atunci $(𝐩-𝐚)\cdot 𝐧$ este proiecția lungimii pe dreaptă și

$𝐚+((𝐩-𝐚)\cdot 𝐧)𝐧$

este vectorul care este proiecția lui $𝐩-𝐚$ pe dreaptă și reprezintă punctul de pe dreaptă cel mai apropiat de $𝐩$. prin urmare:

$(𝐩-𝐚)-((𝐩-𝐚)\cdot 𝐧)𝐧$

este componenta lui $𝐩-𝐚$ perpendiculară pe dreaptă. Distanța de la punct la dreaptă este chiar norma acelui vector. Această formulă generală nu este limitată la două dimensiuni.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Cite web

Lectură suplimentară

• Format:En icon Format:Citation

Vezi și

• Distanța de la un punct la un plan