Bipiramidă

O bipiramidă (simetrică) n-gonală este un poliedru format prin unirea unei piramide n-gonale cu imaginea ei în oglindă față de bază. O bipiramidă n-gonală are 2n fețe triunghiulare, 3n laturi (muchii) și 2 + n vârfuri.

n-gonul din numele unei bipiramide nu este o față, ci un poligon intern, baza situată în planul de oglindire care leagă cele două jumătăți de bipiramidă.

Bipiramide drepte, "regulate"

O bipiramidă „regulată” are ca bază un poligon regulat. De obicei o bipiramidă este dreaptă.

O bipiramidă „dreaptă” are două apexuri drept deasupra și drept dedesubtul centrului (sau centroidului) bazei.

O bipiramidă n-gonală (simetrică) dreaptă „regulată” are simbolul Schläfli Format:Nowrap}.

O bipiramidă (simetrică) dreaptă cu baza poligonul P are simbolul Schläfli Format:Nowrap.

Bipiramida n-gonală dreaptă „regulată” (deci tranzitivă pe fețe) cu vârfuri regulate este duala prismei uniforme n-gonale (deci dreaptă) și are fețele triunghiuri isoscele congruente.

O bipiramidă n-gonală (simetrică) dreaptă „regulată” poate fi proiectată pe o sferă ca o bipiramidă sferică n-gonală (simetrică) dreaptă „regulată”: n linii egal distanțate de longitudine care merg de la pol la pol și o linie ecuator care divide sfera în două.

Bipiramide din triunghiuri echilaterale

Doar trei tipuri de bipiramide pot avea toate laturile de aceeași lungime (ceea ce înseamnă că toate fețele sunt triunghiuri echilaterale, iar astfel bipiramida este un deltaedru): bipiramidele triunghiulară, tetragonală și pentagonală (simetrice) drepte „regulate”. Bipiramida tetragonală (sau „pătrată”) cu muchii de aceeași lungime, sau octaedrul regulat), se numără printre poliedrele platonice; bipiramidele triunghiulare și pentagonale cu laturi de aceeași lungime se numără printre poliedrele Johnson (J₁₂ și J₁₃).

Bipiramide cu triunghiuri echilaterale

Numele bipiramidei (simetrice) drepte „regulate”	Bipiramidă triunghiulară (J12)	Bipiramidă tetragonală (octaedru regulat)	Bipiramidă pentagonală (J13)
Imagine

Simetrie caleidoscopică

O bipiramidă n-gonală dreaptă „regulată” (simetrică) are grupul de simetrie diedrală D_nh, de ordinul 4n, cu excepția cazului unui octaedru regulat, care are simetria octaedrică mai mare, O_h, de ordinul 48, care are trei versiuni ale D_4h ca subgrupuri. grupul de rotație este D_n, de ordin 2n, cu excepția cazului unui octaedru regulat, care are grupul de rotație mai mare, O, de ordinul 24, care are trei versiuni de D₄ ca subgrupuri.

Cele 4n fețe triunghiulare ale unei bipiramide 2n-gonale (simetrice) drepte „regulate”, proiectate ca 4n fețe triunghiulare sferice ale unui bipiramide sferice 2n-gonale (simetrice) drepte „regulate”, reprezintă domeniile fundamentale ale simetrie diedrală în spațiul tridimensional: D_nh, [n,2], (*n 22), odin 4n. Aceste domenii pot fi afișate ca triunghiuri sferice colorate alternativ:

• într-un plan de reflexie prin laturi cociclice, domeniile imaginii în oglindă sunt în culori diferite (izometrie indirectă);
• față de o axă de rotație cu n-poziții prin vârfuri opuse, un domeniu și imaginea sa sunt în aceeași culoare (izometrie directă).

O bipiramidă (simetrică) n-gonală poate fi văzută ca un Kleetop al diedrului n-gonal „corespondent”.

Domeniile fundamentale ale simetriei diedrale în spațiul teidimensional

Simetrie diedrală	$D_{1h}$	$D_{2h}$	$D_{3h}$	$D_{4h}$	$D_{5h}$	$D_{6h}$	...	$D_{nh}$
Imaginile domeniilor fundamentale							...
Diagramă Coxeter	Format:CDD	Format:CDD	Format:CDD	Format:CDD	Format:CDD	Format:CDD	...	Format:CDD

Volum

Volumul unei bipiramide (simetrice) este

$V=\frac{2}{3}Bh$,

unde Format:Mvar este aria bazei, iar Format:Mvar este înălțimea (diastanța de la planul bazei la apex).

Asta funcționează pentru orice formă a bazei și pentru orice poziție a apexului, cu condiția ca Format:Mvar să fie măsurat ca distanța perpendiculară de la planul bazei poligonului intern. Prin urmare, volumul unei bipiramide (simetrice) a cărei bază este un poligon regulat cu Format:Mvar laturi și cu lungimea laturii Format:Mvar și a cărei înălțime este Format:Mvar este:

$V=\frac{n}{6}h{s}^2\mathrm{ctg}\frac{\pi }{n}$.

Exemplu de bipiramidă tetragonală (simetrică) concavă^†

Bipiramide oblice

Despre bipiramidele care nu sunt drepte se spune că sunt bipiramide oblice.

Bipiramide concave

O bipiramide concavă are baza un poligon concav.

^† Baza sa nu are un centroid evident; dacă vârfurile sale nu sunt drept deasupra/sub centrul de greutate al bazei sale, nu este o bipiramidă „dreaptă”. Oricum, este un octaedru concav. Format:-

Bipiramidă dreaptă asimetrică/inversată

Exemple de bipiramide hexagonale drepte asimetrice/inversate „regulate”

Asimetrică	Inversată

O bipiramidă dreaptă asimetrică unește două piramide drepte cu baze congruente, dar înălțimi inegale.

O bipiramidă dreaptă inversată unește două piramide drepte cu baze congruente, dar înălțimi inegale aflate de aceeași parte a bazei comune.

Dualul unei bipiramide drepte asimetrice/inversate este un trunchi

O bipiramidă n-gonală dreaptă asimetrică/inversată „regulată” are grupul de simetrie C_nv, de ordinul 2n.

Bipiramide stelate „regulate”

O bipiramidă stelată „regulată” are baza un poligon stelat.

O bipiramidă stelată simetrică dreaptă regulată poate fi realizată cu o bază poligon stelat regulat și două apexuri drept deaupra și dedesubtul centrului bazei, cu fețe triunghiulare care conectează laturile bazei cu apexurile. Fețele acestor bipiramide sunt triunghiuri isoscele congruente, iar bipiramida este izoedrică. Pentru o anumită înălțime a apexurilor triunghiurile pot fi echilaterale.

Diagrama Coxeter a unei {p/q}-bipiramide este Format:CDD.

Exemple de bipiramide stelate simetrice drepte regulate

Poligonul stelat al bazei	5/2-gon	7/2-gon	7/3-gon	8/3-gon	9/2-gon	9/4-gon
Imaginea bipiramidei stelate
Diagramă Coxeter	Format:CDD	Format:CDD	Format:CDD	Format:CDD	Format:CDD	Format:CDD
Poligonul stelat al bazei	10/3-gon	11/2-gon	11/3-gon	11/4-gon	11/5-gon	12/5-gon
Imaginea bipiramidei stelate
Diagramă Coxeter	Format:CDD	Format:CDD	Format:CDD	Format:CDD	Format:CDD	Format:CDD

În dimensiuni superioare

În general, o bipiramidă poate fi văzută ca un n-politop construită cu baza un (n−1)-politop într-un hiperplan și două puncte în direcții opuse, la distanță egală, perpendiculare pe hiperplan. Dacă (n−1)-politopul este un politop regulat, acesta va avea fațete piramidale identice. Un exemplu este 16-celule, care este o bipiramidă octaedrică și, mai general, un n-ortoplex este o (n−1)-bipiramidă ortoplex.

O bipiramidă bidimensională este un romb.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

Legături externe

• Format:Commonscat-inline
• Format:En icon Format:Mathworld
• Format:En icon Format:Mathworld
• Format:En icon The Uniform Polyhedra
• Format:En icon George Hart. Modele VRML <3> Format:Webarchive <4> Format:Webarchive <5> Format:Webarchive <6> Format:Webarchive <7> <8> Format:Webarchive <9> Format:Webarchive <10> Format:Webarchive
• Format:En icon Conway Notation for Polyhedra Try: "dPn", where n = 3, 4, 5, 6, ... example "dP4" is an octahedron.