Notația Coxeter

Domeniile fundamentale ale grupurilor punctuale de reflexie tridimensională

Format:CDD, [ ]=[1] C1v	Format:CDD, [2] C2v	Format:CDD, [3] C3v	Format:CDD, [4] C4v	Format:CDD, [5] C5v	Format:CDD, [6] C6v
Ordin 2	Ordin 4	Ordin 6	Ordin 8	Ordin 10	Ordin 12
Format:CDD [2]=[2,1] D1h	Format:CDD [2,2] D2h	Format:CDD [2,3] D3h	Format:CDD [2,4] D4h	Format:CDD [2,5] D5h	Format:CDD [2,6] D6h
Ordin 4	Ordin 8	Ordin 12	Ordin 16	Ordin 20	Ordin 24
Format:CDD, [3,3], Td		Format:CDD, [4,3], Oh		Format:CDD, [5,3], Ih
Ordin 24		Ordin 48		Ordin 120
Notația Coxeter prezintă grupurile Coxeter ca o listă ordonată de ramuri ale unei diagrame Coxeter, cum ar fi grupurile poliedrice, Format:CDD = [p,q]. Grupurile diedrale, Format:CDD, pot fi exprimate printr-un produs [ ]×[n] sau printr-un singur simbol cu o ramură explicită de ordinul 2, [2,n].

În geometrie notația Coxeter (sau simbol Coxeter) este un sistem de clasificare al grupurilor de simetrie, care descrie unghiurile dintre reflexiile fundamentale ale unui grup Coxeter într-o notație între paranteze care exprimă structura unei diagrame Coxeter–Dynkin, cu modificatori pentru a indica anumite subgrupuri. Notația este numită după H.S.M. Coxeter și a fost definită mai cuprinzător de Norman Johnson.

Grupuri de reflexie

La grupurile Coxeter, definite prin reflexii pure, există o corespondență directă între notația cu paranteze și diagrama Coxeter–Dynkin. Numerele din notația cu paranteze drepte reprezintă ordinea reflexiilor în oglindă în ramurile diagramei Coxeter. Folosește aceeași simplificare, suprimând 2s între planele de oglindire ortogonale.

Notația Coxeter este simplificată prin exponenți care reprezentă numărul de ramuri într-un rând pentru diagrama liniară.Grupul A_n este reprezentat de [3ⁿ⁻¹], pentru a descrie n noduri conectate prin n−1 ramuri de ordinul 3. Exemplul A₂ = [3,3] = [3²], respectiv [3^1,1] reprezintă diagramele Format:CDD, respectiv Format:CDD.

Inițial Coxeter a reprezentat diagramele bifurcate prin poziționarea verticală a numerelor, dar ulterior notația a fost abreviată la una cu exponenți, cum ar fi [...,3^p,q] sau [3^p,q,r], începând cu [3^1,1,1] sau [3,3^1,1] = Format:CDD sau Format:CDD pentru D₄. Coxeter admite zerourile drept cazuri particulare pentru a se potrivi cu familia A_n, de exemplu A₃ = [3,3,3,3] = [3^4,0,0] = [3^4,0] = [3^3,1] = [3^2,2], drept Format:CDD = Format:CDD = Format:CDD.

Grupurile Coxeter formate din diagrame ciclice sunt reprezentate prin paranteze rotunde între parantezele drepte, cum ar fi [(p,q,r)] = Format:CDD pentru Format:Ill-wd (p q r). Dacă ordinele ramurilor sunt egale, ele pot fi grupate printr-un exponent între paranteze drepte, care indică lungimea ciclului, de exemplu [(3,3,3,3)] = [3^[4]], reprezentând diagramele Coxeter Format:CDD sau Format:CDD. Format:CDD poate fi reprezentată prin [3,(3,3,3)] sau [3,3^[3]].

Diagramele în buclă mai complicate pot fi și ele exprimate, dar cu grijă. Grupul Coxeter paracompact Format:CDD poate fi reprezentat prin notația Coxeter [(3,3,(3),3,3)], cu paranteze imbricate, având două bucle [(3,3,3)] adiacente și care poate fi reprezentat mai compact prin [3^[ ]×[ ]], reprezentând simetria rombică a diagramei Coxeter. Graful complet al diagramei paracompacte Format:CDD sau Format:CDD este reprezentat ca [3^[3,3]] cu exponentul [3,3] pentru simetria diagramei sale Coxeter a tetraedrului regulat.

De obicei în diagrama Coxeter ramurile de ordinul 2 nu sunt trasate, dar notația cu paranteze are un 2 explicit pentru a conecta subgrafurile. Deci diagrama Coxeter Format:CDD = A₂×A₂ = 2A₂ poate fi reprezentat prin [3]×[3] = [3]² = [3,2,3]. Uneori ramurile explicite de ordinul 2 pot fi descrise fie cu o etichetă 2, fie cu o linie cu un interval: Format:CDD sau Format:CDD, ca o prezentare identică cu [3,2,3].

Grpuri finite Rang Simbolul grupului Notația cu paranteze  Diagramă  Coxeter 2 A2 [3] Format:CDD 2 B2 [4] Format:CDD 2 H2 [5] Format:CDD 2 G2 [6] Format:CDD 2 I2(p) [p] Format:CDD 3 Ih, H3 [5,3] Format:CDD 3 Td, A3 [3,3] Format:CDD 3 Oh, B3 [4,3] Format:CDD 4 A4 [3,3,3] Format:CDD 4 B4 [4,3,3] Format:CDD 4 D4 [31,1,1] Format:CDD 4 F4 [3,4,3] Format:CDD 4 H4 [5,3,3] Format:CDD n An [3n−1] Format:CDD..Format:CDD n Bn [4,3n−2] Format:CDD...Format:CDD n Dn [3n−3,1,1] Format:CDD...Format:CDD 6 E6 [32,2,1] Format:CDD 7 E7 [33,2,1] Format:CDD 8 E8 [34,2,1] Format:CDD

Grupuri afine Simbolul grupului Notația cu paranteze    Diagramă    Coxeter ${\tilde{I}}_1,{\tilde{A}}_1$ [∞] Format:CDD ${\tilde{A}}_2$ [3[3]] Format:CDD ${\tilde{C}}_2$ [4,4] Format:CDD ${\tilde{G}}_2$ [6,3] Format:CDD ${\tilde{A}}_3$ [3[4]] Format:CDD ${\tilde{B}}_3$ [4,31,1] Format:CDD ${\tilde{C}}_3$ [4,3,4] Format:CDD ${\tilde{A}}_4$ [3[5]] Format:CDD ${\tilde{B}}_4$ [4,3,31,1] Format:CDD ${\tilde{C}}_4$ [4,3,3,4] Format:CDD ${\tilde{D}}_4$ [ 31,1,1,1] Format:CDD ${\tilde{F}}_4$ [3,4,3,3] Format:CDD ${\tilde{A}}_n$ [3[n+1]]       Format:CDD...Format:CDD sau Format:CDD...Format:CDD ${\tilde{B}}_n$ [4,3n−3,31,1] Format:CDD...Format:CDD ${\tilde{C}}_n$ [4,3n−2,4] Format:CDD...Format:CDD ${\tilde{D}}_n$ Format:Nowrap Format:CDD...Format:CDD ${\tilde{E}}_6$ [32,2,2] Format:CDD ${\tilde{E}}_7$ [33,3,1] Format:CDD ${\tilde{E}}_8=E_9$ [35,2,1] Format:CDD

Grupuri hiperbolice Simbolul grupului Notația cu paranteze Diagramă Coxeter [p,q]   cu Format:Nowrap Format:CDD [(p,q,r)]   cu $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}<1$ Format:CDD ${\overline{BH}}_3$ [4,3,5] Format:CDD ${\bar{K}}_3$ [5,3,5] Format:CDD ${\bar{J}}_3,{\tilde{H}}_3$ [3,5,3] Format:CDD ${\overline{DH}}_3$ [5,31,1] Format:CDD ${\widehat{AB}}_3$ [(3,3,3,4)] Format:CDD  ${\widehat{AH}}_3$ [(3,3,3,5)] Format:CDD  ${\widehat{BB}}_3$ [(3,4,3,4)] Format:CDD ${\widehat{BH}}_3$ [(3,4,3,5)] Format:CDD ${\widehat{HH}}_3$ [(3,5,3,5)] Format:CDD ${\bar{H}}_4,{\tilde{H}}_4,H_5$ [3,3,3,5] Format:CDD ${\overline{BH}}_4$ [4,3,3,5] Format:CDD ${\bar{K}}_4$ [5,3,3,5] Format:CDD ${\overline{DH}}_4$ [5,3,31,1] Format:CDD ${\widehat{AF}}_4$ [(3,3,3,3,4)] Format:CDD

Pentru grupurile afine și hiperbolice, indicele este cu unul mai mic decât numărul de noduri în fiecare caz, deoarece fiecare dintre aceste grupuri a fost obținut prin adăugarea unui nod la diagrama unui grup finit.

Există numeroase extensii ale notației Coxeter, folosite pentru subgrupuri.

Bibliografie

• H.S.M. Coxeter:

• Format:En icon Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, Format:ISBN [1]

• (Paper 22) Format:Citation
• (Paper 23) Format:Citation
• (Paper 24) Format:Citation

• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
• Format:En icon Norman Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966)

• Format:En icon Norman Johnson and Asia Ivic Weiss Quadratic Integers and Coxeter Groups Format:Webarchive PDF Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336
• Format:En icon Norman Johnson: Geometries and Transformations, (2018) Format:ISBN Chapter 11: Finite symmetry groups [2]

• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon John H. Conway and Derek A. Smith, On Quaternions and Octonions, 2003, Format:ISBN
• Format:En icon John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), The Symmetries of Things, Format:ISBN Ch.22 35 prime space groups, ch.25 184 composite space groups, ch.26 Higher still, 4D point groups