Transformare echiareală

Format:Note de subsol2 În geometria diferențială o transformare echiareală este o Format:Ill-wd dintr-o suprafață la alta, transformare care conservă ariile figurilor.

Proprietăți

Dacă M și N sunt două suprafețe în spațiul euclidian R³, atunci o transformare echiareală f poate fi caracterizată prin oricare dintre următoarele condiții echivalente:

• Aria suprafeței f(U) este egală cu aria U pentru fiecare mulțime deschisă U din M.
• În fiecare punct p din M și vectorii tangenți v și w la p din M,

$|d{f}_p(v)\times d{f}_p(w)|=|v\times w|$

unde × indică produsul vectorial euclidian al vectorilor iar df este aproximarea funcției f în planul tangent local.

Exemple

Un exemplu de transformare echiareală, datorată lui Arhimede, este proiecția din sfera unitate Format:Nowrap pe cilindrul unitate Format:Nowrap față de axa lor comună. O formulă explicită este

$f(x,y,z)=(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},z)$

pentru (x, y, z) un punct de pe sfera unitate.

Transformări liniare

Orice izometrie euclidiană a planului euclidian este echiareală, dar invers nu este adevărat. Contraexemple la afirmația inversă sunt transformarea de Format:Ill-wd sau Format:Ill-wd.

Forfecarea transformă un dreptunghi într-un paralelogram cu aceeași arie. Scrisă sub formă de matrice, o transformare de forfecare de-a lungul axei Format:Mvar este

$\left(\begin{array}{cc}1& v\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+vy\\ y\end{array}\right).$

Rotația hiperbolică prelungește și contractă laturile unui dreptunghi într-o astfel de manieră încât aria să se conserve. Scris sub formă de matrice, cu λ > 1 rotația hiperbolică este

$\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& 1/\lambda \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda x\\ y/\lambda .\end{array}\right)$

O transformare liniară $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ înmulțește aria cu valoarea absolută a determinantului său, |Format:Math|.

Format:Ill-wd arată că orice transformare liniară echiareală (inclusiv rotațiile) poate fi obținută prin compunerea a cel mult două forfecări de-a lungul axelor, o rotație hiperbolică și (dacă determinantul este negativ), o reflexie.

În proiecțiile cartografice

În contextul hărților, o proiecție cartografică echiareală se numește echivalentă dacă ariile sunt conservate până la un factor constant. La încorporarea hărții avută în vedere, în mod evident în R³, dar de obicei considerată un subset al lui R², cerința de mai sus este relaxată la:

$|d{f}_p(v)\times d{f}_p(w)|=\kappa |v\times w|$

pentru unele Format:Nowrap care nu depind de $v$ și $w$.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Citation