Unghi la centru

Unghiul AOB este un unghi la centru

Un unghi la centru este un unghi al cărui vârf este centrul Format:Math al unui cerc și ale cărui laturi sunt raze ale cercului. În imaginea de alături razele OA și OB intersectează cercul în punctele Format:Mvar și Format:Mvar. Unghiul la centru subîntinde arcul dintre aceste două puncte, iar mărimea unghiului la centru, măsurat în radiani, este numeric egală cu valoarea lungimii arcului subîntins de pe cercului unitate (de rază 1). Din acest motiv unghiul la centru este cunoscut și ca distanța unghiulară a arcului subîntins de el.

Mărimea unui unghi la centru Format:Math este Format:Math sau Format:Math (radiani). Când se definește sau se trasează un unghi la centru, în afară de capetele sale (în imaginea de alături punctele Format:Mvar și Format:Mvar) trebuie specificat dacă este vorba de arcul mic (<180°) sau de cel mare (>180°). Echivalent, se poate specifica dacă mișcarea de la punctul Format:Mvar la punctul Format:Mvar este în sens trigonometric sau în sens orar.

Formule

Dacă punctele Format:Mvar și Format:Mvar formează un diametru al cercului, atunci Format:Math este un unghi alungit (respectiv în radiani Format:Math).

Fie Format:Math arcul mic al cercului între punctele Format:Mvar și Format:Mvar și fie Format:Mvar raza cercului.

Unghi la centru subîntins de arcul mic Format:Math

Dacă unghiul la centru Format:Math este subîntins de Format:Math, atunci

$0^{\circ }<\mathrm{\Theta }<180^{\circ },\mathrm{\Theta }={\left(\frac{180L}{\pi R}\right)}^{\circ }=\frac{L}{R}.$

Demonstrație (în grade): Circumferința cercului de rază Format:Mvar este Format:Math, iar lungimea arcului mic, Format:Math, este proporțională din circumferință (Format:Sfrac). Prin urmare:

$L=\frac{\mathrm{\Theta }}{360^{\circ }}\cdot 2\pi R\Rightarrow \mathrm{\Theta }={\left(\frac{180L}{\pi R}\right)}^{\circ }.$

Unghi la centru subîntins de arcul mare, nu de cel mic

Dacă unghiul la centru Format:Math nu este subîntins de Format:Math, atunci

$180^{\circ }<\mathrm{\Theta }<360^{\circ },\mathrm{\Theta }={(360-\frac{180L}{\pi R})}^{\circ }=2\pi -\frac{L}{R}.$

Demonstrație (în radiani): Circumferința cercului de rază Format:Mvar este Format:Math, iar lungimea arcului mic, Format:Math, este proporțională din circumferință (Format:Sfrac). Prin urmare:

$L=\frac{\mathrm{\Theta }}{2\pi }\cdot 2\pi R\Rightarrow \mathrm{\Theta }=\frac{L}{R}.$

Format:- Dacă tangentele în Format:Math respectiv în Format:Math se intersectează în punctul exterior Format:Math, atunci unghiurile Format:Math și Format:Math sunt suplementare (suma lor fiind 180°).

Unghiurile la centru ale poligoanelor regulate

Un poligon regulat cu Format:Math laturi are un cerc circumscris pe care se află toate vârfurile sale, iar centrul cercului este, de asemenea, centrul poligonului. Unghiul la centru al poligonului regulat este format de razele la două vârfuri adiacente. Măsura acestui unghi este $2\pi /n.$

Vezi și

• Unghi înscris

Legături externe

• Format:En icon Format:Cite web interactive
• Format:En icon Format:Cite web interactive
• Format:En icon Inscribed and Central Angles in a Circle