Teorema lui Stewart

În geometrie, Teorema lui Stewart furnizează o relație între lungimile laturilor unui triunghi și lungimea segmentului ceviană dintr-un vârf la un punct de pe latura opusă.

Fie a, b și c laturile unui triunghi. Fie p un segment din punctul A în punctul P de pe latura a care divide această latură în segmentele x and y. Atunci:

$a(p^2+xy)=b^{2}x+c^{2}y.$

Reprezentare grafică

Demonstrație

Fie P punctul în care latura a și segmentul p se intersectează. Prin aplicarea teoremei cosinusului pentru unghiurile suplementare APB și APC se obțin egalitățile:

$b^2=p^2+y^2-2py\cos \theta$

$c^2=p^2+x^2+2px\cos \theta$

Înmulțind prima relație cu x, iar a doua cu y  rezultă:

$x{b}^2=x{p}^2+x{y}^2-2pxy\cos \theta$

$y{c}^2=y{p}^2+y{x}^2+2pxy\cos \theta$

Apoi adunând cele două ecuații:

$x{b}^2+y{c}^2=(x+y)p^2+xy(x+y),$

se obține teorema lui Stewart.

Forma vectorială

Dacă M este un punct pe latura BC a triunghiului ABC, atunci:

$\stackrel{2}{\overrightarrow{AM}}\cdot \overrightarrow{BC}+\stackrel{2}{\overrightarrow{AB}}\cdot \overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{MB}=0$

sau altă formă:

$M{A}^2=\frac{\overrightarrow{MC}}{\overrightarrow{BC}}\cdot A{B}^2+\frac{\overrightarrow{MB}}{\overrightarrow{CB}}\cdot A{C}^2+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}.$

O altă formă simetrică este următoarea:

Dacă punctele A, B, C sunt coliniare, iar P un punct oarecare, atunci:

$\frac{P{A}^2}{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}+\frac{P{B}^2}{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}+\frac{P{C}^2}{\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}}=1.$

Vezi și

• Teorema lui Apollonius

Legături externe

• Format:En icon Teorema lui Stewart la PlanetMath Format:Webarchive
• Format:En icon Demonstrația teoremei la PlanetMath Format:Webarchive

• Format:En icon Teorema lui Stewart la Wolfram MathWorld
• Format:En icon Teorema lui Stewart ca un corolar al Teoremei lui Pitagora