Element (matematică)

În matematică, un element sau un membru al unei mulțimi este unul dintre obiectele distincte care alcătuiesc acea mulțime. Se spune că elementul aparține mulțimii, iar relația între element și mulțime este o relație de apartenență.

Mulțimi

Scrierea $A=\{1,2,3,4\}$$A=\{1,2,3,4\}$ înseamnă că elementele mulțimii Format:Mvar sunt numerele 1, 2, 3 și 4. Mulțimile de elemente ale lui Format:Mvar, de exemplu $\{1,2\}$, sunt submulțimi ale lui Format:Mvar.

Mulțimile pot fi ele însele elemente. De exemplu, considerăm mulțimea $B=\{1,2,\{3,4\}\}$. Elementele lui Format:Mvar nu sunt 1, 2, 3 și 4; Format:Mvar are doar 3 elemente, și anume numerele 1 și 2, și mulțimea $\{3,4\}$.

Elementele unei mulțimi pot fi orice. De exemplu, $C=\{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{u},\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e},\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\}$, este mulțimea ale cărei elemente sunt culorile Format:Red, Format:Green și Format:Blue.

Notație și terminologie

Prima utilizare a simbolului ∈ în lucrarea Format:Lang de Giuseppe Peano.

Format:Ill-wd de apartenență este notată cu simbolul „$\in$”. Scrierea

$x\in A$$x\in A$

înseamnă că Format:Math este un element al lui Format:Math. Expresii echivalente sunt „Format:Math este un membru al lui Format:Math”, „Format:Math aparține lui Format:Math”, „Format:Math este în Format:Math” și „Format:Math se găsește în Format:Math”. Expresiile „Format:Math include Format:Math” și „Format:Math conține Format:Math” sunt de asemenea folosite pentru a însemna stabilirea apartenenței la mulțime, însă unii autori le folosesc cu sensul de „Format:Math este o submulțime a lui Format:Math”. Logicianul Format:Ill-wd a cerut cu tărie ca „conține” să fie folosit doar pentru apartenență și „include” numai pentru relația de submulțime.

Pentru relația ∈, se poate scrie Format:Ill-wd ∈^T

$A\ni x$ adică „Format:Math conține Format:Math”.

Negația apartenenței la mulțime este marcată cu simbolul „∉”. Scrierea

$x\notin A$ înseamnă că „Format:Math nu este un element al lui Format:Math”.

Simbolul ∈ a fost folosit pentru prima oară de Giuseppe Peano 1889 în lucrarea sa Format:Lang. Acolo, pe pagina X scria:

adică

Simbolul ∈ înseamnă „este”. Deci, a ∈ b se citește a este un b; ...

Simbolul în sine este un epsilon ("ε") grecesc mic stilizat, prima literă a cuvântului æστί, care înseamnă „este”.

Caracter	∈		∉		∋		∌
Nume Unicode	ELEMENT OF		NOT AN ELEMENT OF		CONTAINS AS MEMBER		DOES NOT CONTAIN AS MEMBER
Codificări	zecimal	hex	zecimal	hex	zecimal	hex	zecimal	hex
Unicode	8712	U+2208	8713	U+2209	8715	U+220B	8716	U+220C
Format:Ill-wd	226 136 136	E2 88 88	226 136 137	E2 88 89	226 136 139	E2 88 8B	226 136 140	E2 88 8C
Format:Ill-wd	∈	∈	∉	∉	∋	∋	∌	∌
Format:Ill-wd	∈		∉		∋
LaTeX	\in		\notin		\ni		\not\ni
Format:Ill-wd	\[Element]		\[NotElement]		\[ReverseElement]		\[NotReverseElement]

Complement și inversare

Orice relație Format:Math este supusă la două involuții: complementarea $R\to \overline{R}$ și inversarea Format:Math. Relația ∈ are ca domeniu mulțimea universală Format:Math și drept codomeniu Format:Ill-wd Format:Math. Relația complementară $\overline{\in }=\notin$ exprimă opusul lui ∈. Un element Format:Math poate avea Format:Math, caz în care Format:Math, complementul lui Format:Math față de Format:Math.

Relația Format:Ill-wd ${\in }^T=\ni$ schimbă între ele domeniul și codomeniul lui ∈. Pentru orice Format:Math din Format:Math $A\ni x$este adevărat atunci când $x\in A$.

Cardinalul mulțimii

Numărul elementelor dintr-o anumită mulțime este o proprietate cunoscută sub numele de Format:Ill-wd; informal, aceasta este dimensiunea unei mulțimi. În exemplele de mai sus, cardinalul mulțimii Format:Math este 4, în timp ce cardinalul fiecăreia dintre mulțimile Format:Math și Format:Math este 3. O mulțime infinită este o mulțime cu un număr infinit de elemente, în timp ce o mulțime finită este o mulțime cu un număr finit de elemente. Exemplele de mai sus sunt exemple de mulțimi finite. Un exemplu de mulțime infinită este mulțimea numerelor întregi pozitive, Format:Math.

Exemple

Folosind mulțimile definite mai sus, și anume Format:Math, Format:Math și Format:Math

• Format:Math
• Format:Math
• Format:Math
• Format:Math este membru al lui Format:Math
• Galben Format:Math
• Cardinalul lui D   =   {2,   4,   8,   10,   12} este finit și egal cu 5.
• Cardinalul lui P   =   {2,   3,   5,   7,   11,   13,   ...} ( numerele prime) este infinit (fapt demonstrat de Euclid).

Lectură suplimentară

• Format:Citation - „Naivă” înseamnă incomplet axiomatizată, nu „ușoară” sau „cu neștiință” (abordarea lui Halmos nu este niciuna dintre cele două).
• Format:Citation
• Format:Citation - Atât noțiunea de mulțime (colecție de membri), apartenența, axioma extensiei, axioma separării, și axioma reuniunii (Suppes o numește „axioma sumei”) sunt necesare pentru o înțelegere riguroasă a noțiunii de „element al mulțimii”.

Legături externe

• Format:MathWorld