Convergență punctuală

În analiza matematică, noțiunea de convergență punctuală sau convergență simplă indică modul cum un șir de funcții converge către o anumită funcție. Un caz particular al acesteia îl constituie convergența uniformă.

Definiție

Fie $(f_n{)}_n$ un șir de funcții, $f_n:[a,b]\to ℝ.$ Se spune că șirul $(f_n{)}_n$ este punctual convergent pe $[a,b]$ către f pentru $n\to \mathrm{\infty }$ și se scrie $f_n\stackrel{PC}{⟶}f$ dacă $f_n(x_0)\to f(x_0)$ (în $ℝ$) pentru $\mathrm{\forall }{x}_0\in [a,b].$

Cazul seriilor de funcții

Se consideră seria de funcții $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x).$ Mulțimea valorilor $x$ pentru care seria este convergentă se numește mulțimea de convergență a seriei, iar funcția $f:[a,b]\to ℝ$ astfel încât $f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n(x),S_n(x)=\sum _{i=1}^n{f}_i(x)$ se numește suma seriei.

Definiție. Seria $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ este simplu (punctual) convergentă către funcția $f$ dacă șirul sumelor parțiale $(S_n(x){)}_n$ este simplu (punctual) convergent către $f.$ Seria $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ este absolut convergentă dacă seria $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|f_n|$ este simplu convergentă.