Formula lui Leibniz pentru π

În matematică, formula lui Leibniz pentru [[Pi|Format:Math]] este următoarea:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots =\frac{\pi }{4}.$

Poartă numele matematicianului Gottfried Wilhelm von Leibniz.

Demonstrație.

$\frac{\pi }{4}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x^2}dx=$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{x}^{2k}+\frac{(-1{)}^{n+1}{x}^{2n+2}}{1+x^2})dx=$

$=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{2k+1}+(-1{)}^{n+1}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}dx.$

Se observă că:

$0<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}dx<\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2n+2}dx=\frac{1}{2n+3}\to 0pentrun\to \mathrm{\infty }.$

Și pentru  $n\to \mathrm{\infty }$  se deduce:

$\frac{\pi }{4}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{2k+1}.$