Centrul cercului înscris într-un triunghi

Centru cercului înscris într-un triunghi

În geometria triunghiului, centrul cercului înscris într-un triunghi este un punct important al triunghiului. Se află la intersecția bisectoarelor acestuia.

Existența acestuia este remarcată încă din antichitate.

Exprimare vectorială printr-un vector poziție

Vectorul poziție al centrului I al cercului înscris în triunghiul ABC este dat de:

$\overrightarrow{PI}=\frac{1}{a+b+c}\cdot (a\cdot \overrightarrow{PA}+b\cdot \overrightarrow{PB}+c\cdot \overrightarrow{PC}),$

unde  $a=BC,b=CA,c=AB$  sunt lungimile laturilor triunghiului.

Demonstrație. Se notează  $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$  picioarele bisectoarelor din vârfurile  $A,B,C.$  Conform teoremei bisectoarei:

$\frac{A^{\prime }B}{A^{\prime }C}=\frac{c}{b},\frac{B^{\prime }C}{B^{\prime }A}=\frac{a}{c},\frac{C^{\prime }A}{C^{\prime }B}=\frac{b}{a}.$

Rezultă că punctul  $A^{\prime }$  împarte segmentul  $\overline{BC}$  în raportul  $-\frac{c}{b},$  deci:

$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{1-(-\frac{c}{b})}\cdot (\overrightarrow{AB}-(-\frac{c}{b})\overrightarrow{AC})$ adică  $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{b}{b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{AC}.$ 

Din  $\frac{A^{\prime }B}{A^{\prime }C}=\frac{c}{b}$  rezultă  $\frac{A^{\prime }B}{A^{\prime }B+A^{\prime }C}=\frac{c}{b+c}.$  Dar  $A^{\prime }B+A^{\prime }C=a,$  deci  $A^{\prime }B=\frac{ac}{b+c},A^{\prime }C=\frac{ab}{b+c}.$ 

 $[BI$  este bisectoare în triunghiul  $AB{A}^{\prime },$  deci aplicând teorema bisectoarei:

$\frac{IA}{I{A}^{\prime }}=\frac{BA}{B{A}^{\prime }}=c\cdot \frac{b+c}{ac}=\frac{b+c}{a}.$

Rezultă că punctul I împarte segmentul  $\overline{A{A}^{\prime }}$  în raportul  $-\frac{b+c}{a}$  deci

$\overrightarrow{PI}=\frac{1}{1-(-\frac{b+c}{a})}\cdot (\overrightarrow{PA}-(-\frac{b+c}{a})\cdot \overrightarrow{P{A}^{\prime }})$

$(1)$

Cum  $\frac{A^{\prime }B}{A^{\prime }C}=\frac{c}{b},$  rezultă că  $A^{\prime }$  împarte segmentul  $\overrightarrow{BC}$  în raportul  $-\frac{c}{b}$  deci:

$\overrightarrow{P{A}^{\prime }}=\frac{1}{1-(-\frac{c}{b})}\cdot (\overrightarrow{PB}-(-\frac{c}{b})\cdot \overrightarrow{PC})$

adică:

$\overrightarrow{P{A}^{\prime }}=\frac{b}{b+c}\overrightarrow{PB}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{PC}.$

$(2)$

Înlocuind (2) în (1), se obține formula din enunț.

Coordonatele carteziene

Coordonatele carteziene ale acestui punct sunt:

$(\frac{a{x}_a+b{x}_b+c{x}_c}{a+b+c},\frac{a{y}_a+b{y}_b+c{y}_c}{a+b+c})=\frac{a(x_a,y_a)+b(x_b,y_b)+c(x_c,y_c)}{a+b+c},$

unde  $(x_a,y_a)$, $(x_b,y_b)$  și  $(x_c,y_c)$  sunt coordonatele vârfului triunghiului.