Ecuația funcțională exponențială

Format:Problemearticol În matematică o ecuație funcțională exponențială este ansamblul tuturor funcțiilor $f:ℝ\to ℝ$ care pentru orice $x,y\in ℝ$ verifică relația $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$.

Exemplul 1. Funcțiile continue $f:ℝ\to ℝ$ care pentru orice $x,y\in ℝ$ verifică relația $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$.

Soluție: Fie $t\in ℝ$ Pentru $x=\frac{t}{2}=y$ obținem relația: $f(t)=f(\frac{t}{2}+\frac{t}{2})={f\left(\frac{t}{2}\right)}^2\ge 0$. Dacă există $s\in ℝ$ astfel încât $f(s)=0$, atunci pentru orice $t\in ℝ$ avem că $f(t)=f(t-s+s)=f(t-s)\cdot f(s)=0$. Din aceste relații deducem că o funcție $f:ℝ\to ℝ$ cu proprietățile din enunț sau este identic nulă sau $f(t)>0$ pentru orice $t\in ℝ$. Analizăm cazul $f(t)>0$ pentru orice $t\in ℝ$.
În acest caz considerăm funcția $g:ℝ\to ℝ$ definită pentru orice $x\in ℝ$ prin $g(x)=\ln f(x)$. Fie $x,y\in ℝ$. Atunci $g(x+y)=\ln f(x)f(y)=\ln f(x)+\ln f(y)=g(x)+g(y)$. Funcția $g:ℝ\to ℝ$ fiind continuăși aditivă are proprietatea că $g(x)=x\cdot g(1)$, pentru orice $x\in ℝ$. Observăm că $g(1)=\ln f(1)$ sau echivalent $f(1)=e^{(g(1))}$.
În concluzie, pentru orice$x,y\in ℝ$ avem că $f(x)=e^{g(x)}=e^{x\cdot g(1)}=(e^{g(1)}{)}^x={f(1)}^x$.

Exemplul 2. Funcțiile continue $f:ℝ\to ℝ$ care pentru orice $x,y\in ℝ$ verifică relația $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)-x\cdot f(y)-y\cdot f(x)+xy+x+y$.

Soluție: Fie $x,y\in ℝ$. Din enunț rezultă că $f(x+y)-(x+y)=(f(x)-x)\cdot (f(y)-y)$. Considerăm $g:ℝ\to ℝ$ definită pentru orice $t\in ℝ$ prin $g(t)=f(t)-t$. Atunci $g(x+y)=g(x)\cdot g(y)$.

Dacă $g(1)=0$ atunci pentru orice $x\in ℝ$ avem că $g(x)=g(1+x-1)=g(1)\cdot g(x-1)=0\cdot g(x-1)=0$.
În acest caz $f(t)=t$ pentru orice $t\in ℝ$. Presupunem că $g(1)\ne 0$. Atunci $0\ne g(1)=g(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=g\left(\frac{1}{2}\right)\cdot g\left(\frac{1}{2}\right)={g\left(\frac{1}{2}\right)}^2>0$. În plus, din continuitatea funcției $f:ℝ\to ℝ$ rezultă continuitatea funcției $g:ℝ\to ℝ$ . Fie $t\in ℝ$. Rezultă că $g(t)={g(1)}^t={(f(1)-1}^t$. Prin urmare, $f(t)=t+f(t)=t+{f(1)-1}^t$.

Bibliografie

1. M. O. Drimbe, 200 de ecuații funcționale pe N,Z,Q, Editura GIL, Zalău, 2003, ISBN 973-9417-10-8
2. A. Engel, Probleme de matematică. Strategii de rezolvare, Editura GIL, Zalău, 2006, ISBN 973-9417-65-5