Integralele Wallis

În matematică, și mai precis în analiză, integralele Wallis sunt o familie de integrale introduse de John Wallis.

Portretul lui Wallis, datat cu anul 1701

Definiție

Integralele Wallis $(W_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ sunt definite de șirurile:

$W_n=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n}xdx,$

sau, echivalent (făcând substituția: $x=\frac{\pi }{2}-t$):

$W_n=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n}xdx$

Cazuri particulare

In particular, câțva termeni sunt în tabelul:

$W_0$	$W_1$	$W_2$	$W_3$	$W_4$	$W_5$	$W_6$	$W_7$	$W_8$	...
$\frac{\pi }{2}$	$1$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{3\pi }{16}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{5\pi }{32}$	$\frac{16}{35}$	$\frac{35\pi }{256}$	...

Legătura cu funcțiile beta și gamma

Integralele Wallis: $W_n=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^n\theta d\theta =\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^n\theta d\theta$

pot fi calculate cu ajutorul funcțiilor beta și gamma. Conform relației $\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(y,x)$, avem:

$W_n=\frac{1}{2}B(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2})$

și avem două cazuri, pentru $n=2p+1$ și $n=2p$. Pentru aceste valori ale lui $n$ avem:

$W_{2p+1}=\frac{1}{2}B(p+1,\frac{1}{2})=\frac{\mathrm{\Gamma }(p+1)\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})}{2\mathrm{\Gamma }(p+\frac{3}{2})}=\frac{p!\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})}{(2p+1)\mathrm{\Gamma }(p+\frac{1}{2})}$.

Cum însă

$\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})=\frac{1\cdot 3\cdot 5\dots (2n-1)}{2^n}\sqrt{\pi }$ ,

obținem

$W_{2p+1}=\frac{2^{p}p!}{1\cdot 3\cdot 5\dots (2p+1)}=\frac{4^{p}p{!}^2}{(2p+1)!}$ .

Într-un mod asemănător se calculează și

$W_{2p}=\frac{1}{2}B(p+\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\mathrm{\Gamma }(p+\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})}{2\mathrm{\Gamma }(p+1)}$

iar în final se obține

$W_{2p}=\frac{1\cdot 3\cdot 5\dots (2p-1)}{2^{p+1}p!}\pi =\frac{(2p)!}{4^{p}p{!}^2}\frac{\pi }{2}$.

Este ușor de observat că

$W_{n+2}=\frac{1}{2}B(\frac{n+2+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{1}{2}B(\frac{n+1}{2}+1,\frac{1}{2})=\frac{\frac{(n+1)}{2}}{\frac{n}{2}+1}{W}_n=\left(\frac{n+1}{n+2}\right)W_n$.

Se poate considera că

$W_{\alpha }=\frac{1}{2}B(\frac{\alpha +1}{2},\frac{1}{2})$

chiar și pentru valori reale ale lui $\alpha$ mai mari ca -1, și, ca urmare , se pot obține, folosind definiția funcției beta , că

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{\sin \theta }}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{2dt}{\sqrt{1-t^4}}=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^2(\frac{1}{4})}{2\sqrt{2\pi }}$,

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{\sin \theta }d\theta =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{2t^{2}dt}{\sqrt{1-t^4}}=\frac{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}{{\mathrm{\Gamma }}^2(\frac{1}{4})}$.

Produsul acestor două integrale ne conduce la

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{t^{2}dt}{\sqrt{1-t^4}}=\frac{\pi }{4}$

Vezi și

• Funcția beta
• Funcția gamma

Legături externe

• John Wallis
• Formula Wallis
• Funcția Gamma
• Integrale particulare
• The gamma and the beta function – TU Delft Format:Webarchive
• Beta Function – MathWorld