Matrice permutare

Format:Referințe Matricea permutare asociată permutării $\pi$ și notată $P_{\pi }$ este matricea pătrată cu elemente 0 sau 1 care se obține din matricea unitate $I_n$ modificând poziția liniilor în concordanță cu ${\pi }^{-1}$, în sensul că linia ${\pi }_i$ din matricea $I_n$ trece în linia $i$ a matricii $P_{\pi }$ , unde:

$\pi =\left(\begin{array}{ccccc}{\pi }_1& {\pi }_2& {\pi }_3& ...& {\pi }_n\end{array}\right)$ o permutare a mulțimii {1; 2; 3; ...;n}, adică o aplicație bijectivă de la mulțime la ea însăși:

$\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& ...& i& ...& n\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ {\pi }_1& {\pi }_2& ...& {\pi }_i& ...& {\pi }_n\end{array}\right)$

și ${\pi }^{-1}$ inversa sa

${\pi }^{-1}=\left(\begin{array}{cccccc}{\pi }_1& {\pi }_2& ...& {\pi }_i& ...& {\pi }_n\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 1& 2& ...& i& ...& n\end{array}\right)$

Exemplu

Pentru permutarea $\pi =\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\end{array}\right)$ , matricea corespunzătoare permutării este:

$P_{\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Proprietăți ale matricelor permutare

1) Produsul dintre o matrice permutare și o matrice coloană este:

$P_{\pi }\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_{{\pi }_1}\\ x_{{\pi }_2}\\ ⋮\\ x_{{\pi }_n}\end{array}\right)$

adică matricea $P_{\pi }$ are ca efect permutarea liniilor matricei coloană conform permutării $\pi$.

Exemplul 1

$P_{\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\end{array}\right)}\cdot X=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ x_1\\ x_3\end{array}\right)$

În particular produsul unei matrice permutare cu o matrice $A$ cu $n$ linii și $m$ coloane este matricea obținută din $A$ aplicând permutarea $\pi$ liniilor sale.

Exemplul 2

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$

$P_{\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\end{array}\right)}\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 6\\ 1& 2& 3\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$

2) Determinantul unei matrici permutare $P_n$ este 1 dacă permutarea este pară sau -1 dacă permutarea este impară.

Exemplu

$\pi =\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\end{array}\right)$ - este permutare impară $\Rightarrow det{P}_{\pi }=-1$

Consecință: 1) O matrice permutare este inversabilă.

2) Inversa unei matrice permutare conicide cu transpusa sa.

$P_{\pi }^{-1}=P_{\pi }^t$.

Matricele permutare intervin în metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare.