Dependența masei de viteză

Dependența masei de viteză este un concept specific teoriei relativității. Dacă la viteze obișnuite masa unui corp este invariabilă, la viteze apropiate de viteza luminii masa crește odată cu viteza de deplasare.

Se consideră ciocnirea neelastică a două corpuri de mase m₁ și m₂. Masa corpurilor este aceeași m₀ când corpurile se află în repaus față de sistemul de referință $(R)$. În referențialul $(R{)}^{\prime }$ corpurile se deplasează unul spre celălalt cu vitezele $v^{\prime }$ (paralele cu axa $O^{\prime }{x}^{\prime }$), iar după ciocnire rămân în repaus față de $(R{)}^{\prime }$.

Referențialul $(R{)}^{\prime }$ se deplasează cu viteza $v^{\prime }$ față de $(R)$ pe axa $Ox=O^{\prime }{x}^{\prime }.$ Este evident că după ciocnire cele două corpuri se vor deplasa cu viteza $v^{\prime }$ față de $(R)$.

Aplicând legea conservării masei:

$m=m_1+m_2$

Pentru observatorul din R, legea conservării impulsului se scrie:

$m_1{v}_1=(m_1+m_2)\cdot v^{\prime },$

unde:

$v_1=\frac{v^{\prime }+v^{\prime }}{1+v{\text{'}}^2/c^2}=\frac{2v^{\prime }}{1+v{\text{'}}^2/c^2}$

$(1)$

deci:

$m_1\cdot \frac{2v^{\prime }}{1+v{\text{'}}^2/c^2}=(m_1+m_2)\cdot v^{\prime }$

de unde:

$m_1\cdot (\frac{2}{1+v{\text{'}}^2/c^2}-1)=m_2.$

$(2)$

În sistemul de referință aflat în repaus, masa celor două corpuri este aceeași $m_0.$ Corpul cu masa $m_2$ se află în repaus față de $(R)$ deoarece viteza sa față de acest sistem este:

$v_2=\frac{-v^{\prime }+v^{\prime }}{1-v{\text{'}}^2/c^2}=0.$

Deci relația $(2)$ devine:

$m_1(\frac{2}{1+v{\text{'}}^2/c^2}-1)=m_0,$

de unde rezultă:

$m_0=m_1\cdot \frac{1-v{\text{'}}^2/c^2}{1+v{\text{'}}^2/c^2}.$

Utilizând relația $(1)$ se poate scrie:

$1-\frac{v_1^2}{c^2}=1-\frac{1}{c^2}\cdot \frac{4v{\text{'}}^2}{(1+v{\text{'}}^2/c^2{)}^2}={\left(\frac{1-v{\text{'}}^2/c^2}{1+v{\text{'}}^2/c^2}\right)}^2,$

deci:

$m_0=m_1\sqrt{1-v_1^2/c^2}$   sau   $m_1=\frac{m_0}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}}.$

În cazul în care un corp cu masa de repaus $m_0$ se deplasează cu viteza v, relația devine:

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}}$

$\text{(dependența masei de viteză)}$

În această relație:

• $m_0=$ masa de repaus;
• $m=$ masa de mișcare: masa față de sistemul de referință în raport cu care se consideră deplasarea;
• $v=$ viteza cu care se deplasează particula (corpul, sistemul fizic) în raport cu reperul considerat.

Se observă că dacă v crește, masa corpului crește, acesta fiind un efect relativist. Pentru viteze v mult mai mici decât viteza luminii c în vid, masa de mișcare se poate aproxima cu masa de repaus:   $m\cong m_0.$ Acest rezultat reprezintă chiar aproximația mecanicii clasice care afirmă că la viteze mult mai mici decât viteza luminii în vid masa corpurilor rămâne constantă.

Se poate scrie formula impulsului corpului cu masa de repaus $m_0,$ aflat în mișcare cu viteza v față de referențialul $(R):$

$\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}=\frac{m_0\overrightarrow{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$

Conform teoremei impulsului:

$\overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\frac{d}{dt}(m\overrightarrow{v})=\overrightarrow{v}\frac{dm}{dt}+m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\overrightarrow{v}\frac{dm}{dt}+m\overrightarrow{a},$

relație care diferă de cea clasică prin faptul că   $\frac{dm}{dt}\ne 0.$

Se remarcă de asemenea că, spre deosebire de mecanica clasică, în mecanica relativistă forța și accelerația nu mai sunt coliniare.

Vezi și

• Echivalență masă–energie