Teorema lui Darboux (analiză matematică)

A nu se confunda cu teorema lui Darboux din cadrul geometriei diferențiale.

Teorema lui Darboux (numită și Teorema valorilor intermediare) este o teoremă din analiza matematică, care poartă numele lui Jean Gaston Darboux.

Proprietatea lui Darboux

Fie $I\subseteq ℝ$ un interval și $f:I\to ℝ$ o funcție. Vom spune că f are proprietatea Darboux dacă:

$\mathrm{\forall }a,b\in I,a<b$ și $\mathrm{\forall }\gamma$ cuprins între f(a) și f(b), există $c\in (a,b)$ astfel încât $f(c)=\gamma .$

Vom nota cu $𝒟𝒶(I)$ mulțimea tuturor funcțiilor $f:I\to ℝ$ care au proprietatea Darboux.

Fie E un interval. Funcția continuă $f:E\to ℝ$ are proprietatea lui Darboux pe interval dacă:

  Pentru $\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ$ situat între $f(a)$ și $f(b)$ ecuația $f(x)=\lambda$ are cel puțin o soluție $x_{\lambda }$ în intervalul $(a,b).$

Teorema lui Darboux

Fie I interval și funcția f:I→R derivabilă. Atunci f' are proprietatea lui Darboux.

Observație

Funcția $f:I\to ℝ$ are proprietatea Darboux $\iff \mathrm{\forall }a,b\in I,a<b,$ mulțimea valorilor funcției f pe [a, b], adică mulțimea $f([a,b]),$ conține toate numerele reale cuprinse între f(a) și f(b).

Altfel spus, o functie cu proprietatea lui Darboux transforma orice interval intr-un interval.

Vezi și

• Teoreme de medie
• Teorema de medie a lui Cauchy