Distribuția Gauss

Funcția densitate de probabilitate pentru distribuția normală; linia verde este distribuția normală standard

Distribuția normală este o distribuție de probabilitate continuă. Este numită de asemenea distribuția Gauss deoarece a fost descoperită de către Carl Friedrich Gauss.

Distribuția normală standard (cunoscută,de asemenea, sub numele de distribuție Z) este distribuția normală cu media zero și variația 1 (curbele verzi în imaginea din dreapta). Acesta este adesea numită curba lui Gauss, deoarece graficul densității de probabilitate arată ca un clopot.

Se notează cu: N(μ,σ²), unde μ și σ sunt parametrii din funcția de distribuție care va fi descrisă în continuare.

Proprietăți

Bibliografie.

Densitatea de repartiție

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

Media

$M(X)$ = $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x.f(x)dx$ = $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x.\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx$ = $\mu$

Dispersia pentru o variabilă aleatoare continuă

${\sigma }^2(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-M(X){)}^2.f(x)dx$=$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-M(X){)}^2.\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx$=$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^2.\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx$=${\sigma }^2$

Entropia informațională

$H[f]=-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\ln (f(x))dx$ = $-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}\ln (\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}})dx$ = $\ln \left(\sigma \sqrt{2\pi e}\right)$

Funcția de repartiție cumulativă

Funcția de repartiție cumulativă este funcția

$F(t)$=$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}f(x)dx$=$\frac{1}{\sigma .\sqrt{2\pi }}$ $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}x.e^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx$

Pentru repartiția N~(0,1), această funcție este numită "funcția lui Laplace", și este dată de

$\varphi (t)$=$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx$

Pentru o repartiție normală oarecare N(μ,σ²), se verifică prin schimbarea de variabilă x->(x-μ)/σ că

$P(X<x)$=$\varphi (\frac{x-\mu }{\sigma })$

Repartiția variabilei (X-μ)/σ

Pornind de la proprietățile operatorilor de medie și dispersie

• M(X − μ) = M(X)− μ
• D(X − μ) = D(X)
• D(X/σ)=(1/σ²) D(X)

se obține că, dacă o variabilă aleatoare este normal repartizată N(μ,σ²), atunci variabila aleatoare redusă

$\frac{X-\mu }{\sigma }$

este repartizată N(0,1).

Suma a n variabile independente având repartițiile N(μ_k,σ_k²)

Dacă X_k:N(μ_k,σ_k²), k=1,...,n - sunt variabile aleatoare independente, atunci suma lor X₁+X₂+...+X_n are repartiția:

$N(\sum _{k=1}^n{\mu }_k,\sqrt{(}\sum _{k=1}^n{\sigma }_k^2)).$

Ca o consecință imediată a acestui rezultat:

Media aritmetică a n variabile independente având repartiția N(μ,σ²)

Dacă X_k:N(μ,σ²), k=1,...,n - sunt variabile aleatoare independente, atunci media lor aritmetică (X₁+X₂+...+X_n)/n are repartiția:

$N(\mu ,\frac{\sigma }{\sqrt{(}n)})$

Teorema limită centrală (Laplace)

Reprezintă una din cele mai puternice și mai utilizate proprietăți ale distribuției Gauss. Teorema este următoarea:

Dacă X_k - sunt variabile aleatoare independente având aceeași medie $\mu$ și dispersia ${\sigma }^2$, atunci limita mediei lor aritmetice (X₁+X₂+...+X_n)/n atunci cand $n->\mathrm{\infty }$ are proprietatea:

$\frac{1}{\sigma /\sqrt{(}n)}(\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}-\mu )->N(0,1)$

Rezultă că $\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}$ se aproximează cu $N(\mu ,\frac{\sigma }{n})$ pentru $n->\mathrm{\infty }$

Regula celor 3σ

O variabilă normal repartizată X:N(μ,σ) ia valori semnificative numai în intervalul (μ-3σ,μ+3σ). Într-adevăr, $P(|X-\mu |>=3\sigma )=1-P(|X-\mu |<3\sigma )=1-\varphi (3)=0,0027$, valoare care în unele situații poate fi neglijată.

Vezi și

• Distribuție de probabilitate
• Distribuția binomială
• Distribuția Rayleigh
• Variabilă aleatoare
• Rugozitate#Filtre

Legături externe

• Format:En icon Free Area Under the Normal Curve Calculator from Daniel Soper's Free Statistics Calculators website. Computes the cumulative area under the normal curve (i.e., the cumulative probability), given a z-score.
• Format:En icon Interactive Distribution Modeler (incl. Normal Distribution).
• Format:En icon GNU Scientific Library – Reference Manual – The Gaussian Distribution
• Format:En icon Normal Distribution Table
• Format:En icon Download free two-way normal distribution calculator
• Format:En icon Download free normal distribution fitting software
• Format:En icon http://www.pruteanu.ro/704reflec_files/gauss.htm Format:Webarchive