Plan (geometrie)

Reprezentarea grafică a unui plan geometric

În geometrie un plan (pl. plane) este o suprafață bidimensională, cu curbură zero, nelimitată în orice direcție. În geometria euclidiană – despre care va fi vorba în restul articolului – este notat cu $E^{2}$ sau $𝔼^{2}$ , în care două numere reale sunt necesare pentru a specifica poziția fiecărui punct, prin coordonate carteziene. La desenarea figurilor, planul se poate reprezenta printr-un paralelogram sau printr-un triunghi oarecare. De obicei se notează cu litere mici din alfabetul grec α, β, ψ, π etc., sau cu trei litere mari puse în paranteză rotundă (ABC), unde A, B, C sunt trei puncte necoliniare oarecare ale acestui plan. În spațiul euclidian tridimensional, un plan poate fi determinat fie de trei puncte necoliniare, fie de o dreaptă și un punct exterior ei, fie de două drepte paralele. Este o noțiune primitivă în geometrie.

Noțiune în geometria euclidiană

În lucrarea lui Euclid, Elementele, planul este o noțiune fundamentală, la fel ca și dreapta și punctul.^[1] Una din axiomele geometriei euclidiene este:

„Prin trei puncte necoliniare trece un plan și numai unul”.

Corolare ale acestei axiome sunt:

„Printr-o dreaptă și un punct nesituat pe această trece un plan și numai unul”.
„Prin două drepte secante trece un plan și numai unul”.

Pozițiile relative a două plane

Într-un spațiu tridimensional, există doar două poziții relative a două plane:

Paralele: Intersecția lor este vidă;
Secante: Intersecția lor este o dreaptă.

Poziția relativă dintre un plan și o dreaptă

Considerând dreapta (D), și planul (P), pozițiile relative dintre acestea pot fi:

(D), este inclusă în (P);
Intersecția dintre (D) și (P) este un punct;
(D) și (P) sunt disjuncte.
Într-un spațiu tridimensional, (D) este paralelă cu (P) dacă și numai dacă (D) este inclusă în (P) sau disjunctă de (P).

Proprietăți ale planului în spațiul euclidian R ³

Două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele între ele.
Două plane perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele.

Un plan în spaţiul euclidian tridimensional

Planul în geometria analitică

Ecuația planului care trece prin trei puncte

Fie punctele necoliniare $p_{1}$ =( $x_{1}$ , $y_{1}$ , $z_{1}$ ), $p_{2}$ =( $x_{2}$ , $y_{2}$ , $z_{2}$ ), și $p_{3}$ =( $x_{3}$ , $y_{3}$ , $z_{3}$ ).

Planul care trece prin $p_{1}$ , $p_{2}$ , și $p_{3}$ poate fi definit ca mulțimea punctelor (x, y, z) care îndeplinesc următoarele ecuații echivalente:^[2]

| \begin{matrix} x - x_{1} & y - y_{1} & z - z_{1} \\ x_{2} - x_{1} & y_{2} - y_{1} & z_{2} - z_{1} \\ x_{3} - x_{1} & y_{3} - y_{1} & z_{3} - z_{1} \end{matrix} | = | \begin{matrix} x - x_{1} & y - y_{1} & z - z_{1} \\ x - x_{2} & y - y_{2} & z - z_{2} \\ x - x_{3} & y - y_{3} & z - z_{3} \end{matrix} | = | \begin{matrix} x & y & z & 1 \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} & 1 \end{matrix} | = 0 .

În particular, ecuația planului care trece prin punctele $(a, 0, 0)$ , $(0, b, 0)$ , $(0, 0, c)$ se poate exprima și într-o formă mai simplă:

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

Ecuația unui plan care trece printr-un punct și doi vectori

𝐫 = 𝐫_{0} + s 𝐯 + t 𝐰,

unde s și t variază peste toate numerele reale, $v$ și $w$ sunt vectorii care definesc planul, și $𝐫_{0}$ este vectorul care reprezintă poziția unui punct arbitrar, dar fix, de pe plan. Vectorii $v$ și $w$ încep de la $r$ și sunt îndreptați în direcții diferite, de-a lungul planului. $v$ și $w$ pot fi perpendiculari, dar nu paraleli.

Ecuația planului care trece printr-un punct și este perpendicular pe un vector

Fie $𝐫_{0}$ vectorul de poziție a unor punct $P_{0}$ în plan, și n un vector nenul normal cu planul. Un punct $P$ cu vectorul de poziție $𝐫$ se află în plan dacă și numai dacă vectorul dintre $P_{0}$ și $P$ este perpendicular pe n. Se știe că doi vectori sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor scalar este zero, rezultă că planul dorit poate fi exprimat ca mulțimea tuturor punctelor r astfel încât:

𝐧 \cdot (𝐫 - 𝐫_{0}) = 0

Rezultă că:

n_{x} (x - x_{0}) + n_{y} (y - y_{0}) + n_{z} (z - z_{0}) = 0,

care este ecuația planului. ^[3] ^[4]

Distanța de la un punct la un plan

Pentru un plan $Π : a x + b y + c z + d = 0$ și un punct $p_{1} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ nu neapărat situat pe plan, distanța cea mai scurtă de la $p_{1}$ la plan este

D = \frac{| a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

Dreapta de intersecție dintre două plane

Dreapta de intersecție dintre planele de ecuații $Π_{1} : 𝐧_{1} \cdot 𝐫 = h_{1}$ și $Π_{2} : 𝐧_{2} \cdot 𝐫 = h_{2}$ este dată de

𝐫 = (c_{1} 𝐧_{1} + c_{2} 𝐧_{2}) + λ (𝐧_{1} \times 𝐧_{2})

unde:

c_{1} = \frac{h_{1} - h_{2} (𝐧_{1} \cdot 𝐧_{2})}{1 - (𝐧_{1} \cdot 𝐧_{2})^{2}}

c_{2} = \frac{h_{2} - h_{1} (𝐧_{1} \cdot 𝐧_{2})}{1 - (𝐧_{1} \cdot 𝐧_{2})^{2}}

Unghiul diedru

Considerând două plane descrise prin ecuațiile $Π_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0$ și $Π_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0$ , unghiul diedru dintre ele este definit a fi unghiul $α$ dintre direcțiile lor normale:

\cos α = {\hat{n}}_{1} \cdot {\hat{n}}_{2} = \frac{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}

Note bibliografice

↑ http://aleph0.clarku.edu/ ~ djoyce/java/elements/bookI/defI7.html, D.E. Joyce, Elemente" de Euclid, Cartea I, Definiția 7, Universitatea Clark
↑ Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
↑ Plane - from Wolfram MathWorld
↑ Format:Citation

Vezi și

[1] ttp://aleph0.clarku.edu/ ~ djoyce/java/elements/bookI/defI7.html, D.E. Joyce, Elemente" de Euclid, Cartea I, Definiția 7, Universitatea Clark

[2] Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974

[3] Plane - from Wolfram MathWorld

[4] Format:Citation

[1]

[2]

[3]

[4]

Plan (geometrie)

Cuprins

Noțiune în geometria euclidiană

Pozițiile relative a două plane

Poziția relativă dintre un plan și o dreaptă

Proprietăți ale planului în spațiul euclidian R ³

Planul în geometria analitică

Ecuația planului care trece prin trei puncte

Ecuația unui plan care trece printr-un punct și doi vectori

Ecuația planului care trece printr-un punct și este perpendicular pe un vector

Distanța de la un punct la un plan

Dreapta de intersecție dintre două plane

Unghiul diedru

Note bibliografice

Vezi și

Meniu de navigare

Plan (geometrie)

Noțiune în geometria euclidiană

Pozițiile relative a două plane

Poziția relativă dintre un plan și o dreaptă

Proprietăți ale planului în spațiul euclidian R 3

Planul în geometria analitică

Ecuația planului care trece prin trei puncte

Ecuația unui plan care trece printr-un punct și doi vectori

Ecuația planului care trece printr-un punct și este perpendicular pe un vector

Distanța de la un punct la un plan

Dreapta de intersecție dintre două plane

Unghiul diedru

Note bibliografice

Vezi și

Meniu de navigare

Căutare

Proprietăți ale planului în spațiul euclidian R ³