Seria lui Grandi
Format:Referințe În analiza matematică, seria infinită 1 - 1 + 1 - 1 + …, numită și Seria lui Grandi sau a lui Leibniz, este o serie alternată ai cărei termeni sunt constanți. A fost remarcată în 1703 de către Guido Grandi în cartea sa Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita. Folosind notația însumării, suma parțială a primilor m termeni ai seriei poate fi exprimată ca:
Seria infinită diverge, adică șirul său de sume parțiale, Format:Nowrap, nu tinde înspre o (unică) limită finită. Astfel de serii nu au sumă în sensul uzual al noțiunii de ”sumă” a seriei, însă Grandi a observat că prin simpla grupare a termenilor se pot obține două rezultate distincte:
poate fi oarecum justificată prin comportamentul periodic al șirului sumelor parțiale; formal ea este susținută de rezultatele teoretice despre metodele de sumare ale seriilor divergente. Către sfârșitul secolului al XIX-lea, acestea au început să fie studiate sistematic, constituind o nouă ramură a matematicii. Începând cu 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel și alții au investigat metode clar definite de a atribui o „sumă generalizată” unor serii divergente. Astfel pot fi menționate transformarea liniară sau metodele Cesàro, Abel, Borel, Euler, Norlund, Riesz sau Riemann. Multe dintre aceste metode de sumare vor aloca pentru Format:Nowrap valoarea de Format:Fracție.
Seria lui Grandi este strâns legată de 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·. Euler le-a tratat pe acestea ca fiind cazuri particulare ale seriei Format:Nowrap pentru n arbitrar, o direcție de cercetare care extinde activitatea sa asupra problemei Basel spre ecuațiile funcționale a ceea ce este cunoscut în prezent ca funcția eta Dirichlet și funcția zeta Riemann.