Legea lui Morrie

Legea lui Morrie este un nume care ocazional este folosit pentru identități trigonometrice de genul:

$\cos (20^{\circ })\cdot \cos (40^{\circ })\cdot \cos (80^{\circ })=\frac{1}{8}.$

Aceasta este un caz special pentru o identitate mult mai generală:

$2^n\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos (2^k\alpha )=\frac{\sin (2^n\alpha )}{\sin (\alpha )}$

cu n = 3 și α = 20°. Numele este datorat fizicianului Richard Feynman, care l-a folosit pentru această identitate. Feynman a folosit acest nume pentru că în copilărie a învățat formula de la un băiat pe care l-a chemat Morrie Jacobs, formulă pe care și-a reamintit-o toată viața.

O identitate similară pentru funcția sinus este:

$\sin (20^{\circ })\cdot \sin (40^{\circ })\cdot \sin (80^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{8}.$

Mai mult, divizând a doua identitate cu prima, se obține următoarea identitate evidentă:

$\tan (20^{\circ })\cdot \tan (40^{\circ })\cdot \tan (80^{\circ })=\sqrt{3}=\tan (60^{\circ }).$

Demonstrație

Să scriem formula unghiului dublu pentru funcția sinus:

$\sin (2\alpha )=2\sin (\alpha )\cdot \cos (\alpha ).$

Rezolvată pentru $\cos (\alpha )$, obținem:

$\cos (\alpha )=\frac{\sin (2\alpha )}{2\sin (\alpha )}.$

Urmează că:

$\cos (2\alpha )=\frac{\sin (4\alpha )}{2\sin (2\alpha )}$

$\cos (4\alpha )=\frac{\sin (8\alpha )}{2\sin (4\alpha )}$

$⋮$

$\cos (2^{n-1}\alpha )=\frac{\sin (2^n\alpha )}{2\sin (2^{n-1}\alpha )}.$

Înmulțind toate aceste expresii, obținem:

$\cos (\alpha )\cdot \cos (2\alpha )\cdot \cos (4\alpha )...\cos (2^{n-1}\alpha )=\frac{\sin (2\alpha )}{2\sin (\alpha )}\cdot \frac{\sin (4\alpha )}{2\sin (2\alpha )}\cdot \frac{\sin (8\alpha )}{2\sin (4\alpha )}...\frac{\sin (2^n\alpha )}{2\sin (2^{n-1}\alpha )}.$

Numitorii și numărătorii intermediari se anulează reciproc rămânând numai primul numitor, 2 la puterea n și ultimul numărător, obținând:

$\prod _{k=0}^{n-1}\cos (2^k\alpha )=\frac{\sin (2^n\alpha )}{2^n\sin (\alpha )}$

echivalentă cu legea lui Morrie generalizată.

Legături externe

• Format:MathWorld