Formula lui Heron

Un triunghi de laturi a, b și c.

Triunghiul lui Heron

În geometrie, formula lui Heron, descoperită de Heron din Alexandria, este o expresie matematică prin care se poate calcula suprafața unui triunghi oarecare fiind date lungimile celor trei laturi.

Dacă ABC este un triunghi oarecare, cu laturile a, b și c, atunci suprafața sa este dată de formula:

$A_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

unde $p=\frac{(a+b+c)}{2}$ reprezintă semiperimetrul triunghiului dat.

Poate fi demonstrată trigonometric sau cu teorema lui Pitagora.

Poate fi extinsă în trigonometrie sferică. Extinderea a fost efectuată de Simon Antoine Jean L'Huilier.

Demonstrații

Demonstrația lui Heron

Demonstrația lui Heron se bazează pe cinci propoziții geometrice.

Demonstrație algebrică utilizând teorema lui Pitagora

Triunghi în care înălțimea Format:Mvar segmentează baza Format:Mvar în Format:Math

Următoarea demonstrație este adaptată după Raifaizen. Prin teorema lui Pitagora se poate scrie egalitatea $b^2=h^2+d^2$ și $a^2=h^2+(c-d{)}^2$ după figura din dreapta. Prin scădere rezultă $a^2-b^2=c^2-2cd.$ Această egalitate permite exprimarea lui Format:Tmath in funcție de lungimea laturilor triunghiului :

$d=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}.$

Înălțimea triunghiului este $h^2=b^2-d^2.$ Substituind Format:Tmath cu formula de mai sus și utilizând identitatea diferenței de pătrate se obține

$\begin{array}{cc}{h}^2& =b^2-{\left(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}\right)}^2\\ & =\frac{(2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4c^2}\\ & =\frac{((b+c{)}^2-a^2\left)\right(a^2-(b-c{)}^2)}{4c^2}\\ & =\frac{(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^2}\\ & =\frac{2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^2}\\ & =\frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}.\end{array}$

Acest rezultat utilizat mai departe în expresia ariei unui triunghi pe baza unei înălțimi dă:

$\begin{array}{cc}A& =\frac{ch}{2}\\ & =\sqrt{\frac{c^2}{4}\cdot \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}}\\ & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.\end{array}$