Coeficient binomial: Diferență între versiuni

Versiunea curentă din 28 iunie 2024 09:51

În matematică, coeficienții binomiali sunt coeficienții întregi $(\binom{n}{k})$ care apar pe lângă termenii din dezvoltarea binomului lui Newton:

(a + b)^{n} = (\binom{n}{0}) a^{n} + (\binom{n}{1}) a^{n - 1} b + (\binom{n}{2}) a^{n - 2} b^{2} + \dots + (\binom{n}{n - 1}) a b^{n - 1} + (\binom{n}{n}) b^{n} .

Spre exemplu, pentru $n = 4$ , deoarece

(a + b)^{4} = 1 \times a^{4} + 4 \times a^{3} b + 6 \times a^{2} b^{2} + 4 \times a b^{3} + 1 \times b^{4},

avem $(\binom{4}{0}) = 1$ , $(\binom{4}{1}) = 4$ , $(\binom{4}{2}) = 6$ , $(\binom{4}{2}) = 6$ , $(\binom{4}{3}) = 4$ și $(\binom{4}{2}) = 1 .$ Aranjate într-un tablou, acești coeficienți formează triunghiul lui Pascal.

	Format:Mvar = 0	Format:Mvar = 1	Format:Mvar = 2	Format:Mvar = 3	Format:Mvar = 4	Format:Mvar = 5	...
Format:Mvar = 0	1	0	0	0	0	0	...
Format:Mvar = 1	1	1	0	0	0	0	...
Format:Mvar = 2	1	2	1	0	0	0	...
Format:Mvar = 3	1	3	3	1	0	0	...
Format:Mvar = 4	1	4	6	4	1	0	...

Coeficientul binomial $(\binom{n}{k})$ este egal cu numărul de [[Combinare|Format:Mvar-combinări]] de Format:Mvar elemente, adică cu numărul de moduri de a lua Format:Mvar elemente distincte printre Format:Mvar, fără ordine. Din acest motiv, notația $(\binom{n}{k})$ se citește „Format:Mvar luate câte Format:Mvar”.

Coeficienții binomiali pot fi exprimați compact cu numere factoriale, drept

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

unde $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$ este numărul „factorial Format:Mvar”.

Coeficienții binomiale au un rol important în multe ramuri ale matematicii, mai ales în combinatorică și în domenii legate.

Notații

Notația cea mai comună pentru coeficientul binomial „Format:Mvar luate câte Format:Mvar” este notația $(\binom{n}{k}),$ introdusă de matematicianul austriac Andreas von Ettingshausen în 1826. Format:Necesită citare Însă, există și notația

C_{n}^{k} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!},

care istoric a fost mai comună în lumea francofonă și rusofonă.

Ambele notații sunt listate în standardul ISO 80000-2.Format:Necesită citare

Proprietății

Format:Ciot-secțiune O proprietate importantă a coeficienților binomiali este formula lui Pascal: pentru orice $n \geq 0$ și $k \geq 0$ întregi,

(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1}) = (\binom{n + 1}{k + 1})

Această formulă rămâne valabilă pentru $k \geq n$ , deoarece $\forall j > n, (\binom{n}{j}) = 0 .$

Vezi și

Legături externe

Format:Portal

Coeficient binomial: Diferență între versiuni

Versiunea curentă din 28 iunie 2024 09:51

Cuprins

Notații

Proprietății

Vezi și

Legături externe

Meniu de navigare

Coeficient binomial: Diferență între versiuni

Versiunea curentă din 28 iunie 2024 09:51

Notații

Proprietății

Vezi și

Legături externe

Meniu de navigare

Căutare