Transformare infinitezimală

În matematică o transformare infinitezimală este o formă limită de transformare mică. De exemplu, se poate vorbi despre o Format:Ill-wd a unui corp rigid, în spațiul tridimensional. Aceasta este reprezentată în mod convențional printr-o Format:Ill-wd 3×3, A. Aceasta nu este matricea unei rotații reale în spațiu, dar pentru valori reale mici ale unui parametru Format:Mvar transformarea

$T=I+\epsilon A$

este o rotație mică, până la cantități de ordinul Format:Mvar².

Istoric

O teorie cuprinzătoare a transformărilor infinitezimale a fost dată pentru prima dată de Sophus Lie. Aceasta a fost în centrul lucrării sale, asupra a ceea ce acum se numesc grupurile Lie și Format:Ill-wd care le însoțesc, identificarea rolului lor în geometrie și mai ales teoria ecuațiilor diferențiale. Proprietățile unei algebre Lie abstracte sunt chiar acelea care definesc transformările infinitezimale, așa cum axiomele teoriei grupurilor întruchipează simetria. Termenul de „algebră Lie” a fost introdus în 1934 de Hermann Weyl, pentru ceea ce până atunci era cunoscut sub numele de algebra transformărilor infinitezimale a unui grup Lie.

Exemple

De exemplu, în cazul rotațiilor infinitezimale structura algebrei Lie este cea oferită de produsul vectorial, odată ce o matrice antisimetrică a fost identificată cu un vector euclidian. Aceasta înseamnă alegerea unui vector ca axă de rotație; Format:Ill-wd, definitorie, este o proprietate binecunoscută a produselor vectoriale.

Cel mai vechi exemplu de transformare infinitezimală care ar fi putut fi recunoscut ca atare a fost în teorema lui Euler asupra funcțiilor omogene. Acolo se afirma ca o functie F de n variabile x₁, ..., x_n care este omogenă de gradul r, satisface

$\mathrm{\Theta }F=rF$

cu

$\mathrm{\Theta }=\sum _i{x}_i\frac{\partial }{\partial x_i},$

operatorul $\mathrm{\Theta }$. Adică din proprietatea

$F(\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)={\lambda }^{r}F(x_1,\dots ,x_n)$

este posibil să se deriveze în raport cu Format:Mvar și apoi să se stabilească Format:Math. Aceasta devine apoi o condiție necesară pe o Format:Ill-wd F pentru a avea proprietatea de omogenitate; este, de asemenea, suficientă (prin utilizarea distribuțiilor Schwartz se pot reduce aici considerațiile de analiză matematică). Această setare este tipică, deoarece există un grup cu un singur parametru de scalări care funcționează; iar informația este codificată într-o transformare infinitezimală care este un Format:Ill-wd de ordinul întâi.

Versiunea cu operator a teoremei lui Taylor

Ecuația operatorului

$e^{tD}f(x)=f(x+t)$

unde

$D=\frac{d}{dx}$

este o versiune cu operator a Format:Ill-wd — prin urmare este valabilă numai cu avertismentul că Format:Mvar este o funcție analitică. Concentrându-se pe partea de operator, arată că D este o transformare infinitezimală, generând translații ale dreptei reale printr-o funcție exponențială. În teoria lui Lie acest lucru este generalizat. Orice grup Lie conex poate fi construit prin intermediul generatorilor infinitezimali (o bază pentru algebra Lie a grupului); cu informații explicite, dacă nu întotdeauna utile, date de Format:Ill-wd.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Springer
• Format:En icon Sophus Lie (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen, English translation by D.H. Delphenich, §8, link from Neo-classical Physics.