Teorema Gram–Euler

În geometrie, teorema Gram–Euler generalizează formula sumei unghiurilor interioare la politopuri cu mai multe dimensiuni.

Afirmație

Fie Format:Mvar un politop convex n-dimensional. Pentru fiecare celulă $E$, fie $\dim (E)$ dimensiunea sa (0 pentru vârfuri, 1 pentru laturi, 2 pentru fețe etc.), iar $\mathrm{\angle }(E)$ unghiul său solid interior, determinat prin alegerea unei (n−1)-sfere suficient de mică, cu centrul într-un punct oarecare din interiorul lui Format:Mvar și se determină suprafața conținută în interiorul lui Format:Mvar. Atunci, $\sum _{E\in \mathrm{Cells}(P)}(-1{)}^{\dim (E)}\mathrm{\angle }(E)=0$.

Exemple

Un poligon Format:Mvar cu n laturi, fiecare latură având un unghi intern π, are o singură față (întregul poligon), care are unghiul intern 2π. Fie Format:Mvar suma unghiurilor interne ale colțurilor (0-vârfurilor). Teorema Gram–Euler spune că $A-\pi n+2\pi =0$, adică $A=\pi (n-2)$.