Vizualizare sursă pentru „Zonogon”

[[Fișier:Octagon g2 symmetry.png|thumb|Zonogon octogonal]]
[[Fișier:Centrosymmetric hexagonal tiling.svg|thumb|[[Pavare]] cu zonogoane hexagonale neregulate]]
[[Fișier:Dissected octagon.svg|thumb|[[Octogon]] regulat descompus în [[pătrat]]e și [[romb]]uri]]
În geometrie, un '''zonogon''' este un [[poligon convex]] cu [[simetrie față de centru]].<ref name=bms>{{en icon}} {{citation
 | last1 = Boltyanski | first1 = Vladimir
 | last2 = Martini | first2 = Horst
 | last3 = Soltan | first3 = P. S.
 | isbn = 9783642592379
 | page = 319
 | publisher = Springer
 | title = Excursions into Combinatorial Geometry
 | url = https://books.google.com/books?id=wIz_CAAAQBAJ&pg=PA319
 | year = 2012}}</ref>
Echivalent, este un poligon convex ale cărui [[latură (geometrie) |laturi]] pot fi grupate în perechi de laturi paralele cu lungimi egale și [[orientare (geometrie) |orientări]] opuse.

== Exemple ==
Un [[poligon regulat]] este un zonogon [[dacă și numai dacă]] are un număr par de laturi.<ref>{{en icon}} {{citation
 | last1 = Young | first1 = John Wesley
 | last2 = Schwartz | first2 = Albert John
 | page = 121
 | publisher = H. Holt
 | quote = If a regular polygon has an even number of sides, its center is a center of symmetry of the polygon
 | title = Plane Geometry
 | url = https://books.google.com/books?id=PzEAAAAAYAAJ&pg=PA121
 | year = 1915}}</ref> Astfel, [[pătrat]]ul, [[hexagon]]ul regulat și [[octogon]]ul regulat sunt toate zonogoane. Zonogoanele cu patru laturi sunt pătratele, [[dreptunghi]]urile, [[romb]]urile și [[paralelogram]]ele.

== Pavări și descompuneri ==
Zongonoanele cu patru și șase laturi sunt [[paralelogon |paralelogoane]], care pot [[pavare |pava]] [[plan (geometrie) |planul]] prin copii [[translație (geometrie) |translate]] ale lor, iar toate paralelogoanele convexe au această formă.<ref>{{en icon}} {{citation
 | last = Alexandrov | first = Aleksandr Danilovici
 | isbn = 9783540231585
 | page = [https://books.google.com/books?id=R9vPatr5aqYC&pg=PA351 351]
 | publisher = Springer
 | title = Convex Polyhedra
 | year = 2005}}</ref>

Orice zonogon cu <math>2n</math> laturi poate fi pavat cu <math>\tbinom{n}{2}</math> zonogoane cu patru laturi.<ref>{{en icon}} {{citation
 | last = Beck | first = József
 | isbn = 9783319107417
 | page = 28
 | publisher = Springer
 | title = Probabilistic Diophantine Approximation: Randomness in Lattice Point Counting
 | url = https://books.google.com/books?id=4fawBAAAQBAJ&pg=PA28
 | year = 2014}}</ref> În această pavare există un zonogon cu patru laturi pentru fiecare tip de pereche de laturi din zonogonul cu <math>2n</math>laturi. Cel puțin trei dintre nodurile zonogonului trebuie să fie vârfuri ale unuia dintre zonogoanele cu patru laturi din orice astfel de placă.<ref>{{en icon}} {{citation
 | last1 = Andreescu | first1 = Titu
 | last2 = Feng | first2 = Zuming
 | isbn = 9780883858035
 | page = 125
 | publisher = Cambridge University Press
 | title = Mathematical Olympiads 1998-1999: Problems and Solutions from Around the World
 | url = https://books.google.com/books?id=T0CnqnoKu6QC&pg=PA125
 | year = 2000}}</ref> De exemplu, octogonul regulat poate fi pavat cu două pătrate și patru romburi cu unghiuri de 45°.<ref>{{en icon}} {{citation
 | last = Frederickson
 | first = Greg N.
 | doi = 10.1017/CBO9780511574917
 | isbn = 978-0-521-57197-5
 | mr = 1735254
 | page = [https://archive.org/details/dissectionsplane0000fred/page/10 10]
 | publisher = Cambridge University Press, Cambridge
 | title = Dissections: Plane and Fancy
 | year = 1997
 | url = https://archive.org/details/dissectionsplane0000fred/page/10
 }}</ref>

Într-o generalizare a [[teorema Monsky |teoremei lui Monsky]], [[Paul Monsky]]<ref>{{de icon}} {{citation
 | last = Monsky | first = Paul
 | doi = 10.1007/BF02571264 | doi-access = free
 | issue = 4
 | journal = Mathematische Zeitschrift
 | mr = 1082876
 | pages = 583–592
 | title = A conjecture of Stein on plane dissections
 | volume = 205
 | year = 1990| s2cid = 122009844 }}</ref> a demonstrat că niciun zonogon nu are o descompunere într-un număr impar de triunghiuri cu arii egale.<ref>{{en icon}} {{citation
 | last1 = Stein | first1 = Sherman
 | last2 = Szabó | first2 = Sandor
 | isbn = 9780883850282
 | publisher = Cambridge University Press
 | series = Carus Mathematical Monographs
 | title = Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry
 | at = [https://books.google.com/books?id=QOa-mnX5Y4QC&pg=PA130 p. 130]
 | volume = 25
 | year = 1994}}</ref>

== Alte proprietăți ==
Într-un zonogon cu {{math|n}} laturi, cel mult {{math|2''n''−3}} perechi de vârfuri pot fi la distanța de o unitate una de cealaltă. Există zonogoane cu {{mvar|n}} laturi cu distanța de <math>2n-O(\sqrt{n})</math>între laturile perechi.<ref>{{en icon}} {{citation
 | last1 = Ábrego | first1 = Bernardo M.
 | last2 = Fernández-Merchant | first2 = Silvia
 | doi = 10.1007/s00454-002-2882-5
 | issue = 4
 | journal = Discrete & Computational Geometry
 | mr = 1949894
 | pages = 467–473
 | title = The unit distance problem for centrally symmetric convex polygons
 | volume = 28
 | year = 2002| doi-access = free
 }}</ref>

== Forme înrudite ==
Zonogoanele sunt analoagele [[bidimensional]]e ale zonoedrelor [[tridimensional]]e și ale zonotopurilor din dimensiunile superioare. Ca atare, fiecare zonogon poate fi generat ca {{ill-wd| Q1322294||suma Minkowski}} a unei colecții de [[segment (geometrie) |segmente]] din plan.<ref name=bms/> Dacă nu există două segmente generatoare paralele, va exista o pereche de laturi paralele pentru fiecare segment. Fiecare față a unui zonoedru este un zonogon și fiecare zonogon este o față a cel puțin unui zonoedru, prisma cu baza acel zonogon. În plus, fiecare secțiune transversală plană prin centrul unui poliedru cu simetrie față de centru (cum ar fi un zonoedru) este un zonogon.

== Note ==
<references responsive />

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Poligoane]]