Vizualizare sursă pentru „Valuare p-adică”

{{Listănote}}

În [[teoria numerelor]], '''valuarea {{Nowrap|{{mvar|p}}-adic}}ă'''<ref>{{Citat carte|an=1991|titlu=Algebră|pagină=409|editură=Editura didactică și pedagogică|authors=Ion D. Ion, Nicolae Radu|ediție=4}}</ref> sau '''ordinul {{Mvar|p}}-adic''' al unui [[număr întreg]] {{Mvar|n}} este [[Putere (matematică)|exponentul]] celei mai mari puteri a [[Număr prim|numărului prim]] {{Mvar|p}} care îl [[Divizor|divide]] pe {{Mvar|n}}. Se notează cu <math>\nu_p(n)</math>. Echivalent, <math>\nu_p(n)</math> este exponentul la care apare <math>p</math> în descompunerea în factori primi a lui <math>n</math>.

Valuarea {{Mvar|p}}-adică este o[[Valuare (algebră)| valuare]] și dă naștere unui analog al [[Modul|valorii absolute]] obișnuite. În timp ce [[Spațiu complet|completarea]] numerelor raționale în raport cu valoarea absolută obișnuită are ca rezultat [[Număr real|numerele reale]] <math>\mathbb{R}</math>, completarea numerelor raționale în raport cu valoarea absolută <math>p</math>-adică are ca rezultat [[număr p-adic|numerele {{Nowrap|{{mvar|p}}-adic}}e]] <math>\mathbb{Q}_p</math>.<ref>
{{Citat carte|prenume=David S.|nume=Dummit|prenume2=Richard M.|nume2=Foote|an=2003|titlu=Abstract Algebra|ediție=3rd|editură=Wiley|isbn=0-471-43334-9|pagini=758–759}}</ref>
[[Fișier:2adic12480.svg|dreapta|miniatura|200x200px| Distribuția numerelor naturale prin valuarea lor 2-adică, etichetate cu [[putere a lui doi|puterile lui doi]] corespunzătoare în scriere zecimală. Zero are o valuare infinită.]]

== Definiție și proprietăți ==
Fie {{Mvar|p}} un [[număr prim]].

=== Numere întregi ===
'''Valuarea {{Mvar|p}}-adică''' a unui număr întreg <math>n</math> este definită ca fiind
:<math>
\nu_p(n)=
\begin{cases}
\mathrm{max}\{k \in \mathbb{N}_0 : p^k \mid n\} & \text{dacă } n \neq 0\\
\infty & \text{dacă } n=0,
\end{cases}
</math>
unde <math>\mathbb{N}_0</math> desemnează mulțimea [[Număr natural|numerelor naturale]] (inclusiv zero) și <math>m \mid n</math> denotă [[Divizor|divizibilitatea]] lui <math>n</math> prin <math>m</math>. În particular, <math>\nu_p</math> este o funcție <math>\nu_p \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{N}_0 \cup\{\infty\} </math>.<ref>{{cite book|last1=Ireland |first1=K. |last2=Rosen |first2=M. |date=2000 |title=A Classical Introduction to Modern Number Theory |publisher=Springer-Verlag |location=New York |page=3}}{{ISBN needed}}</ref>

De exemplu, <math>\nu_2(-12) = 2</math>, <math>\nu_3(-12) = 1</math> și <math>\nu_5(-12) = 0</math> deoarece <math>|{-12}| = 12 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^0</math>.

Uneori se folosește notația <math>p^k \parallel n</math>, însemnând <math>k = \nu_p(n)</math>.<ref>{{Citat carte|nume=Niven|prenume=Ivan|legătură-autor=Ivan M. Niven|nume2=Zuckerman|prenume2=Herbert S.|nume3=Montgomery|prenume3=Hugh L.|legătură-autor3=Hugh Lowell Montgomery|titlu=An Introduction to the Theory of Numbers|dată=1991|editură=[[John Wiley & Sons]]|ediție=5th|isbn=0-471-62546-9|pagină=4}}</ref>

Dacă <math>n</math> este un număr întreg pozitiv, atunci

: <math>\nu_p(n) \leq \log_p n</math>;

aceasta rezultă direct din <math>n \geq p^{\nu_p(n)}</math>.

=== Numere raționale ===
Valuarea {{Mvar|p}}-adică poate fi extinsă la [[Număr rațional|numerele raționale]] prin funcția

: <math>\nu_p : \mathbb{Q} \to \mathbb{Z} \cup\{\infty\} </math><ref name="infty">cu relația de ordine uzuală, anume

: <math>\infty > n</math>,
și regulile pentru operațiile aritmetice,

: <math>\infty + n = n + \infty = \infty</math>,
pe axa numerelor extinsă.</ref><ref>{{cite book|last1=Khrennikov |first1=A. |last2=Nilsson |first2=M. |date=2004 |title={{mvar|p}}-adic Deterministic and Random Dynamics |publisher=Kluwer Academic Publishers |page=9}}{{ISBN needed}}</ref>

definită prin

: <math>
\nu_p\left(\frac{r}{s}\right)=\nu_p(r)-\nu_p(s).
</math>

De exemplu, <math>\nu_2 \bigl(\tfrac{9}{8}\bigr) = -3</math> și <math>\nu_3 \bigl(\tfrac{9}{8}\bigr) = 2</math> deoarece <math>\tfrac{9}{8} = 2^{-3}\cdot 3^2</math>.

Unele proprietăți sunt:

:<math>\nu_p(r\cdot s) = \nu_p(r) + \nu_p(s),</math>
:<math>\nu_p(r+s) \geq \min\bigl\{ \nu_p(r), \nu_p(s)\bigr\}.</math>

Mai mult, dacă <math>\nu_p(r) \neq \nu_p(s)</math>, atunci

:<math>\nu_p(r+s)= \min\bigl\{ \nu_p(r), \nu_p(s)\bigr\},</math>

unde <math>\min</math> este minimul (adică cel mai mic dintre cele două).

== Valoarea absolută ''{{mvar|p}}''-adică ==
[[Valoarea absolută (algebră)|Valoarea absolută]] {{Mvar|p}}-adică pe [[Număr rațional|<math>\mathbb{Q}</math>]] este funcția

: <math>|\cdot|_p \colon \Q \to \R_{\ge 0} </math>

definită prin

:<math>|r|_p = p^{-\nu_p(r)} .</math>

Astfel, <math>|0|_p = p^{-\infty} = 0</math> pentru orice <math>p</math> și, de exemplu, <math>|{-12}|_2 = 2^{-2} = \tfrac{1}{4}</math> și <math>\bigl|\tfrac{9}{8}\bigr|_2 = 2^{-(-3)} = 8 .</math>

Valoarea absolută {{Mvar|p}}-adică este:

:{| class="wikitable"
|-
|nenegativă || <math>|r|_p \geq 0</math>
|-
|[[Funcție pozitiv definită|pozitiv definită]] || <math>|r|_p = 0 \iff r = 0</math>
|-
|[[Funcție multiplicativă|multiplicativă]] || <math>|r s|_p = |r|_p|s|_p</math>
|-
|[[Spațiu ultrametric|nearhimediană]] || <math>|r+s|_p \leq \max\left(|r|_p, |s|_p\right)</math>
|}

Din proprietatea de [[Funcția multiplicativă|multiplicativitate]] <math>|r s|_p = |r|_p|s|_p</math> rezultă că <math>|1|_p=1=|-1|_p</math> pentru [[Rădăcină a unității|rădăcinile unității]] <math>1</math> și <math>-1</math> și în consecință și <math>|{-r}|_p = |r|_p .</math> [[subaditivitate|Subaditivitatea]] <math>|r+s|_p \leq |r|_p + |s|_p</math> rezultă din [[inegalitatea triunghiului]] nearhimediană <math>|r+s|_p \leq \max\left(|r|_p, |s|_p\right)</math>.

Alegerea bazei {{Mvar|p}} în [[Putere (matematică)|puterea]] <math>p^{-\nu_p(r)} </math> nu face nicio diferență pentru majoritatea proprietăților, dar menține formula produsului:

: <math>\prod_{0, p} |r|_p = 1</math>

unde produsul se face după toate numerele prime {{Mvar|p}} și valoarea absolută obișnuită, notată <math>|r|_0</math>. Aceasta rezultă considerând [[descompunerea în factori primi]]: fiecare factor <math>p^k</math> contribuie prin inversul său la valoarea absolută {{Mvar|p}}-adică a sa, iar apoi valoarea absolută [[Axioma lui Arhimede|arhimediană]] uzuală le simplifică pe toate.

Un [[spațiu metric]] poate fi format pe mulțimea <math>\mathbb{Q}</math> cu o metrică (nearhimediană, [[Simetrie de translație|invariantă la translații]])

: <math>d \colon \Q \times \Q \to \R_{\ge 0} </math>

definită prin

: <math>d(r,s) = |r-s|_p .</math>

[[Spațiu complet|Completarea]] lui <math>\mathbb{Q}</math> în raport cu această metrică conduce la mulțimea <math>\mathbb{Q}_p</math> a numerelor {{Mvar|p}}-adice.

== Note ==
<references />

== Vezi și ==
* [[număr p-adic|Număr {{Mvar|p}}-adic]]
* [[Valuare (algebră)]]
* [[Axioma lui Arhimede|Proprietate arhimediană]]
* [[Multiplicitate|Multiplicitate (matematică)]]
* [[Teorema lui Ostrowski]]
* [[Formula lui Legendre]]

{{Control de autoritate}}