Vizualizare sursă pentru „Valuare (algebră)”

În [[algebră]] (în particular în [[Geometrie algebrică|geometria algebrică]] sau [[corp de numere|teoria algebrică a numerelor]]), o '''valuare'''<ref>{{Citat carte|an=1991|titlu=Algebră|pagină=408|editură=Editura didactică și pedagogică|authors=Ion D. Ion, Nicolae Radu|ediție=4}}</ref> este o [[funcție]] definită pe un [[Corp comutativ|corp]] care oferă o măsură a mărimii sau a multiplicității elementelor corpului. Aceasta generalizează în [[Algebră comutativă|algebra comutativă]] noțiunea de mărime inerentă considerării gradului unui [[Pol (matematică)|pol]] sau [[Multiplicitate|multiplicității]] unui [[Pol (matematică)|zero]] din [[Analiză complexă|analiza complexă]], gradul de divizibilitate al unui număr cu un număr prim din [[teoria numerelor]] și conceptul geometric de [[Contact (geometrie)|contact]] dintre două [[Varietate algebrică|varietăți algebrice]] sau [[Varietate analitică|analitice]] din geometria algebrică. Un corp înzestrat cu o valuare se numește '''corp valuat'''.

== Definiție ==
Se începe cu următoarele obiecte:

* un [[corp comutativ]] {{Mvar|K}} și [[grup multiplicativ|grupul său multiplicativ]] ''K''<sup>×</sup>,
* un grup [[Grup abelian|abelian]] [[grup total ordonat|total ordonat]] {{Math|(Γ, +, ≥)}}.

Ordonarea și [[Grup|legea grupului]] din {{Math|Γ}} sunt extinse la mulțimea {{Math|Γ ∪ {∞}}}{{Efn|Simbolul ∞ desemnează un element care nu se află în {{math|Γ}}, fără altă semnificație. Proprietățile sale sunt definite de [[axiomă|axiomele]] date.}} prin următoarele reguli:

* {{Math|∞ ≥ ''α''}}, pentru orice {{Mvar|α}} &#x2208; {{Math|Γ}},
* {{Math|∞ + ''α'' {{=}} ''α'' + ∞ {{=}} ∞ + ∞ {{=}} ∞}}, pentru orice {{Mvar|α}} &#x2208; {{Math|Γ}}.

O ''valuare'' a lui {{Mvar|K}} este orice [[Aplicație|funcție]]

: {{Math|''v'' : ''K'' →  Γ ∪ {∞}}}

care satisface următoarele proprietăți pentru orice elemente ''a'' și ''b'' din ''K'':

* {{Math|''v''(''a'') {{=}} ∞}} dacă și numai dacă {{Math|''a'' {{=}} 0}},
* {{Math|''v''(''ab'') {{=}} ''v''(''a'') + ''v''(''b'')}},
* {{Math|''v''(''a'' + ''b'') ≥ min(''v''(''a''), ''v''(''b''))}}, cu egalitate dacă ''v''(''a'') ≠ ''v''(''b'').

O valuare ''v'' este '''trivială''' dacă ''v''(''a'')&nbsp;=&nbsp;0 pentru orice ''a'' din ''K''<sup>×</sup>, iar în caz contrar este '''netrivială'''.

A doua proprietate afirmă că orice valuare este un [[morfism de grupuri]] pe ''K''<sup>×</sup>. A treia proprietate este o versiune a [[Inegalitatea triunghiului|inegalității triunghiului]] pe [[Spațiu metric|spații metrice]] adaptată la un &#x393; arbitrar (a se vedea ''Notația multiplicativă'' de mai jos). Pentru valuările utilizate în aplicații [[Geometrie analitică|geometrice]], prima proprietate implică faptul că orice [[Germen (matematică)|germen]] nevid al unei varietăți analitice în apropierea unui punct conține acel punct.

Valuarea poate fi interpretată ca ordinul [[Termenul de conducere|termenului de ordin dominant]].{{Efn|Cu convenția min aici, valuarea este mai degrabă interpretată ca ''opusul'' ordinului termenului de ordin dominant, dar cu convenția max poate fi interpretată ca ordin.}} A treia proprietate corespunde atunci ordinului unei sume, fiind ordinul termenului cel mai mare,{{Efn|Din nou, inversate deoarece se folosește convenția cu minimum.}} cu excepția cazului în care cei doi termeni au același ordin, caz în care se pot anula, iar suma ar avea un ordin mai mare.

În multe aplicații, {{Math|Γ}} este un subgrup aditiv al [[Număr real|numerelor reale]] <math>\R</math>{{Efn|Orice [[grup arhimedian]] este izomorf cu un subgrup al numerelor reale în raport cu adunarea, dar există și grupuri ordonate nearhimediene, cum ar fi grupul aditiv al unui [[corp ordonat nearhimedian]].}}, caz în care ∞ poate fi interpretat ca +∞ în [[dreapta reală încheiată|mulțimea numerele reale extinse]]; se observă că <math>\min(a, +\infty) = \min(+\infty, a) = a</math> pentru orice număr real ''a'', și astfel +∞ este elementul neutru al legii de compoziție minimum. Numerele reale (extinse cu +∞) cu operațiile de minimum și adunare formează un [[Semiring|semi-inel]], numit [[Semiinel tropical|semi-inelul tropical]] min,{{Efn|În semi-inelul tropical, minimumul și adunarea numerelor reale sunt considerate ''adunare tropicală'' și ''înmulțire tropicală''; acestea sunt operațiile semi-inelului.}} și o valuare ''v'' este aproape un morfism de semi-inele de la ''K'' la semi-inelul tropical, cu excepția faptului că proprietatea de morfism nu este neapărat îndeplinită atunci când se adună două elemente cu aceeași valuare.

=== Notație multiplicativă și valori absolute ===
Conceptul a fost dezvoltat de [[Emil Artin]] în cartea sa ''Geometric Algebra'' scriind grupul în [[grup multiplicativ|notație multiplicativă]] ca {{Math|(Γ, ·, ≥)}}:<ref>[[Emil Artin]] [https://archive.org/details/geometricalgebra033556mbp/page/n57/mode/2up?view=theater ''Geometric Algebra''], paginile 47-49, via [[Internet Archive]]</ref>

În loc de ∞, se adaugă în Γ un simbol formal ''O'', cu ordonarea și legea de grup extinse prin următoarele reguli:

* {{Math|''O'' ≤ ''α''}}, pentru orice {{Mvar|α}} &#x2208; {{Math|Γ}},
* {{Math|''O'' · ''α'' {{=}} ''α'' · ''O'' {{=}} ''O''}}, pentru orice {{Mvar|α}} &#x2208; {{Math|Γ}}.

Atunci o ''valuare'' a lui {{Math|''K''}} este orice funcție

: {{Math|''{{pipe}} ⋅ {{pipe}}<sub>v</sub>'' : ''K'' →  Γ ∪ {''O''}}}

care satisface următoarele proprietăți pentru orice ''a'', ''b'' &#x2208; ''K'':

* {{Math|''{{pipe}}a{{pipe}}<sub>v</sub>'' {{=}} ''O''}} dacă și numai dacă {{Math|''a'' {{=}} 0}},
* {{Math|''{{pipe}}ab{{pipe}}<sub>v</sub>'' {{=}} ''{{pipe}}a{{pipe}}<sub>v</sub>'' · ''{{pipe}}b{{pipe}}<sub>v</sub>''}},
* {{Math|''{{pipe}}a+b{{pipe}}<sub>v</sub>'' ≤ max(''{{pipe}}a{{pipe}}<sub>v</sub>'', ''{{pipe}}b{{pipe}}<sub>v</sub>'')}}, cu egalitate dacă {{Math|''{{pipe}}a{{pipe}}<sub>v</sub>'' ≠ ''{{pipe}}b{{pipe}}<sub>v</sub>''}}.

(De remarcat că direcțiile inegalităților sunt inversate față de cele din notația aditivă.)

Dacă {{Math|&Gamma;}} este un subgrup al [[Număr pozitiv|numerelor reale pozitive]] cu operația de înmulțire, ultima condiție este inegalitatea [[spațiu ultrametric|ultrametrică]], o formă mai puternică a [[Inegalitatea triunghiului|inegalității triunghiului]] {{Math|''{{pipe}}a+b{{pipe}}<sub>v</sub>'' ≤ ''{{pipe}}a{{pipe}}<sub>v</sub>'' + ''{{pipe}}b{{pipe}}<sub>v</sub>''}}, iar {{Math|''{{pipe}} ⋅ {{pipe}}<sub>v</sub>''}} este o [[Valoarea absolută (algebră)|valoare absolută]]. În acest caz, se poate trece la notația aditivă cu grup de valori <math>\Gamma_+ \subseteq (\R, +)</math> luând {{Math|1=''v''<sub>+</sub>(''a'') = &minus;log ''{{pipe}}a{{pipe}}<sub>v</sub>''}}.

Fiecare valuare pe {{Math|''K''}} definește o [[Pre-comanda|preordine]] liniară corespunzătoare: {{Math|''a'' ≼ ''b'' ⇔ ''{{pipe}}a{{pipe}}<sub>v</sub>'' ≤ ''{{pipe}}b{{pipe}}<sub>v</sub>''}}. Reciproc, fiind dată o relație „ {{Math|≼}} ” care satisface proprietățile cerute, putem defini valuarea {{Math|1=''{{pipe}}a{{pipe}}<sub>v</sub>'' = {''b'': ''b'' ≼ ''a'' ∧ ''a'' ≼ ''b''}}}, cu înmulțirea și ordonarea bazate pe {{Math|''K''}} și {{Math|≼}}.

=== Terminologie ===
În acest articol folosim termenii definiți mai sus în notația aditivă. Cu toate acestea, unii autori folosesc termeni alternativi:

* „valuarea” noastră (care satisface inegalitatea ultrametrică) se numește „valuare exponențială” sau „valoare absolută nearhimediană” sau „valoare absolută ultrametrică”;
* „valoarea absolută” a noastră (care satisface inegalitatea triunghiului) se numește „valuare” sau „valoare absolută arhimediană”.

=== Obiecte asociate ===
Există mai multe obiecte definite pe baza unei valuări date {{Math|''v'' : ''K'' → Γ ∪ {∞}}};

* '''grupul de valori''' sau '''grupul de valuare''' {{Math|Γ<sub>''v''</sub>}} = ''v''(''K''<sup>×</sup>), un subgrup al lui {{Math|Γ}} (deși ''v'' este de obicei surjectivă, astfel că {{Math|Γ<sub>''v''</sub>}} = {{Math|Γ}});
* '''[[inel de valuare|inelul de valuare]]''' ''R<sub>v</sub>'' este mulțimea elementelor ''a''&#x2208;{{Mvar|K}} cu ''v''(''a'')&nbsp;≥&nbsp;0,
* '''idealul prim''' ''m<sub>v</sub>'' este mulțimea elementelor ''a''&#x2208;''K'' cu ''v''(''a'')&nbsp;>&nbsp;0 (este de fapt un [[ideal maximal]] al lui ''R<sub>v</sub>''),
* '''[[Corp comutativ|corpul]] de reziduuri''' ''k<sub>v</sub>'' = ''R<sub>v</sub>''/''m<sub>v</sub>'',
* '''[[Valoarea absolută (algebră)|locul]]''' lui {{Mvar|K}} asociat lui ''v'', clasa lui ''v'' în raport cu relația de echivalență definită mai jos.

== Proprietăți de bază ==

=== Echivalența valuărilor ===
Două valuări ''v''<sub>1</sub> și ''v''<sub>2</sub> ale lui {{Mvar|K}} cu grupurile de valuare Γ<sub>1</sub>, respectiv Γ<sub>2</sub>, se spune că sunt '''echivalente''' dacă există un [[izomorfism de grupuri]] {{Math|''φ'' : Γ<sub>1</sub> → Γ<sub>2</sub>}} care păstrează ordonarea astfel încât ''v''<sub>2</sub>(''a'')&nbsp;=&nbsp;φ(''v''<sub>1</sub>(''a'')) pentru orice ''a'' din ''K''<sup>×</sup>. Aceasta este o [[relație de echivalență]].

Două valuări ale lui ''K'' sunt echivalente dacă și numai dacă au același inel de valuare.

O [[clasă de echivalență]] de valuări ale unui corp se numește '''loc'''. ''[[teorema lui Ostrowski|Teorema lui Ostrowski]]'' oferă o clasificare completă a locurilor corpului de [[Număr rațional|numere raționale]] <math>\Q:</math> acestea sunt exact clasele de echivalență ale valuărilor [[Spațiu complet|completărilor]] [[număr p-adic|''p''-adice]] ale lui <math>\Q.</math>

=== Extinderea valuărilor ===
Fie ''v'' o valuare a lui {{Mvar|K}} și fie ''L'' o [[Extindere de corp|extindere]] a corpului {{Mvar|K}}. O '''extindere a lui ''v''''' (la ''L'') este o valuare ''w'' a lui ''L'' cu proprietatea că [[Restricție (matematică)|restricția]] lui ''w'' la {{Mvar|K}} este ''v''. Mulțimea tuturor acestor extinderi este studiată în [[Teoria ramificației evaluărilor|teoria ramificației valuărilor]].

Fie ''L''/''K'' o [[Gradul unei extinderi de corp|extindere finită]] și fie ''w'' o extindere a lui ''v'' la ''L''. [[indicele unui subgrup|Indicele]] lui Γ<sub>''v''</sub> în Γ<sub>''w''</sub>, e(''w''/''v'')&nbsp;=&nbsp;[Γ<sub>''w''</sub>&nbsp;:&nbsp;Γ<sub>''v''</sub>], se numește '''indice de ramificare redus''' al lui ''w'' peste ''v''. Acesta satisface inegalitatea e(''w''/''v'')&nbsp;≤&nbsp;[''L''&nbsp;:&nbsp;''K''] ([[Gradul unei extinderi de corp|gradul]] extinderii ''L''/''K''). '''Gradul relativ''' al lui ''w'' peste ''v'' este definit ca fiind ''f''(''w''/''v'')&nbsp;=&nbsp;[''R<sub>w</sub>''/''m<sub>w</sub>''&nbsp;:&nbsp;''R<sub>v</sub>''/''m<sub>v</sub>''] (gradul extinderii de corpuri de reziduuri). Este, de asemenea, mai mic sau egal cu gradul extinderii ''L''/''K''. Când extinderea ''L''/''K'' este [[extensie separabilă|separabilă]], '''indicele de ramificare''' a lui ''w'' peste ''v'' este definit ca fiind e(''w''/''v'')''p<sup>i</sup>'', unde ''p<sup>i</sup>'' este [[extensie separabilă|gradul de inseparabilitate]] al extinderii ''R<sub>w</sub>''/''m<sub>w</sub>'' peste ''R<sub>v</sub>''/''m<sub>v</sub>''.

=== Corpuri valuate complete ===
Când grupul abelian ordonat {{Math|Γ}} este grupul aditiv al [[Număr întreg|numerelor întregi]], valuarea asociată este echivalentă cu o valoare absolută și, prin urmare, induce o [[Spațiu metric|metrică]] pe corpul {{Mvar|K}}. Dacă {{Mvar|K}} este [[Spațiu complet|complet]] în raport cu această metrică, atunci se numește '''corp valuat complet'''. Dacă ''K'' nu este complet, se poate folosi valuarea pentru a construi [[completare|completarea]] acestuia, ca în exemplele de mai jos, iar valuări diferite pot defini completări de corpuri diferite.

În general, o valuare induce o [[spațiu uniform|structură uniformă]] pe {{Mvar|K}}, iar {{Mvar|K}} se numește corp valuat complet dacă este [[spațiu uniform|complet]] ca spațiu uniform. Există o proprietate înrudită cunoscută sub numele de [[Câmp sferic complet|completitudine sferică]]: este echivalentă cu completitudinea dacă <math>\Gamma = \Z,</math> dar mai puternică în general.

== Exemple ==

=== Valuarea p-adică ===
Cel mai de bază exemplu este [[Evaluare p-adic|valuarea {{Mvar|p}}-adică]] ν<sub>''p''</sub> asociată unui număr prim ''p'', pe numerele raționale <math>K=\Q,</math> cu inelul de valuare <math>R=\Z_{(p)}, </math> unde <math>\Z_{(p)} </math> este localizarea lui <math>\Z </math> la idealul prim <math>(p) </math>. Grupul de valuare este grupul aditiv al numerelor întregi <math>\Gamma = \Z.</math> Pentru un număr întreg <math>a \in R= \Z,</math> valuarea ν<sub>''p''</sub>(''a'') măsoară divizibilitatea lui ''a'' prin puterile lui ''p'':

: <math> \nu_p(a) = \max\{e \in \Z \mid p^e \text{ divide } a\};</math>

iar pentru o fracție, ν<sub>''p''</sub>(''a''/''b'') = ν<sub>''p''</sub>(''a'') &#x2212; ν<sub>''p''</sub>(''b'').

Scriind acest lucru în notație multiplicativă, se obține [[Valoarea absolută P-adic|valoarea absolută {{Mvar|p}}-adică]], care în mod convențional are ca bază <math>1/p = p^{-1}</math>, deci <math>|a|_p := p^{-\nu_p(a)}</math>.

[[completare|Completarea]] lui <math>\Q</math> în raport cu ν<sub>''p''</sub> este corpul <math>\Q_p</math> al [[număr p-adic|numerelor p-adice]].

=== Ordinul de anulare ===
Fie K = '''F'''(x), funcțiile raționale pe dreapta afină '''X''' = '''F'''<sup>1</sup>, și un punct ''a'' &#x2208; X. Pentru un polinom <math>f(x) = a_k (x{-}a)^k + a_{k+1}(x{-}a)^{k+1}+\cdots+ a_n(x{-}a)^n</math> cu <math>a_k\neq 0</math>, se definește ''v''<sub>''a''</sub>(''f'') = k, ordinul de anulare în ''x'' = ''a''; și ''v''<sub>''a''</sub>(''f'' /''g'') = ''v''<sub>''a''</sub>(''f'') &#x2212; ''v''<sub>''a''</sub>(''g''). Atunci inelul de valuare ''R'' este format din funcții raționale fără pol în ''x'' = ''a'', iar completarea este inelul de [[Serie formală|serii Laurent formale]] '''F'''((''x''&#x2212;''a'')). Acest lucru poate fi generalizat la corpul [[serie Puiseux|seriilor Puiseux]] ''K''<nowiki>{{</nowiki>''t''<nowiki>}}</nowiki> (puteri fracționare), [[Câmpul Levi-Civita|corpul Levi-Civita]] (completarea Cauchy a sa) și corpul [[Seria Hahn|seriilor Hahn]], cu valuarea în toate cazurile returnând cel mai mic exponent al lui ''t'' care apare în serie.

=== Valuarea {{Mvar|π}}-adică ===
Generalizând exemplele anterioare, fie {{Mvar|R}} un [[domeniu cu ideale principale]], {{Mvar|K}} [[Corpul fracțiilor|corpul său de fracții]] iar {{Mvar|π}} un [[element ireductibil]] al lui {{Mvar|R}}. Deoarece fiecare domeniu cu ideale principale este un [[inel factorial]], fiecare element nenul ''a'' al lui {{Mvar|R}} poate fi scris (esențialmente) în mod unic ca

: <math>a=\pi^{e_a}p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_n^{e_n}</math>

unde ''e-''urile sunt numere naturale și ''p<sub>i</sub>'' -urile sunt elemente ireductibile ale lui {{Mvar|R}} care nu sunt [[Domeniu de integritate|asociate]] cu {{Mvar|π}}. În particular, numărul ''e<sub>a</sub>'' este unic determinat de ''a''.

'''Valuarea π-adică a lui ''K''''' este dată de

* <math>v_\pi(0)=\infty</math>
* <math>v_\pi(a/b)=e_a-e_b,\text{ pentru }a,b\in R, a, b\neq0.</math>

Dacă π' este un alt element ireductibil al lui {{Mvar|R}} astfel încât (π')&nbsp;=&nbsp;(π) (adică generează același ideal în ''R''), atunci valuarea π-adică și valuarea π'-adică sunt egale. Astfel, valuarea π-adică poate fi numită valuarea ''P''-adică, unde ''P''&nbsp;=&nbsp;(π).

=== Valuare ''p''-adică pe un domeniu Dedekind ===
Exemplul anterior poate fi generalizat la [[inel Dedekind|domenii Dedekind]]. Fie {{Mvar|R}} un domeniu Dedekind, {{Mvar|K}} corpul său de fracții și fie ''P'' un ideal prim nenul al lui {{Mvar|R}}. Atunci, [[localizare|localizarea]] lui {{Mvar|R}} la ''P'', notată ''R<sub>P</sub>'', este un domeniu cu ideale principale al cărui corp de fracții este {{Mvar|K}}. Construcția din secțiunea anterioară aplicată idealului prim ''PR<sub>P</sub>'' al lui ''R<sub>P</sub>'' conduce la '''valuarea {{Mvar|P}}-adică a lui {{Mvar|K}}'''.

== Spații vectoriale peste corpuri de valuare ==
Presupunem că {{Math|Γ}} &#x222A; {0} este mulțimea numerelor reale nenegative cu operația de înmulțire. Spunem că valuarea este '''nediscretă''' dacă imaginea sa (grupul de valuare) este infinită (și, prin urmare, are un punct de acumulare în 0).

Presupunem că ''X'' este un spațiu vectorial peste ''K'' și că ''A'' și ''B'' sunt submulțimi ale lui ''X''. Atunci spunem că '''''A'' absoarbe ''B''''' dacă există un ''α'' &#x2208; ''K'' astfel încât ''λ'' &#x2208; ''K'' și ''|λ| ≥ |α|'' implică ''B ⊆ λ A''. ''A'' se numește '''radial''' sau '''absorbant''' dacă absoarbe fiecare submulțime finită a lui ''X.'' Submulțimile radiale ale lui ''X'' sunt invariante la intersecții finite. De asemenea, ''A'' se numește '''încercuit''' dacă ''λ'' în ''K'' și ''|λ| ≥ |α|'' implică ''λ A ⊆ A.'' Mulțimea de submulțimi încercuite ale lui ''L'' este invariantă în raport cu intersecțiile arbitrare. '''Învelișul încercuit''' al lui ''A'' este intersecția tuturor submulțimilor încercuite ale lui ''X'' care conțin ''A''.

Presupunem că ''X'' și ''Y'' sunt spații vectoriale peste un corp valuat nediscret ''K'', fie ''A ⊆ X'', ''B ⊆ Y'' și fie ''f : X → Y'' o aplicație liniară. Dacă ''B'' este încercuit sau radial, atunci <math>f^{-1}(B)</math> este la fel. Dacă ''A'' este încercuit, atunci ''f(A)'' este la fel, dar dacă ''A'' este radial, atunci ''f(A)'' va fi radial cu condiția suplimentară că ''f'' este surjectivă.

== Note ==
{{Notelist|30em}}

== Bibliografie ==
{{Listănote|30em}}{{refbegin}}
*{{citation|last=Efrat |first=Ido| title=Valuations, orderings, and Milnor ''K''-theory | series=Mathematical Surveys and Monographs | volume=124 | location=Providence, RI | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2006 | isbn=0-8218-4041-X | zbl=1103.12002 }}
*{{Citation| last = Jacobson| first = Nathan| author-link = Nathan Jacobson| title = Basic algebra II| place = New York| publisher = [[W. H. Freeman|W. H. Freeman and Company]]| orig-year = 1980| year = 1989| edition = 2nd| chapter = Valuations: paragraph 6 of chapter 9| zbl = 0694.16001| isbn = 0-7167-1933-9}}. A masterpiece on [[algebra]] written by one of the leading contributors.
*Chapter VI of {{Citation| last=Zariski| first=Oscar| author-link=Oscar Zariski| last2=Samuel| first2=Pierre| author2-link=Pierre Samuel| title= Commutative algebra, Volume II| publisher=Springer-Verlag| location=New York, Heidelberg| series=[[Graduate Texts in Mathematics]]| volume=29| year= 1976| orig-year=1960| isbn=978-0-387-90171-8 | zbl=0322.13001}}
* {{Cite book | isbn = 9780387987262 | title = Topological Vector Spaces | last1 = Schaefer | first1 = Helmut H. | authorlink = Helmut H. Schaefer | year = 1999 | publisher = [[Springer-Verlag]] | location = New York | last2 = Wolff | first2 = M.P. | series = [[Graduate Texts in Mathematics|GTM]] | volume = 3  | pages = 10–11  }}
{{refend}}

== Legături externe ==
*{{springer | title= Valuation | id= V/v096010 | last= Danilov | first= V.I. }}
*{{PlanetMath|urlname=DiscreteValuation|title=Discrete valuation}}
*{{PlanetMath|urlname=Valuation|title=Valuation}}
*{{MathWorld |title=Valuation |urlname=Valuation}}