Vizualizare sursă pentru „Vârf (geometrie)”

În [[geometrie]], un '''vârf''', adesea notat cu litere ca <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>R</math>, <math>S</math>,<ref>{{en icon}} {{Cite web|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|access-date=2020-08-16|website=Math Vault}}</ref> este un [[punct (geometrie) |punct]] unde se întâlnesc două sau mai multe [[curbă |curbe]], [[dreaptă |drepte]], sau [[latură (geometrie) |laturi]]. Conform acestei definiții, punctul unde se întâlnesc două drepte pentru a forma un [[unghi]], sau colțurile [[poligon |poligoanelor]] și [[poliedru |poliedrelor]] sunt vârfuri.<ref>{{en icon}} {{Cite web|title=Vertices, Edges and Faces|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/vertices-faces-edges.html|access-date=2020-08-16|website=www.mathsisfun.com}}</ref><ref name=":0">{{en icon}} {{Cite web|title=What Are Vertices in Math?|url=https://sciencing.com/vertices-math-5066316.html|access-date=2020-08-16|website=Sciencing}}</ref>

== Definiție ==
=== Pentru un unghi ===
[[Fișier:Two rays and one vertex.png|thumb|Vârful ({{en|vertex}}) unui unghi este capătul comun al două segmente sau semidrepte ({{en|rays}})]]
''Vârful'' unui unghi este punctul unde încep sau se întâlnesc două drepte sau [[semidreaptă |semidrepte]], unde se unesc două [[segment (geometrie) |segmente]], unde se intersectează orice combinație de drepte, semidrepte sau segmente, rezultând două ''laturi'' care pornesc din același punct.<ref name=Euclid>{{en icon}} {{cite book | last = Heath | first = Thomas L. |title = The Thirteen Books of Euclid's Elements | url = https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl | edition = 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] | year = 1956 | publisher = Dover Publications | location = New York }}
:(3 vol.): {{isbn|0-486-60088-2}} (vol. 1), {{isbn|0-486-60089-0}} (vol. 2), {{isbn|0-486-60090-4}} (vol. 3).</ref><ref name=":0" />

=== Pentru un politop ===
Un vârf este un punct dintr-un colț al unui poligon, poliedru, sau a unui [[politop]], format prin intersecția laturilor, [[față (geometrie) |fețelor]] sau [[Fațetă (geometrie) |fațetelor]] obiectului.<ref name=Euclid/>

Într-un poligon, un vârf este "convex" dacă [[unghi interior |unghiul interior]] al poligonului este mai mic decât π radiani (180° sau două [[unghi drept |unghiuri drepte]]); altfel este numit "concav".<ref>{{en icon}} {{cite book | last1 = Jing | first1 = Lanru | last2=Stephansson| first2=Ove | title = Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Theory and Applications | year = 2007 | publisher =  Elsevier Science}}</ref> În spațiu, un vârf al unui poliedru sau politop este convex dacă intersecția poliedrului sau a politopului cu o [[sferă]] suficient de mică având centrul în acel vârf este o [[formă]] convexă, altfel este concav.

În [[teoria grafurilor]] vârfurile politopurilor sunt legate de [[Nod (teoria grafurilor) |nodurile grafurilor]]; [[N-schelet|1-scheletul]] unui politop este un graf ale cărui noduri corespund vârfurilor politopului,<ref>{{en icon}} Peter McMullen, Egon Schulte, ''Abstract Regular Polytopes'', Cambridge University Press, 2002. {{isbn|0-521-81496-0}}, p.&nbsp;29</ref> iar acest graf poate fi privit ca un [[complex simplicial]] 1-dimensional ale cărui vârfuri sunt nodurile grafului.

Totuși, în teoria grafurilor nodurile (cele terminale, de [[Grad (teoria grafurilor)]] 1) pot avea mai puțin de două muchii incidente, ceea ce în mod normal nu este admis pentru vârfurile geometrice. De asemenea, există deosebiri între vârfurile geometrice și „vârfurile” curbelor, cele geometrice au curburi extreme, în unele sensuri infinite, iar dacă un poligon este aproximat printr-o curbă netedă, aceasta va avea câte un punct de curbură extrem în fiecare vârf al poligonului.<ref>{{en icon}} {{cite book | first1=Alexander I.|last1= Bobenko|first2= Peter|last2= Schröder |first3=John M.|last3= Sullivan |first4=Günter M.|last4=Ziegler | title=Discrete differential geometry | publisher=Birkhäuser Verlag AG | year=2008 | isbn=978-3-7643-8620-7}}</ref> Totuși, o curbă netedă de aproximare a unui poligon poate avea și vârfuri suplimentare, în punctele de curbură minimă.

=== La placarea unui plan ===
La placarea unui plan ([[teselare]]), un vârf este un punct unde se întâlnesc trei sau mai multe plăci;<ref>{{en icon}} M.V. Jaric, ed, ''Introduction to the Mathematics of Quasicrystals'' (Aperiodicity and Order, Vol 2) {{isbn|0-12-040602-0}}, Academic Press, 1989.</ref> în general, dar nu întotdeauna, plăcile unei teselări sunt poligoane iar vârfurile sunt și vârfurile plăcilor. Mai general, o teselare poate fi văzută ca un tip topologic de {{ill-wd|Q189061}} la fel cu fețele unui poliedru sau ale unui politop; vârfurile altor tipuri de complexe, cum ar fi [[Complex simplicial|cele simpliciale]] sunt fețele sale 0-dimensionale.

== Vârfuri principale ==
[[Fișier:Polygon mouths and ears.svg|thumb|right|Vârful B este o ureche, deoarece segmentul dintre C și D este în întregime în interiorul poligonului; vârful C este o gură, deoarece segmentul dintre A și B este în întregime în exteriorul poligonului]]
Un vârf {{math|''x''<sub>i</sub>}} al unui poligon {{mvar|P}} simplu este un vârf  principal al poligonului dacă diagonala {{math|[''x''<sub>(i − 1)</sub>, ''x''<sub>(i + 1)</sub>]}} intersectează frontiera lui {{mvar|P}} doar în {{math|''x''<sub>(i − 1)</sub>}} și {{math|''x''<sub>(i + 1)</sub>}}. Sunt două tipuri de vârfuri principale: ''urechi'' și ''guri''.<ref>{{en icon}} {{cite book
|first1=Satyan|last1=Devadoss
|first2=Joseph|last2= O'Rourke
| year = 2011
| title = Discrete and Computational Geometry
| publisher = [[Princeton University Press]] 
| isbn = 978-0-691-14553-2
| url = http://cs.smith.edu/~orourke/DCG/
}}</ref>

=== Urechi ===
Un vârf {{math|''x''<sub>i</sub>}} principal al unui poligon {{mvar|P}} simplu este numit „ureche” dacă diagonala {{math|[''x''<sub>(i − 1)</sub>, ''x''<sub>(i + 1)</sub>]}} care-l subîntinde pe {{math|''x''<sub>i</sub>}} se află în întregime în interiorul {{mvar|P}}. (v. și [[poligon convex]]). Conform [[Teorema celor două urechi|teoremei celor două urechi]], orice poligon simplu are cel puțin două urechi.<ref>{{en icon}} {{citation
 | last = Meisters | first = G. H.
 | journal = The American Mathematical Monthly
 | mr = 0367792
 | pages = 648–651
 | title = Polygons have ears
 | volume = 82
 | year = 1975
 | doi=10.2307/2319703}}.</ref>

=== Guri ===
Un vârf {{math|''x''<sub>i</sub>}} principal al unui poligon {{mvar|P}} simplu este numit „gură” dacă diagonala {{math|[''x''<sub>(i − 1)</sub>, ''x''<sub>(i + 1)</sub>]}} care-l subîntinde pe {{math|''x''<sub>i</sub>}} se află în întregime în exteriorul {{mvar|P}}.

== Numărul de vârfuri al unui poliedru ==
:(În limba română, pentru poliedre, și ''doar'' pentru poliedre, termenul pentru segmentul care unește două vârfuri este ''muchie'', însă, pentru coerența cu celelalte dimensiuni, se va folosi tot termenul „latură”.)

Pe orice frontieră a unui [[poliedru convex]] este valabilă [[caracteristică Euler |caracteristica Euler]]
:<math>\chi=V-L+F = 2,</math>
unde ''V'' este numărul vârfurilor, ''L'' este numărul laturilor, iar ''F'' este numărul fețelor. Această relație este cunoscută drept formula lui Euler pentru poliedre. Deci, numărul vârfurilor este egal cu numărul laturilor plus 2, minus numărul fețelor. De exemplu, un cub are 12 laturi și  6 fețe, deci are 8 vârfuri.

== Vârfuri în grafica digitală ==
<!-- {{Articol principal|Vârf (grafică digitală)}} -->
În [[grafică digitală |grafica digitală]], adesea obiectele sunt reprezentate ca poliedre triangulate, la care {{ill-wd|Q7922776}}urilor le sunt asociate nu doar cele trei coordonate spatiale, ci și alte informații grafice necesare pentru a randa obiectul corect, cum ar fi culorile, [[Reflectanță|reflectanța]], texturi și {{ill-wd| Q6405817}};<ref name="opengl">{{en icon}} {{Cite web
  | last = Christen
  | first = Martin
  | publisher = Khronos Group
  | title = Clockworkcoders Tutorials: Vertex Attributes
  | url = http://www.opengl.org/sdk/docs/tutorials/ClockworkCoders/attributes.php
  | access-date = 26 January 2009
  | archive-date = 2019-04-12
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20190412104758/https://www.opengl.org/sdk/docs/tutorials/ClockworkCoders/attributes.php
  | dead-url = yes
  }}</ref> aceste proprietăți sunt folosite la randare de către [[Shader |algoritmii de umbrire]] din [[GPU]].

== Note ==
{{listănote|2}}

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} [https://mathworld.wolfram.com/PolygonVertex.html Polygon Vertex], ({{ro|Vârf de poligon}}) la Mathworld
* {{en icon}} [https://mathworld.wolfram.com/PolyhedronVertex.html Polyhedron Vertex], ({{ro|Vârf de poliedru}}) la Mathworld

{{Control de autoritate}}
[[Categorie:Geometrie elementară]]
[[Categorie:Poliedre]]
[[Categorie:Politopuri]]
[[Categorie:Grafică digitală]]