Vizualizare sursă pentru „Trunchiere (geometrie)”

{{Note de subsol2}}
{| class=wikitable align=right width=300 style="text-align:center;"
|- valign=top
|[[Fișier:Regular polygon truncation 4 1.svg|120px]]<br/>Pătratul trunchiat este un octogon regulat:<br/>t{4} = {8}<br/>{{CDD|node_1|4|node_1}} = {{CDD|node_1|8|node}}
|[[Fișier:Truncated hexahedron.png|120px]]<br/>[[Cub trunchiat]]<br/>t{4,3} sau {{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}
|[[Fișier:Truncated cubic honeycomb1.jpg|120px]]<br/>[[Fagure cubic trunchiat]]<br/>t{4,3,4} sau {{CDD|node_1|4|node_1|3|node|4|node}}
|}
În [[geometrie euclidiană |geometria euclidiană]] '''trunchierea''' este o operație din orice [[dimensiune]] care taie [[vârf (geometrie) |vârfurile]] unui [[politop]], creând o nouă [[fațetă (geometrie)|fațetă]] în locul fiecărui vârf. Termenul provine din numele date de [[Kepler]] [[poliedru arhimedic |poliedrelor arhimedice]].

== Trunchiere uniformă ==
În general, orice [[poliedru]] (sau politop) poate fi trunchiat cu un grad de libertate în ceea ce privește cât de adâncă este tăietura, după cum se prezintă operația de trunchiere în [[notația Conway a poliedrelor]].

Un tip special de trunchiere, de obicei implicit, este o '''trunchiere uniformă''', un operator de trunchiere aplicat unui [[poliedru regulat]] (sau [[politop regulat]]) care creează un [[poliedru uniform]] ([[politop uniform]]) cu [[latură (geometrie)|laturi]] de lungime egală. În acest caz nu există vreun grad de libertate, la fel ca la poliedrele regulate.

În general, toate politopurile uniforme au o trunchiere uniformă. De exemplu, [[icosidodecaedru]]l, reprezentat prin [[simbol Schläfli |simbolurile Schläfli]] r{5,3} sau <math>\begin{Bmatrix} 5 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>, și [[diagramă Coxeter–Dynkin |diagramele Coxeter–Dynkin]] {{CDD|node|5|node_1|3|node}} sau {{CDD|node_1|split1-53|nodes}} și [[icosidodecaedru trunchiat |icosidodecaedrul trunchiat]], reprezentat prin tr{5,3} sau <math>t\begin{Bmatrix} 5 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>, {{CDD|node_1|split1-53|nodes_11}} au o trunchiere uniformă. În diagrama Coxeter–Dynkin efectul trunchierii este inelarea tuturor nodurilor adiacente nodului inelat.

O trunchiere uniformă efectuată pe o [[pavare triunghiulară]] regulată {3,6} are ca rezultat o [[pavare hexagonală]] regulată {6,3}.

== Trunchierea poligoanelor ==
Un [[poligon]] trunchiat cu {{mvar|n}} laturi va avea {{math|2''n''}} laturi. Un poligon regulat trunchiat uniform va deveni un alt poligon regulat: t{n} este {2n}. O trunchiere completă (sau [[rectificare (geometrie) |rectificare]]), r{3}, este un alt poligon regulat în poziția sa [[poligon dual|duală]].

Un poligon regulat poate fi reprezentat și prin diagrama Coxeter–Dynkin, {{CDD|node_1|n|node}}, și prin trunchierea sa uniformă {{CDD|node_1|n|node_1}}, și prin trunchierea sa completă {{CDD|node|n|node_1}}. Graful {{CDD|node|n|node}} reprezintă [[grup Coxeter |grupul Coxeter]] I<sub>2</sub>(n), cu fiecare nod reprezentând o oglindire, iar legătura dintre noduri reprezentând unghiul {{math|&pi;/''n''}} dintre oglinzi, iar în jurul uneia sau ambelor oglindiri este pus un inel pentru a arăta care sunt active.
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Trunchieri parametrice ale unui triunghi
|- valign=top
|[[Fișier:Regular_truncation_3_0.0.svg|120px]]<br/>{3}<br/>{{CDD|node_1|3|node}}
|[[Fișier:Regular_truncation_3_0.2.svg|120px]]
|[[Fișier:Regular_truncation_3_0.333.svg|120px]]<br/>t{3} = {6}<br/>{{CDD|node_1|3|node_1}}
|[[Fișier:Regular_truncation_3_0.45.svg|120px]]
|[[Fișier:Regular_truncation_3_0.5.svg|120px]]<br/>r{3} = {3}<br/>{{CDD|node|3|node_1}}
|}

[[Poligon stelat |Poligoanele stelate]] pot fi și ele trunchiate. O [[pentagramă]] {5/2} trunchiată va arăta ca un [[pentagon]], dar este de fapt un [[decagon]] dublu (degenerat) acoperit ({10/2}) cu două seturi de vârfuri și laturi suprapuse. O [[heptagramă |mare heptagramă]] trunchiată {7/3} dă o tetradecagramă {14/3}. 

== Trunchiere uniformă în poliedre și pavări regulate și în dimensiuni superioare ==
[[Fișier:Birectified cube sequence.png|thumb|390px|Trunchieri ale cubului dincolo de rectificare]]
Când trunchierea se aplică [[poliedru platonic |poliedrelor platonice]] sau [[pavare regulată |pavărilor regulate]], de obicei cea implicită este „trunchierea uniformă”, ceea ce înseamnă trunchiere până când fețele originale devin poligoane regulate cu de două ori mai multe laturi decât forma originală.
{| style="border: 1px solid darkgray; text-align:center;"
|colspan=5|[[Fișier:Cube truncation sequence.svg|400px|]]
|- 
|style="width:60px;"|&nbsp; cub
|trunchiat<br/>1/4
|trunchiat<br/>uniform
|trunchiat<br/>3/4
|rectificat
|}

Această secvență arată un exemplu de trunchiere a unui cub, folosind patru pași ai unui proces continuu de trunchiere între un [[cub]] complet și un cub [[rectificare (geometrie) |rectificat]]. Poliedrul final este un [[cuboctaedru]]. Imaginea din mijloc este cubul trunchiat uniform, reprezentat prin simbolul Schläfli '''''t'''''{''p'',''q'',...}.

O '''[[bitrunchiere]]''' este o trunchiere mai profundă, eliminând toate laturile originale, dar lăsând o parte interioară a fețelor originale. Exemplu: un [[octaedru trunchiat]] este un cub bitrunchiat: t{3,4} = 2t{4,3}.

O bitrunchiere completă, numită „birectificare”, reduce fețele originale la puncte. Pentru poliedre, acesta devine [[poliedru dual |poliedrul dual]]. Exemplu: un [[octaedru]] este o birectificare a unui [[cub]]: {3,4} = 2r{4,3}.

Un alt tip de trunchiere, [[cantelarea]], taie laturile și vârfurile, eliminând laturile (muchiile) originale, înlocuindu-le cu dreptunghiuri, eliminând vârfurile originale și înlocuindu-le cu fețele duale ale poliedrelor regulate sau [[pavare |pavări]] originale.

Politopurile din dimensiuni mai mari au trunchieri mai complexe. În spațiul cvadridimensional [[runcinare]]a taie fețele, laturile și vârfurile. În spațiul 5-dimensional, [[stericare]]a taie [[celulă (geometrie) |celulele]], fețele și laturile.

== Trunchierea laturilor ==
{{Imagine multiplă
 | align = right | total_width = 400
 | image1 = Polyhedron 6 unchamfered.png |width1=1|height1=1
 | image2 = Polyhedron 6 slightly chamfered.png |width2=1|height2=1
 | image3 = Polyhedron chamfered 6 edeq.png |width3=1|height3=1
 | footer = Trunchierea laturilor unui cub, crearea unui cub șanfrenat
}}
'''Trunchierea laturilor''' este o teșire, sau [[șanfrenare]] pentru poliedre, similară [[cantelare |cantelării]], dar conservând vârfurile originale și înlocuind laturile cu hexagoane. La 4-politopuri, trunchierea laturilor înlocuiește laturile cu celule [[bipiramidă alungită |bipiramidale alungite]].
{{-}}

== Alternarea sau trunchierea parțială ==
{{Imagine multiplă
 | align = right | total_width = 400
 | image1 = Polyhedron great rhombi 6-8 subsolid snub left maxmatch.png
 | image2 = Polyhedron great rhombi 6-8 max.png
 | image3 = Polyhedron great rhombi 6-8 subsolid snub right maxmatch.png
 | footer = O alternare uniformă a unui [[cuboctaedru trunchiat]] produce un [[cub snub]].
}}
Alternarea sau trunchierea parțială elimină doar unele dintre vârfurile originale.

În [[alternare (geometrie) |'''alternare''']] sau '''trunchierea parțială''' jumătate dintre vârfuri și laturile lor de legătură sunt complet eliminate. Operația se aplică numai politopurilor cu fețe uniforme. Fețele sunt reduse la un număr de laturi la jumătate, iar fețele pătrate degenerează în laturi. De exemplu, [[tetraedru]]l este un cub alternat, h{4,3}.

[[Diminuare (geometrie) |'''Diminuare''']] este un termen mai general, folosit în legătură cu [[poliedru Johnson |poliedrele Johnson]] pentru îndepărtarea unuia sau mai multor vârfuri, muchii sau fețe ale unui politop, fără a perturba celelalte vârfuri. De exemplu, la [[icosaedru tridiminuat |icosaedrul tridiminuat]] se începe cu un [[icosaedru]] regulat cu 3 vârfuri îndepărtate.

Alte trunchieri parțiale sunt bazate pe simetrie, de exemplu dodecaedrul tetraedric diminuat.

== Trunchieri generalizate ==
[[Fișier:Types_of_truncation_on_edge.png|300px|thumb|Tipuri de trunchieri afișate pe o latură izolată a unui poligon sau poliedru cu vârfuri roșii și albastre. Latura își inversează direcția după trunchierea completă.]]
Procesul de trunchiere liniară poate fi generalizat permițând trunchieri parametrice care sunt negative sau care trec dincolo de punctul de mijloc al laturilor, obținându-se poliedre stelate care se autointersectează și se pot înrudi parametric cu unele dintre [[poligon stelat |poligoanele stelate regulate]] și [[poliedru stelat uniform |poliedrele stelate uniforme]].
* '''Trunchiere superficială''' – lungimea laturilor este mai mică, fețele sunt trunchiate pentru a avea de două ori mai multe laturi, în timp ce se formează noi [[fațetă (geometrie) |fațete]], centrate în vârfurile inițiale.
* '''Trunchierea uniformă''' este un caz particular în care laturile au lungimi egale. La cubul trunchiat, t{4,3}, fețele pătrate devenind octogoane, cu noi fețe triunghiulare în locul vârfurilor.
* '''Antitrunchierea''' este o ''trunchiere superficială'' inversă, trunchiată spre exterior de la laturile originale, nu spre interior. Aceasta are ca rezultat un politop care arată ca originalul, dar în loc de tăierea propriilor colțuri are părți ale dualului său atârnând de colțurile sale.
* '''Trunchierea completă''' sau [[Rectificare (geometrie)|'''rectificarea''']] este limita unei trunchieri superficiale, unde laturile sunt reduse la puncte. Un exemplu este [[cuboctaedru]]l, r{4,3}.
* '''Hipertrunchierea''' este o formă de trunchiere care trece dincolo de rectificare, inversând marginile originale și provocând apariția autointersectărilor.
* '''Cvasitrunchierea''' este o formă de trunchiere care merge chiar mai departe decât hipertrunchierea, unde latura inversată devine mai lungă decât latura inițială. Poate fi generată din politopul inițial tratând toate fețele ca retrograde, adică mergând înapoi în jurul vârfului. De exemplu, cvasitrunchierea [[pătrat]]ului dă o [[octagramă]] regulată (t{4,3}={8/3}), iar cvasitrunchierea cubului dă hexaedrul trunchiat stelat uniform, t{4/3,3}.
{| class=wikitable width=640
|+ Trunchieri ale pătratului
|[[Fișier:Types_of_truncation_on_square4.png|640px]]<br/>Tipuri de trunchiere ale unui pătrat, {4}, care arată laturile inițiale roșii și noile laturi trunchiate albastru deschis. Un pătrat trunchiat uniform este un octogon regulat, t{4}={8}. Un pătrat trunchiat complet devine un pătrat nou, cu o orientare pe diagonală. Nodurile sunt numerotate în sens invers acelor de ceasornic, 1–4, cu perechi de vârfuri trunchiate ca ''a'' și ''b''.
|}
{| class=wikitable width=700
|+ Trunchieri ale cubului
|- align=center valign=top
|bgcolor="#f0d0d0"|[[Fișier:Cube_truncation_3.75.png|100px]]<br/><big><big><big>⇨</big></big></big> [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-4)dC t<sub>a</sub>C]
|[[Fișier:Cube_truncation_0.00.png|100px]]<br/>Cub<br/>[[Cub|{4,3}]] [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=C C]
|bgcolor="#d0d0f0"|[[Fișier:Cube_truncation_0.25.png|100px]]<br/><big><big><big>⇨</big></big></big> [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C4)dC tC]
|bgcolor="#d0d0f0"|[[Fișier:Cube_truncation_0.50.png|100px]]<br/>Trunchiere<br/>[[Cub trunchiat|t{4,3}]] [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=tC tC]
|bgcolor="#d0d0f0"|[[Fișier:Cube_truncation_0.75.png|100px]]<br/><big><big><big>⇨</big></big></big> [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-.1)dC tC]
|[[Fișier:Cube_truncation_1.00.png|100px]]<br/>Trunchiere completă<br/>[[Cuboctaedru|{4,3}]] [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=aC aC]
|bgcolor="#d0f0f0"|[[Fișier:Cube_truncation_1.25.png|100px]]<br/><big><big><big>⇩</big></big></big> [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-.6)dC t<sub>h</sub>C]
|- align=center valign=top
|bgcolor="#f0d0d0"|[[Fișier:Cube_truncation_3.50.png|100px]]<br/>Antitrunchiere [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-3)dC t<sub>a</sub>C]
|colspan=5|
|bgcolor="#d0f0f0"|[[Fișier:Cube_truncation_1.50.png|100px]]<br/>Hipertrunchiere [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-1)dC t<sub>h</sub>C]
|- align=center valign=top
|bgcolor="#f0d0d0"|[[Fișier:Cube_truncation_3.25.png|100px]]<br/><big><big><big>⇧</big></big></big> [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-1.8)dC t<sub>a</sub>C]
|[[Fișier:Cube_truncation_3.00.png|100px]]<br/>Cvasitrunchiere completă<br/>[https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-1.65)dC a<sub>q</sub>C]
|bgcolor="#d0f0d0"|[[Fișier:Cube_truncation_2.75.png|100px]]<br/><big><big><big>⇦</big></big></big>  
|bgcolor="#d0f0d0"|[[Fișier:Cube_truncation_2.50.png|100px]]<br/>Cvasitrunchiere <br/>[[Hexaedru cvasitrunchiat|t{4/3,3}]] [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-1.5)dC t<sub>q</sub>C]
|bgcolor="#d0f0d0"|[[Fișier:Cube_truncation_2.25.png|100px]]<br/><big><big><big>⇦</big></big></big> [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-1.5)dC t<sub>q</sub>C]
|[[Fișier:Cube_truncation_2.00.png|100px]]<br/>Hipertrunchiere completă [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-1)dC a<sub>h</sub>C]
|bgcolor="#d0f0f0"|[[Fișier:Cube_truncation_1.75.png|100px]]<br/><big><big><big>⇦</big></big></big> [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-.8)dC t<sub>h</sub>C]
|}
<!-- 
== Note ==
<references />
-->

== Bibliografie ==
* {{en icon}} [[Coxeter|Coxeter, H.S.M.]] ''Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes'', (3rd edition, 1973), Dover edition, {{isbn|0-486-61480-8}} (pp.&nbsp;145–154 Chapter 8: Truncation)
* {{en icon}} [[Norman Johnson]], ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
* {{en icon}} Norman Johnson, ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966

== Legături externe ==
* {{en icon}} {{mathworld | urlname = Truncation | title = Truncation}}
* {{en icon}} {{GlossaryForHyperspace | anchor=Truncation | title=Truncation }}
* {{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/naming.html Polyhedra Names, truncation]

{{Portal|matematică}}
{{Operatori poliedrici }}

[[Categorie:Politopuri]]
[[Categorie:Teselări]]