Vizualizare sursă pentru „Triunghiul trinomial”

{| style="border:1px solid darkgray; float:right;"
|-
|<div style=text-align:center;">
<math>\begin{matrix}
 & &  &  & 1\\
 & &  & 1& 1&1\\
 & & 1& 2& 3&2&1\\
 &1& 3& 6& 7&6&3&1\\
1&4&10&16&19&16&10&4&1\end{matrix}</math>
</div>
|}
în [[matematică]] '''triunghiul trinomial''' este o variație a [[triunghiul lui Pascal |triunghiului lui Pascal]]. Diferența dintre cele două este că un element din triunghiul trinomial este suma celor ''trei'' elemente (în loc de ''două'' în triunghiul lui Pascal) de deasupra lui.

Al <math>k</math>-lea element din al <math>n</math>-lea rând este notat prin
:<math>{n\choose k}_2</math>.

Rândurile sunt indexate începând de la 0. Elementele din rândul al <math>n</math>-lea sunt indexate începând la stânga cu poziția <math>-n</math>, iar elementul din mijloc are indicele 0. Simetria elementelor unui rând față de elementul din mijloc este exprimată prin relația
:<math>{n\choose k}_2={n\choose-k}_2</math>

== Proprietăți ==
Al <math>n</math>-lea rând corespunde coeficienților din [[dezvoltarea unui polinom |dezvoltarea]] [[trinom]]ului <math>(1 + x + x^2)</math> ridicat la a <math>n</math>-a putere:<ref name="MathWorldTrinomialCoefficient">{{en icon}} {{MathWorld|TrinomialCoefficient|Trinomial Coefficient}}</ref>
:<math>\left(1+x+x^2\right)^n= \sum _{j=0}^{2n}{n\choose j-n}_2 x^{j}=\sum _{k=-n}^{n}{n\choose k}_2 x^{n+k},</math>
sau, simetric,
:<math>\left(1+x+1/x\right)^n=\sum_{k=-n}^{n}{n\choose k}_2 x^k,</math>
de unde denumirea alternativă de '''coeficienți trinomiali''' din cauza relației lor cu [[teorema multinomială |coeficienții multinomiali]]: 
: <math>{n\choose k}_2=\sum_{\textstyle{0\leq\mu,\nu\leq n\atop\mu+2\nu=n+k}}\frac{n!}{\mu!\,\nu!\,(n-\mu-\nu)!}</math>

În plus, diagonalele au proprietăți interesante, cum ar fi relația lor cu [[număr triunghiular |numerele triunghiulare]].

Suma elementelor celui de al <math>n</math>-lea rând este <math>3^n</math>.

== Relația de recurență ==
Coeficienții trinomiali pot fi generați folosind următoarea [[relație de recurență]]:<ref name="MathWorldTrinomialCoefficient"/>
:<math>{0\choose 0}_2=1,</math>
:<math>{n+1\choose k}_2={n\choose k-1}_2+{n\choose k}_2+{n\choose k+1}_2</math> pentru <math>n\geq 0</math>,
unde <math>{n\choose k}_2=0</math> pentru <math>\ k<-n</math> și <math>\ k>n</math>.

== Coeficienții trinomiali centrali ==
Elementele din mijloc ale triunghiului trinomial sunt:<ref>{{OEIS|A002426}}</ref>
: 1, 1, 3, 7, 19, 51, 141, 393, 1107, 3139, … 
și au fost studiate de [[Leonhard Euler]] și sunt cunoscuți drept '''coeficienții trinomiali centrali'''.

Al <math>n</math>-lea coeficient trinomial central este dat de
:<math>{n\choose0}_2=\sum_{k=0}^n\frac{n(n-1)\cdots(n-2k+1)}{(k!)^2}=\sum_{k=0}^n{n\choose 2k}{2k\choose k}.</math>
[[Funcție generatoare exponențială |Funcția lor generatoare]] este<ref>{{en icon}} {{MathWorld|CentralTrinomialCoefficient|Central Trinomial Coefficient}}</ref>
:<math>1+x+3x^2+7x^3+19x^4+\ldots=\frac1{\sqrt{(1+x)(1-3x)}}.</math>

Euler a remarcat următorul ''exemplum memorabile inductionis fallacis'' (în {{ro|exemplu notabil de inducție greșită}}):
: <math>3{n+1\choose0}_2-{n+2\choose0}_2=F_n(F_n+1)</math> pentru <math>0\leq n\leq 7</math>,
unde <math>F_n</math> este al ''n''-lea [[număr Fibonacci]]. Totuși, pentru <math>n</math> mari această relație este incorectă. [[George Andrews]] a explicat această această eroare folosind identitatea generală<ref>{{en icon}} George Andrews, Three Aspects for Partitions. ''Séminaire Lotharingien de Combinatoire'', B25f (1990) [https://www.mat.univie.ac.at/~slc/opapers/s25andrews.html Online copy]</ref>
:<math>2\sum_{k\in\mathbb Z}\left[{n+1\choose 10k}_2-{n+1\choose 10k+1}_2\right]=F_n(F_n+1).</math>

== Aplicații ==
=== În șah ===
{{#invoke:Chessboard_mxn|board|cols=7|rows=7|letters=none|numbers=none
|tright
|
|x1|x3|x6|x7|x6|x3|x1
|x3|x1|x2|x3|x2|x1|x3
|x6|x2|x1|x1|x1|x2|x6
|x7|x3|x1|kl|x1|x3|x7
|x6|x2|x1|x1|x1|x2|x6
|x3|x1|x2|x3|x2|x1|x3
|x1|x3|x6|x7|x6|x3|x1
|Numărul de moduri de a ajunge la un câmp prin numărul minim de mutări
}}

Triunghiul corespunde într-un joc de [[șah (joc) |șah]] numărului de căi diferite prin care [[rege (șah) |regele]] poate ajunge, folosind un număr minim de mutări, pe un anumit câmp.
{{clear}}

=== În combinatorică ===
Coeficientul <math>x^k</math> din dezvoltarea <math>\left(1+x+x^2\right)^n</math> dă numărul de moduri diferite de a trage <math> k</math> cărți din două seturi identice de <math>n</math> cărți de joc fiecare.<ref name="ct200510">{{de icon}} Andreas Stiller: ''Pärchenmathematik. Trinomiale und Doppelkopf.'', ''c't'', Issue 10/2005, p.&nbsp;181ff</ref> De exemplu, din două seturi de câte trei cărți A, B, C, diferitele trageri pot fi:
{| class="wikitable"
!bgcolor=ececec|Numărul cărților alese
!bgcolor=ececec|Numărul de opțiuni
!bgcolor=ececec|Opțiuni
|-
|0
|1
|
|-
|1
|3
|A, B, C
|-
|2
|6
|AA, AB, AC, BB, BC, CC
|-
|3
|7
|AAB, AAC, ABB, ABC, ACC, BBC, BCC
|-
|4
|6
|AABB, AABC, AACC, ABBC, ABCC, BBCC
|-
|5
|3
|AABBC, AABCC, ABBCC
|-
|6
|1
|AABBCC
|}

De exemplu,
:<math>6={3\choose 2-3}_2={3\choose 0}{3\choose 2}+{3\choose 1}{2\choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1.</math>

În particular, aceasta oferă formula <math>{24\choose 12-24}_2={24\choose -12}_2={24\choose 12}_2</math> pentru numărul de mâini diferite în jocul de cărți ''Doppelkopf''.

Alternativ, este posibilă obținerea acestei expresii luând în considerare numărul de moduri de a trage <math>p</math> perechi de cărți identice din cele două seturi, care este [[coeficient binomial |coeficientul binomial]] <math>{n \choose p}</math>. Cele <math>k-2p</math> cărți rămase pot fi apoi trase în <math>{n-p\choose k-2p}</math> moduri<ref name="ct200510"/>, care pot fi scrise în termeni de coeficienți binomiali ca
:<math>{n\choose k-n}_2=\sum_{p=\max(0,k-n)}^{\min(n,[k/2])}{n\choose p}{n-p \choose k-2p}.</math>

Exemplul de mai sus corespunde celor trei moduri de tragere a două cărți fără a primi o pereche de cărți identice (AB, AC, BC) și celor trei moduri de tragere a unei perechi de cărți identice (AA, BB, CC).

== Note ==
<references responsive/>

== Lectură suplimentară ==
{{Portal|Matematică}}
* {{la icon}} {{cite journal|author=[[Leonhard Euler]] |title=Observationes analyticae ("Observații analitice") |journal=Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae |volume=11 |year=1767 |pages=124–143 |url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E326.html}}

[[Categorie:Triunghiuri de numere|Trinomial]]
[[Categorie:Matematică discretă]]
[[Categorie:Subiecte factoriale și binomiale]]