Vizualizare sursă pentru „Triunghiul armonic al lui Leibniz”

În [[matematică]] '''triunghiul armonic al lui Leibniz''' este un [[tablou triunghiular]] de [[fracție unitară |fracții unitare]] în care diagonalele exterioare constau din {{ill-wd| Q216906||inversele}} unor [[număr întreg |numere întregi]] și fiecare element din tablou este elementul de deasupra din stânga minus elementul din stânga. [[Algebră |Algebric]], {{math|1=''L''(''r'', 1) = 1/''r''}} (unde {{mvar|r}} este numărul rândului, începând de la 1, {{mvar|c}} este numărul coloanei, care nu este mai mare decât {{mvar|r}}), iar {{math|1=''L''(''r'', ''c'') = ''L''(''r'' − 1, ''c'' − 1) − ''L''(''r '', ''c'' − 1).}}

== Valori==
Primele opt rânduri din tablou sunt:
{| style="border:1px solid darkgray"
|-
|<div style=text-align:center;">
<math>\begin{array}{cccccccccccccccccc}
& & & & & & & & & 1 & & & & & & & &\\
& & & & & & & & \frac{1}{2} & & \frac{1}{2} & & & & & & &\\
& & & & & & & \frac{1}{3} & & \frac{1}{6} & & \frac{1}{3} & & & & & &\\
& & & & & & \frac{1}{4} & & \frac{1}{12} & & \frac{1}{12} & & \frac{1}{4} & & & & &\\
& & & & & \frac{1}{5} & & \frac{1}{20} & & \frac{1}{30} & & \frac{1}{20} & & \frac{1}{5} & & & &\\
& & & & \frac{1}{6} & & \frac{1}{30} & & \frac{1}{60} & & \frac{1}{60} & & \frac{1}{30} & & \frac{1}{6} & & &\\
& & & \frac{1}{7} & & \frac{1}{42} & & \frac{1}{105} & & \frac{1}{140} & & \frac{1}{105} & & \frac{1}{42} & & \frac{1}{7} & &\\
& & \frac{1}{8} & & \frac{1}{56} & & \frac{1}{168} & & \frac{1}{280} & & \frac{1}{280} & & \frac{1}{168} & & \frac{1}{56} & & \frac{1}{8} &\\
& & & & &\vdots & & & & \vdots & & & & \vdots& & & & \\
\end{array}</math>
</div>
|}

Numărătorii fracțiilor sunt 1, iar numitorii sunt cei din șirul OEIS A003506.<ref>{{OEIS|A003506}}</ref>

== Termenii ==
Termenii sunt dați de [[relație de recurență |relația de recurență]]
:<math>a_{n,1} = \frac{1}{n},</math>
:<math>a_{n,k} = \frac{1}{n\binom{n-1}{k-1}},</math>
și explicit de
:<math>a_{n,k} = \frac{1}{\binom{n}{k}k}</math>
unde <math>\binom{n}{k}</math> este [[coeficient binomial |coeficientul binomial]].<ref>{{en icon}} {{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/LeibnizHarmonicTriangle.html|title=Leibniz Harmonic Triangle|last=W.|first=Weisstein, Eric|website=mathworld.wolfram.com|access-date=2018-04-10}}</ref>

== Relația cu triunghiul lui Pascal ==
În timp ce fiecare termen din [[triunghiul lui Pascal]] este suma celor doi termeni din rândul de deasupra, fiecare termen din triunghiul lui Leibniz este suma celor doi termeni din rândul ''de dedesubt''. De exemplu, în al 5-lea rând, termenul (1/30) este suma celor doi (1/60) din al 6-lea rând.

Așa cum triunghiul lui Pascal poate fi calculat utilizând coeficienți binomiali, la fel și triunghiul lui Leibniz poate fi: <math>L(r, c) = \frac{1}{r {r-1 \choose c-1}}</math>. În plus, termenii acestui triunghi pot fi calculați din triunghiul lui Pascal: „Termenii din fiecare rând sunt termenul inițial împărțit la termenii corespunzători din triunghiul lui Pascal”. <ref>{{en icon}} Wells, David (1986). ''The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers'', p.98. {{ISBN|978-0-14-026149-3}}</ref> De fapt, fiecare diagonală este legată de diagonalele corespunzătoare din triunghiul lui Pascal: prima diagonală Leibniz este formată din 1/(1x [[număr natural |numere naturale]]), a doua din 1/(2x [[număr triunghiular |numere triunghiulare]]), a treia din 1/(3x [[număr tetraedric |numere tetraedrice]]) etc.

Mai mult, fiecare termen din triunghiul armonic este egal cu inversul termenului respectiv din triunghiul lui Pascal înmulțit cu inversul rândului respectiv, <math>r</math> <math>h_{(r,c)} = \frac{1}{p_{(r,c)}}\times \frac{1}{r},</math> unde <math>h_{(r,c)}</math> este termenul din triunghiul armonic și <math>p_{(r,c)}</math> este termenul respectiv din triunghiul lui Pascal.

== Serii infinite ==
Suma infinită a tuturor termenilor din orice diagonală este egală cu primul termen din diagonala anterioară, adică <math>\sum_{r=c}^{\infty } L(r,c)=L(c-1,c -1)</math> deoarece recurența poate fi folosită pentru a telescopa seria ca
:<math>\sum_{r=c}^{\infty} L(r,c)=\sum_{r=c}^{\infty} L(r-1,c-1)-L(r,c-1)=L(c-1,c-1)-\cancelto{0}{L(\infty,c-1)}</math>
unde <math>L(\infty,c-1)=\lim_{r\to\infty}L(r,c-1)=\lim_{r\to\infty}\frac{1}{r{r-1 \choose c-2}}=0</math>.

{| style="border:1px solid darkgray;"
|-
|<div style=text-align:center;">
:<math>\begin{array}{cccccccccccccccccc}
& & & & & & {\color{red}1} & & & & & &\\
& & & & & \frac{1}{2} & &  {\color{blue}\frac{1}{2}} & & & &\\
& & & & \frac{1}{3} & &  {\color{blue}\frac{1}{6}} & & \frac{1}{3} & & &\\
& & & \frac{1}{4} & &  {\color{blue}\frac{1}{12}} & & \frac{1}{12} & & {\color{red}\frac{1}{4}} & &\\
& & \frac{1}{5} & &  {\color{blue}\frac{1}{20}} & & \frac{1}{30} & & \frac{1}{20} & & {\color{blue}\frac{1}{5}} &\\
& \frac{1}{6} & &  {\color{blue}\frac{1}{30}} & & \frac{1}{60} & & \frac{1}{60} & & {\color{blue}\frac{1}{30}} & & \frac{1}{6}\\
& & & &\vdots & & & &\vdots & & &\\
\end{array}</math>
</div>
|}

De exemplu,
:<math>{\color{blue}\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...={\color{red}1}</math>
:<math>{\color{blue}\frac{1}{5}+\frac{1}{30}+\frac{1}{105}+...}=\frac{1}{4}-\frac{1}{20}+\frac{1}{20}-\frac{1}{60}+\frac{1}{60}-\frac{1}{140}+...={\color{red}\frac{1}{4}}</math>

Înlocuind formula pentru coeficienți se obține seria infinită <math>\sum_{r=c}^{\infty} \frac{1}{r{r-1 \choose c-1}}=\frac{1}{c-1}.</math> Primul exemplu dat aici a apărut inițial în lucrarea lui Leibniz din jurul anului 1694.<ref>{{en icon}} {{Cite journal|last=Esteve|first=Massa|last2=Rosa|first2=Maria|date=2018-06-22|title=The harmonic triangle in Mengoli 's and Leibniz's works|url=https://upcommons.upc.edu/handle/2117/121858|journal=Quaderns d'història de l'enginyeria|volume=XVI|pages=233–258|issn=1135-934X}}</ref>

== Proprietăți ==
Dacă se iau numitorii celui de al {{mvar|n}}-lea rând și se adună, atunci rezultatul va fi egal cu <math>n 2^{n - 1}.</math> De exemplu, pentru al 3-lea rând, 3 + 6 + 3 = 12 = 3×2<sup>2</sup>.

Termenul <math>L(r, c)</math> se poate calcul și din integrala:
:<math>L(r, c) = \int_0^1 \! x ^ {c-1} (1-x)^{r-c} \,dx.</math>

== Note ==
<references responsive/>

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Gottfried Leibniz]] 
[[Categorie:Triunghiuri de numere|Armonic]]
[[Categorie:Matematică discretă]]
[[Categorie:subiecte factoriale și binomiale]]