Vizualizare sursă pentru „Triunghi Schwarz”

În [[geometrie]] un '''triunghi Schwarz''', numit astfel după [[Hermann Amandus Schwarz |Hermann Schwarz]], este un [[trigonometrie sferică |triunghi sferic]] care poate fi folosit pentru a [[pavare |pava]] o [[sferă]] ([[poliedru sferic |pavare sferică]]), eventual în straturi suprapuse, prin reflexii față de laturile sale. Au fost clasificate în {{Harv|Schwarz|1873}}.

Acestea pot fi definite mai general ca [[teselare |teselări]] ale sferei, [[spațiu euclidian |planului euclidian]] sau [[spațiu hiperbolic |planului hiperbolic]]. Fiecare triunghi Schwarz de pe o sferă definește un [[grup finit]], în timp ce în planul euclidian sau hiperbolic ele definesc un grup infinit.

Un triunghi Schwarz este reprezentat de trei numere raționale (''p q r'') fiecare reprezentând unghiul de la un vârf. Valoarea ''n/d'' înseamnă că unghiul vârfului este ''d/n'' dintr-un semicerc. ''2'' înseamnă un [[triunghi dreptunghic]]. Atunci când acestea sunt numere întregi, triunghiul se numește '''triunghi Möbius''' și corespunde unei pavări fără suprapuneri, iar grupul de simetrie se numește {{ill-wd| Q652123}}. Pe sferă există trei triunghiuri Möbius plus o familie cu un parametru; în plan există trei triunghiuri Möbius, în timp ce în spațiul hiperbolic există o familie de triunghiuri Möbius cu trei parametri și niciun {{ill-wd| Q5419511}}.

== Spațiul soluțiilor ==
Un triunghi cu [[domeniu fundamental |domeniul fundamental]] (''p q r''), cu unghiuri de vârf {{math|&pi;}}/''p'', {{math|&pi;}}/''q'' și {{math|&pi;}}/''r'', poate exista în spații diferite în funcție de valoarea sumei reciprocelor acestor numere întregi:
: <math>
\begin{align}
\frac 1 p + \frac 1 q + \frac 1 r & > 1 \text{ : Sfera} \\[8pt]
\frac 1 p + \frac 1 q + \frac 1 r & = 1 \text{ : Plan euclidian} \\[8pt]
\frac 1 p + \frac 1 q + \frac 1 r & < 1 \text{ : Plan hiperbolic}
\end{align}
</math>

Adică acesta este un mod de a spune că în spațiul euclidian suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este {{math|&pi;}}, în timp ce pe o sferă suma este mai mare decât {{math|&pi;}}, iar în spațiul hiperbolic suma este mai mică decât {{math|&pi;}}.

== Reprezentare grafică ==
Un ''triunghi Schwarz'' este reprezentat grafic printr-un [[graf complet |graf triunghiular]]. Fiecare nod reprezintă o latură (plan de reflexie, „oglindă”) a triunghiului Schwarz. Fiecare muchie este etichetată cu o valoare rațională corespunzătoare [[ordin de simetrie|ordinului]] de reflexie, fiind {{math|&pi;}}/unghiul vârfului.
{| class=wikitable
|[[Fișier:Schwarz triangle on sphere.png|280px]]<br/>Triunghi Schwarz (''p q r'') pe o sferă
|[[Fișier:Schwarz triangle graph.png]]<br/>Graful triunghiului Schwarz
|}

Laturile de ordinul 2 reprezintă oglinzi perpendiculare care pot fi ignorate în această diagramă. [[Diagramă Coxeter–Dynkin |Diagrama Coxeter–Dynkin]] reprezintă acest graf triunghiular cu muchiile de ordinul 2 ascunse.

Un [[grup Coxeter]] poate fi folosit pentru o notație mai simplă, ca (''p q r'') pentru grafurile ciclice, (''p q'' 2 ) = [''p'',''q''] pentru triunghiurile dreptunghice, și cu (''p'' 2 2) = [''p'']×[].

== Lista triunghiurilor Schwarz ==
=== Triunghiuri Möbius pe sferă ===
{| class=wikitable align=right
![[Fișier:Sphere symmetry group d2h.png|120px]]<br/>(2 2 2) sau [2,2]
![[Fișier:Sphere symmetry group d3h.png|120px]]<br/>(3 2 2) sau [3,2]
!...
|-
![[Fișier:Sphere symmetry group td.png|120px]]<br/>(3 3 2) sau [3,3]
![[Fișier:Sphere symmetry group oh.png|120px]]<br/>(4 3 2) sau [4,3]
![[Fișier:Sphere symmetry group ih.png|120px]]<br/>(5 3 2) sau [5,3]
|}

Triunghiurile Schwarz din numere întregi, numite și ''triunghiuri Möbius'', cuprind o familie cu un parametru și trei cazuri [[obiect excepțional|excepționale]]:

# [''p'',2] sau (''p'' 2 2) – [[Simetrie diedrală]], {{CDD|node|p|node|2|node}}
# [3,3] sau (3 3 2) – [[Simetrie tetraedrică]], {{CDD|node|3|node|3|node}}
# [4,3] sau (4 3 2) – [[Simetrie octaedrică]], {{CDD|node|4|node|3|node}}
# [5,3] sau (5 3 2) – [[Simetrie icosaedrică]], {{CDD|node|5|node|3|node}}

=== Triunghiuri Schwarz pe sferă după densitate ===
Ttriunghiurile Schwarz (''p q r''), grupate după [[densitate (politop) |densitate]]:
{| class=wikitable
!Densitate
!Diedral
!Tetraedric
!Octaedric
!Icosaedric
|-
|''d''||('''2''' '''2''' ''n''/''d'') || || ||
|-
|1|| ||('''2''' 3 3)|| ('''2''' 3 4)|| ('''2''' 3 5)
|-
|2|| ||(3/2 3 3)|| (3/2 4 4)|| (3/2 5 5), (5/2 3 3)
|-
|3|| ||('''2''' 3/2 3)|| || ('''2''' 5/2 5)
|-
|4|| || ||(3 4/3 4)|| (3 5/3 5)
|-
|5|| ||('''2''' 3/2 3/2)|| ('''2''' 3/2 4)||
|-
|6|| ||(3/2 3/2 3/2)|| || (5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5)
|-
|7|| || ||('''2''' 3 4/3)|| ('''2''' 3 5/2)
|-
|8|| || || ||(3/2 5/2 5)
|-
|9|| || || ||('''2''' 5/3 5)
|-
|10|| || || ||(3 5/3 5/2), (3 5/4 5)
|-
|11|| || ||('''2''' 3/2 4/3)|| ('''2''' 3/2 5)
|-
|13|| || || ||('''2''' 3 5/3)
|-
|14|| || ||(3/2 4/3 4/3)|| (3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4)
|-
|16|| || || ||(3 5/4 5/2)
|-
|17|| || || ||('''2''' 3/2 5/2)
|-
|18|| || || ||(3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2)
|-
|19|| || || ||('''2''' 3 5/4)
|-
|21|| || || ||('''2''' 5/4 5/2)
|-
|22|| || || ||(3/2 3/2 5/2)
|-
|23|| || || ||('''2''' 3/2 5/3)
|-
|-
|26|| || || ||(3/2 5/3 5/3)
|-
|27|| || || ||('''2''' 5/4 5/3)
|-
|29|| || || ||('''2''' 3/2 5/4)
|-
|32|| || || ||(3/2 5/4 5/3)
|-
|34|| || || ||(3/2 3/2 5/4)
|-
|38|| || || ||(3/2 5/4 5/4)
|-
|42|| || || ||(5/4 5/4 5/4)
|}

=== Triunghiuri în planul euclidian ===
{| class="wikitable" align=right
|[[Fișier:Tile 3,6.svg|120px]]<br/>(3 3 3)
|[[Fișier:Tile V488 bicolor.svg|120px]]<br/>(4 4 2)
|[[Fișier:Tile V46b.svg|120px]]<br/>(6 3 2)
|}

Densitate 1:

# (3 3 3) – 60-60-60 ([[triunghi echilateral |echilateral]]), {{CDD|branch|split2|node}}
# (4 4 2) – 45-45-90 ([[triunghi dreptunghic]] [[triunghi isoscel |isoscel]]), {{CDD|node|4|node|4|node}}
# (6 3 2) – 30-60-90, {{CDD|node|6|node|3|node}}
<!--#(2 2 ∞) - 90-90-0 "triunghi" *** Grup al frizei, grup diedral infinit, necompact-->

Densitate 2:

# (6 6 3/2) - 120-30-30 triunghi

Densitate ∞:

# (4 4/3 ∞)
# (3 3/2 ∞)
# (6 6/5 ∞)

=== Triunghiuri în planul hiperbolic ===
{| class="wikitable" align=right style="text-align:center;"
|-
|[[Fișier:3-7 kisrhombille.svg|120px]]<br/>(7 3 2)
|[[Fișier:H2-8-3-kisrhombille.svg|120px]]<br/>(8 3 2)
|[[Fișier:H2-5-4-kisrhombille.svg|120px]]<br/>(5 4 2)
|-
|[[Fișier:Uniform dual tiling 433-t012.png|120px]]<br/>(4 3 3)
|[[Fișier:Uniform dual tiling 443-t012.png|120px]]<br/>(4 4 3)
|[[Fișier:Infinite-order triangular tiling.svg|120px]]<br/>(∞ ∞ ∞)
|-
|colspan=3|Domenii fundamentale de triunghiuri (''p q r'')
|}
Densitate 1:

* (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
* (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
* (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
* (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
* (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
* (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
* (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
* (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
* ...
* (∞ ∞ ∞)

Densitate 2:

* (3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞)
* (5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞)
* (7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞)
* (9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞)
* ...

Densitate 3:

* (2 7/2 7), (2 9/2 9), (2 11/2 11) ...

Densitate 4:

* (7/3 3 7), (8/3 3 8), (3 10/3 10), (3 11/3 11) ...

Densitate 6:

* (7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11) ...
* (7/2 7/2 7/2), (9/2 9/2 9/2), ...

Densitate 10:

* (3 7/2 7)

Triunghiul Schwarz (2 3 7) este cel mai mic triunghi Schwarz hiperbolic și, ca atare, prezintă un interes deosebit. {{ill-wd| Q652123||Grupul triunghiului său}} (sau mai precis grupul von Dyck index 2 al [[Izometrie|izometriilor]] care conservă [[orientare (geometrie) |orientarea]]) este [[grupul triunghiului (2,3,7)]], care este grupul universal pentru toate grupurile Hurwitz&nbsp;— grupuri maxime de izometrii ale {{ill-wd| Q753035||suprafețelor Riemann}}. Toate grupurile Hurwitz sunt legate de grupul triunghiului (2,3,7) și toate suprafețele Hurwitz sunt pavate de triunghiul Schwarz (2,3,7). Cel mai mic grup Hurwitz este [[grup simplu |grupul simplu]] de ordinul 168, al doilea cel mai mic grup simplu neabelian, care este izomorf cu PSL(2,7), iar suprafața Hurwitz asociată (din [[gen (matematică) |genul]] 3) este {{ill-wd| Q977499||cvartica Klein}}.

Triunghiul (2,3,8) pavează {{ill-wd| Q3505269||suprafața Bolza}}, o suprafață de genul 2 foarte simetrică (dar nu Hurwitz).

Triunghiurile cu un unghi neîntreg, enumerate mai sus, au fost clasificate pentru prima dată de [[Anthony W. Knapp]].<ref>{{en icon}} A. W. Knapp, ''Doubly generated Fuchsian groups'', Michigan Mathematics Journal 15 (1968), no. 3, 289–304</ref> Se cunoaște și o listă de triunghiuri cu mai multe unghiuri neîntregi.<ref>{{en icon}} Klimenko & Sakuma, ''Two-generator discrete subgroups of Isom( H 2 ) containing orientation-reversing elements'', Geometriae Dedicata, October 1998, Volume 72, Issue 3, pp 247-282</ref>

== Note ==
<references/>

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{citation|first=H.S.M.|last=Coxeter|author-link=Coxeter|title=Regular Polytopes|edition=Third|year=1973|publisher=Dover Publications|isbn=0-486-61480-8}}, Table 3: Schwarz's Triangles
* {{en icon}} {{citation|title=Noneuclidean Tesselations and Their Groups|first=Wilhelm|last=Magnus|publisher=Academic Press|year=1974|isbn=0080873774}}
* {{de icon}} {{Citation | last1=Schwarz | first1=H. A. | title=Ueber diejenigen Fälle in welchen die Gaussichen hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002155206 | year=1873 | volume=1873 | journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik | issue=75 | issn=0075-4102 | pages=292–335 | doi=10.1515/crll.1873.75.292| s2cid=121698536 }} (Note that Coxeter references this as "Zur Theorie der hypergeometrischen Reihe", which is the short title used in the journal page headers).
* {{en icon}} {{Citation
| publisher = CUP Archive
| isbn = 978-0-521-22279-2
| last = Wenninger
| first = Magnus J.
| title = Spherical models
| chapter = An introduction to the notion of polyhedral density
| pages = [https://books.google.com/books?id=Olc5AAAAIAAJ&pg=PA132 132–134]
| year = 1979
}}

== Legături externe ==
* {{en icon}} {{mathworld | urlname = SchwarzTriangle | title = Schwarz triangle}}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|../explain/pqr.htm |3D| The general Schwarz triangle (p q r) and the generalized incidence matrices of the corresponding polyhedra}}

{{Portal|matematică}}
{{Teselări|state=expand}}

[[Categorie:Trigonometrie sferică]]
[[Categorie:Poliedre]]