Vizualizare sursă pentru „Triunghi”

{{pp-semi-vandalism|small=yes}}
{{note de subsol|date=mai 2014}}
{{Infocaseta Poligon
| name        = Triunghi
| image       = Triangle illustration.svg
| caption     = Imagine
| edges       = 3
| schläfli    = {3} (pt. [[Triunghi echilateral|echilateral]])
| coxeter     = {{CDD|node_1|3|node}}
| symmetry    = [[Dihedral group|Dih<sub>3</sub>]] [3], 2*3
| area        = diverse metode
| angle       = 60° (pt. echilateral)
| properties  = [[Convexitate|convex]]
}}
{{altesensuri}}
'''Triunghiul''' este [[Figură geometrică|figura geometrică]] dată de [[reuniune (matematică)|reuniunea]] [[Segment (geometrie)|segmentelor]] închise determinate de trei [[Punct (geometrie)|puncte]] distincte [[Coliniaritate|necoliniare]]. Este una dintre [[formă|formele]] [[poligon]]ale fundamentale ale [[geometrie]]i.

== Definiții ==
<math> [AB] \cup [BC]\cup [CA] = \triangle [ABC] </math>  
* punctele ''A, B, C'' se numesc vârfurile triunghiului.
* ''[AB], [BC], [AC]'' se numesc laturile triunghiului.
* <math> \angle BAC,\angle ABC,\angle ACB </math> se numesc unghiurile (interne) triunghiului.

==Clasificare==
Clasificarea triunghiurilor se face:
* în funcție de lungimile laturilor
* după felul unghiurilor

===În funcție de lungimile laturilor===
Un triunghi cu toate laturile congruente se numește ''[[triunghi echilateral]]''. Un triunghi cu două laturi congruente se numește ''[[triunghi isoscel]]''. Un triunghi care are laturile de lungimi diferite se numește ''triunghi scalen'' (sau ''oarecare'').

<gallery>
Fișier:Triangle.Equilateral.svg|Triunghi echilateral
Fișier:Triangle.Isosceles.svg|Triunghi isoscel
Fișier:Triangle.Scalene.svg|Triunghi scalen
</gallery>

===După felul unghiurilor===
Triunghiul cu toate unghiurile ascuțite este numit ''triunghi ascuțitunghic''. Dacă unul dintre unghiuri este drept, triunghiul este denumit ''[[triunghi dreptunghic|dreptunghic]]''. Triunghiul cu un unghi mai mare de 90<sup>0</sup> se numește ''triunghi obtuzunghic''.

<gallery>
Fișier:Triangle.Right.svg|Triunghi dreptunghic.
Fișier:Triangle.Obtuse.svg|Triunghi obtuzunghic.
Fișier:Triangle.Acute.svg|Triunghi ascuțitunghic. 
</gallery>

== Drepte, segmente și puncte remarcabile ==
[[Fișier:Bissectrices et cercle inscrit.JPG|thumb|250px|Bisectoarele interne ale unui triunghi și cercul înscris.]]
[[Fișier:Triangle hauteurs.png|thumb|250px|Înălțimile unui triunghi și ortocentrul.]]
===Bisectoarea===
[[Bisectoare]]a  este [[Semidreaptă|semidreapta]] interioară, cu originea în vârful unghiului, care împarte unghiul în 2 unghiuri congruente. Bisectoarele celor trei unghiuri interne ale triunghiului se numesc ''bisectoarele interne ale triunghiului''.

===Înălțimea===
{{main|Înălțime (geometrie)}}
[[Înălțime]]a este [[Segment de dreaptă|segmentul de dreaptă]] determinat de un vârf al unui triunghi și piciorul perpendicularei duse din acel vârf pe latura opusă sau pe prelungirea ei.

===Mediana===
{{main|Mediană}}
[[Mediana]] este segmentul de dreaptă care unește un vârf al unui triunghi cu mijlocul laturii opuse.

===Mediatoarea===
[[Mediatoare]]a este dreapta perpendiculară pe un segment dusă prin mijlocul acestuia. Mediatoarele celor trei laturi ale triunghiului se numesc ''mediatoarele triunghiului''.

===Linia mijlocie===
{{main|Linie mijlocie}}
[[Linia mijlocie]] este segmentul determinat de mijloacele a două laturi ale triunghiului. Ea este paralelă cu cea de-a treia latură și este egală cu jumătate din lungimea acesteia. Cele trei linii mijlocii ale unui triunghi formează un triunghi asemenea cu triunghiul inițial.

===Centrul cercului circumscris===
Centrul [[cerc circumscris|cercului circumscris]] unui triunghi se află la intersecția celor trei [[mediatoare]] (perpendiculare pe mijlocul fiecărei laturi) ale triunghiului respectiv. Centrul cercului circumscris se află în interiorul triunghiului (în cazul triunghiurilor ascuțitunghice) sau în exteriorul triunghiului (în cazul triunghiurilor obtuzunghice). La [[Triunghi dreptunghic|triunghiurile dreptunghice]] centrul cercului circumscris se găsește pe [[ipotenuză]], la mijlocul acesteia.

===Centrul cercului înscris===
Centrul [[cerc]]ului înscris într-un triunghi se află la intersecția celor trei [[bisectoare]] ale unghiurilor interne ale triunghiului.

===Ortocentrul===
Ortocentrul unui triunghi se află la intersecția celor trei [[înălțime(geometrie)|înălțimi]] ale triunghiului respectiv. Ortocentrul se află în interiorul triunghiului (în cazul triunghiurilor ascuțitunghice) sau în exteriorul triunghiului (în cazul triunghiurilor obtuzunghice). La [[Triunghi dreptunghic|triunghiurile dreptunghice]] ortocentrul este chiar vârful unghiului drept.

===Centrul de greutate===
Intersecția celor trei [[mediane]] ale triunghiului este „centrul de greutate” al triunghiului.

Ortocentrul, centrul de greutate și centrul cercului circumscris triunghiului sunt coliniare, formând ''dreapta lui [[Euler]]''.

Centrul de greutate se află pe fiecare mediană la o distanță de 2/3 de la vârf și de 1/3 de la bază.

== Congruență ==
Două triunghiuri sunt congruente dacă [[latură|laturile]] și [[unghi]]urile corespunzătoare sunt [[Congruență (geometrie)|congruente]].

===Criterii de congruență===
Criteriile de congruență sunt [[Teoremă|teoreme]] care permit verificarea congruenței a două triunghiuri folosind numai trei congruențe între elementele lor.<ref>Hadamard (1962), ''Lecții de geometrie elementară. Geometrie plană'', p. 28.</ref>
# Criteriul U.L.U. (unghi-latură-unghi): Dacă o latură și unghiurile alăturate ei dintr-un triunghi sunt congruente cu elementele corespunzătoare lor din alt triunghi, atunci cele două triunghiuri sunt congruente.
# Criteriul L.U.L. (latură-unghi-latură): Dacă două laturi și unghiul determinat de ele dintr-un triunghi sunt congruente cu elementele corespunzătoare din alt triunghi, atunci cele 2 triunghiuri sunt congruente.
# Criteriul L.L.L. (latură-latură-latură): Dacă cele trei laturi dintr-un triunghi sunt congruente cu laturile corespunzătoare lor din alt triunghi, atunci cele două triunghiuri sunt congruente.

===Congruența triunghiurilor dreptunghice===
# Cazul C.C. (catetă-catetă): două triunghiuri dreptunghice care au catetele congruente, sunt congruente.
# Cazul C.U. (catetă-unghi): două triunghiuri dreptunghice care au câte o catetă și câte un unghi ascuțit congruent,sunt congruente.
# Cazul I.U. (ipotenuză-unghi): două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele congruente și o pereche de unghiuri ascuțite congruente, sunt congruente.
# Cazul I.C. (ipotenuză-catetă): două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele congruente și o pereche de catete congruente, sunt congruente.

== Asemănare ==
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile corespunzătoare congruente și laturile corespunzătoare proporționale.

===Criterii de asemănare===
Criteriile de asemănare sunt [[Teoremă|teoreme]] care permit verificarea asemănării a două triunghiuri.<ref>Hadamard (1962), ''Lecții de geometrie elementară. Geometrie plană'', p. 93.</ref>
# Criteriul U.U. (unghi-unghi): Două triunghiuri sunt asemenea dacă au câte două unghiuri respectiv congruente .
# Criteriul L.U.L. (latură-unghi-latura): Dacă două triunghiuri au două laturi proporționale și un unghi congruent, atunci triunghiurile sunt asemenea.
# Criteriul L.L.L. (latură-latură-latură): Dacă două triunghiuri au laturile corespunzătoare proporționale, atunci cele două triunghiuri sunt asemenea.

===Teoreme și consecințe===
* O paralelă dusă la una din laturile unui triunghi, formează cu celelalte două laturi, sau cu prelungirile lor, un triunghi asemenea cu triunghiul dat.
* Orice triunghi este asemenea cu el însuși.
* Dacă triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, iar triunghiul A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> este asemenea cu triunghiul A<sub>2</sub>B<sub>2</sub>C<sub>2</sub>, atunci și triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A<sub>2</sub>B<sub>2</sub>C<sub>2</sub>.
* Două triunghiuri congruente sunt întotdeauna asemenea.
* Toate triunghiurile echilaterale sunt asemenea între ele.

== Reguli, proprietăți, teoreme aplicabile ==
# În orice triunghi suma măsurilor unghiurilor interne este de 180°.
# Un triunghi are șase unghiuri externe, congruente două câte două.
# Într-un [[triunghi isoscel]] unghiurile alăturate bazei sunt congruente.
# Într-un [[triunghi dreptunghic]] unghiurile ascuțite sunt complementare.
# Într-un triunghi dreptunghic lungimea [[Ipotenuză|ipotenuzei]] este mai mare decât oricare din lungimile celor două [[Catetă|catete]].
# Într-un triunghi oarecare, laturii mai mari i se opune un unghi mai mare decât cel care se opune laturii mai mici.
# Într-un triunghi ascuțitunghic centrul cercului circumscris se găsește în interiorul triunghiului.
# Într-un triunghi obtuzunghic centrul cercului circumscris se găsește în exteriorul triunghiului.
# Într-un triunghi dreptunghic centrul cercului circumscris coincide cu mijlocul ipotenuzei.
# Cercul înscris într-un triunghi intersectează (atinge) fiecare latură într-un singur punct, numit punct de tangență.
# Într-un triunghi se pot construi trei [[Linie mijlocie|linii mijlocii]].
# Într-un triunghi linia mijlocie este paralelă cu cea de-a  treia latură a triunghiului, și are lungimea egală cu jumătate din lungimea acesteia.
# Triunghiul având ca laturi cele trei linii mijlocii dintr-un triunghi se numește triunghi median.
# Ortocentrul (punctul de intersecție al celor trei [[Înălțime (geometrie)|înălțimi]]) unui triunghi ascuțitunghic se găsește în interiorul triunghiului.
# Ortocentrul unui triunghi obtuzunghic se găsește în exteriorul triunghiului.
# Ortocentrul unui triunghi dreptunghic coincide cu vârful unghiului drept.
#[[Teorema lui Thales]]: în orice triunghi, o paralelă dusă la una din laturi împarte celelalte două laturi, sau prelungirile acestora, în segmente proporționale.
#[[Reciproca Teoremei lui Thales]]: în orice triunghi, dacă o dreaptă determină pe două laturi, sau pe prelungirile acestora, segmente proporționale, atunci ea este paralelă cu a treia latură.
#[[Teorema bisectoarei]]: bisectoarea unui unghi al unui triunghi oarecare determină pe latura opusă segmente proporționale cu laturile care formează unghiul.
#[[Teorema lui Pitagora]]: într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.
#[[Teorema lui Pitagora generalizată]]: într-un triunghi oarecare, pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul lor multiplicat cu cosinusul unghiului dintre ele.<ref>{{fr icon}}W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner, ''Petite encyclopédie des mathématiques'', Édition Didier, Paris, 1980, chapitre 11-2, p. 265. ISBN 978-2-278-03526-7</ref>
#[[Teorema lui Ceva]]: într-un triunghi oarecare ABC, dacă D, E, F sunt trei puncte diferite de vârfurile triunghiului, aflate respectiv pe laturile acestuia [BC], [CA], [AB], dreptele AD, BE și CF sunt [[drepte concurente|concurente]] [[dacă și numai dacă]]: <math>\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB} = 1</math>.<ref>Viorel Gh. Vodă (1983), ''Vraja geometriei demodate'', p. 226.</ref>
#Teorema lui [[Ernesto Cesàro|Cesàro]]: într-un triunghi cu laturile ''a, b, c'', are loc relația: <math>m_a^4+m_a^4+m_c^4=\tfrac{9}{16}(a^4+b^4+c^4)</math>, unde ''m<sub>a</sub>, m<sub>b</sub>'' și ''m<sub>c</sub>'' sunt lungimile medianelor.<ref>Viorel Gh. Vodă (1983), ''Vraja geometriei demodate'', p. 225.</ref>
#Într-un triunghi oarecare, măsura unui unghi exterior triunghiului este egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare nealăturate. Un unghi exterior unui triunghi este mai mare decât oricare din unghiurile interne nealăturate.

== Formule ==
=== Perimetru și semiperimetru ===
:<math>P_{\triangle}=a+b+c \!</math>
:<math>p_{\triangle}= \frac {P_\triangle}{2}</math>

=== Arie ===
:<math>A_{\triangle} \leq \frac {P^2_{\triangle}}{12\sqrt{3}}</math>, iar <math>A_{\triangle ec}=\frac {P^2_{\triangle}}{12\sqrt{3}}</math>
:<math>A_{\triangle}= \frac {l \cdot h_l}{2}</math>
:<math>A_{\triangle dr}= \frac {1}{2}b*c</math>
:<math>A_{\triangle ec}= \frac {l^2 \sqrt {3}}{4}</math>
:<math>A_{\triangle}=pr</math>
:<math>A_{\triangle}= \frac {abc}{4R}</math>
:<math>A_{\triangle}= \frac{D^2 \cdot \sin\alpha \cdot \sin\beta \cdot \sin \gamma}{2}</math>
:<math>A_{\triangle}= \frac{ab \cdot \sin(a;b)}{2}= \frac{bc \cdot \sin(b;c)}{2}= \frac{ac \cdot \sin(a;c)}{2}</math>
:<math>A_{\triangle}=\frac{\sqrt{ab\cdot h_ah_b}}{2}=\frac{\sqrt{ac\cdot h_ah_c}}{2}=\frac{\sqrt{bc\cdot h_bh_c}}{2}</math>
:<math>A_{\triangle}=\frac{a+b}{2(h^{-1}_a+h^{-1}_b)}=\frac{a+c}{2(h^{-1}_a+h^{-1}_c)}=\frac{b+c}{2(h^{-1}_b+h^{-1}_c)}</math>
:<math>A_{\triangle}=\frac{Rh_bh_c}{a}=\frac{Rh_ah_c}{b}=\frac{Rh_ah_b}{c}</math>

'''Formula lui Heron:'''
:<math>A_{\triangle}=\frac{\sqrt {P(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)}}{4}</math>
:<math>A_{\triangle} = \sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>

'''Alte forme ale formulei lui Heron:'''
:<math>A_{\triangle}=  \frac{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}}{4}</math>
:<math>A_{\triangle}=  \frac{\sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}}{4}</math>
:<math>A_{\triangle}=  \frac{\sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}}{4}</math>

'''Formule derivate din formula lui Heron:'''
[[Fișier:Triangle with notations 2.svg|thumb|right|Un triunghi cu laturile de lungime a, b și respectiv c și unghiurile de măsura α, β și respectiv γ.]]
:<math>A_{\triangle}=\frac{4\sqrt{\sigma(\sigma-m_a)(\sigma-m_b)(\sigma-m_c)}}{3}</math>
:unde
:<math>\sigma=\frac {m_a+m_b+m_c}{2}</math>
:<math>A^{-1}_{\triangle}=4 \sqrt {H(H-h^{-1}_a)(H-h^{-1}_b)(H-h^{-1}_c)}</math>
:unde
:<math>H=\frac {h^{-1}_a+h^{-1}_b+h^{-1}_c}{2}</math>
:<math>A_{\triangle}=D^2\sqrt{S(S-\sin\alpha)(S-\sin\beta)(S-\sin\gamma)}</math>
:unde <math>S=\frac{\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma}{2}</math>, iar<math>D=\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}</math>

=== Alte formule ===
:<math>h_{\triangle ec}= \frac {l \sqrt{3}}{2}</math>
:<math>h_{\triangle dr}= \frac {xy}{i}</math>
:<math>h_{\triangle dr}= \sqrt{pr_x \cdot pr_y}</math> sau <math>h^2_{\triangle dr}=pr_x\cdot pr_y</math>
:<math>h_{\triangle dr} \cdot i=xy</math>
:<math>i^2=x^2 + y^2\,</math> sau <math>i=\sqrt{x^2+y^2}</math>
:<math>c= \sqrt {pr_c \cdot i}</math> sau <math>c^2=pr_c \cdot i</math>
:<math>m_i= \frac {i}{2}</math>
:<math>m_a=\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{2}</math> ;   <math>m_b=\frac{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}{2}</math> ;   <math>m_c=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}</math>
:<math>m_a=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-\frac{3a^2}{4}}</math> ;   <math>m_b=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-\frac{3b^2}{4}}</math> ;   <math>m_c=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-\frac{3c^2}{4}}</math>
:<math>R_{\triangle ec}= \frac {l \sqrt{3}}{3}</math>
:<math>r_{\triangle ec}= \frac {l \sqrt{3}}{6}</math>
:<math>r=\frac{2A_{\triangle}}{P_{\triangle}}</math>
:<math>r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}</math>
:<math>\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{4}=m^2_a+m^2_b+m^2_c</math>
:<math>\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}</math>
:<math>\frac{r}{R}=\frac{4A^2_{\triangle}}{p\cdot abc}</math>
:<math>\frac{r}{R}=\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma-1</math>
:<math>2Rr=\frac{abc}{a+b+c}</math>

''Notă''. Au fost utilizate notațiile:

''A'' (arie); ''l'' (una dintre laturile triunghiului); ''a, b, c'' (laturile unui triunghi); α,β,γ (unghiurile triunghiului); ''P'' (perimetru); ''p'' (semiperimetru); ''h'' (înălțime); ''R'' (raza cercului circumscris triunghiului); ''D'' (diametrul cercului circumscris al triunghiului) ; ''r'' (raza cercului înscris în triunghi); ''pr'' (proiecția catetei pe ipotenuză); ''m'' (mediana).

==Note==
<references />

== Bibliografie ==
* [[Jacques Hadamard]], ''Lecții de geometrie elementară. Geometrie plană'', Editura Tehnică, București, 1962
* Viorel Gh. Vodă, ''Vraja geometriei demodate'', Editura Albatros, București, 1983
* Dumitru Săvulescu, Ștefan Sabău, Emil Teodorescu. ''Breviar teoretic și teste de matematică'', Editura Corint, București 2001.

== Lectură suplimentară ==
* [[Traian Lalescu]], ''Geometria triunghiului'', Editura Tineretului, București, 1958.
* Ionescu-Țiu, C., ''Geometrie plană și în spațiu, pentru admiterea la facultate'', Editura Albatros, București, 1976.
* Cătălin Barbu, ''Teoreme fundamentale din geometria triunghiului'', Editura Unique, 2008.

== Legături externe ==
{{wiktionary|triunghi}}
{{Commonscat-inline}}
* {{en icon}}[https://mathworld.wolfram.com/Triangle.html Wolfram MathWorld: Triangle], accesat la 9 octombrie 2020

{{Poligoane}}

[[Categorie:Triunghiuri| ]]