Vizualizare sursă pentru „Triacontaedru rombic”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Triacontaedru rombic
| image_up = rhombictriacontahedron.svg
| caption = ([[:Fișier:rhombictriacontahedron.gif|animație]] și [[:Fișier:Rhombic triacontahedron.stl|model 3D]])
| type = [[Poliedru Catalan]]
| euler = 2
| faces = 30 [[romb]]uri
| edges = 60
| vertices = 32
| vertex_config =
| face_config = V3.5.3.5
| schläfli =
| wythoff =
| coxeter = {{CDD|node|5|node_f1|3|node}}
| conway = jD
| symmetry = [[Simetrie icosaedrică|I<sub>h</sub>]], H<sub>3</sub>, [5,3], (*532)
| rotsymmetry = [[Simetrie icosaedrică|I]], [5,3]<sup>+</sup>, (532)
| surface_area = &approx; 26,833 ''a''<sup>2</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| volume = &approx; 12,311 ''a''<sup>3</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| angle = 144°
| dual = [[Icosidodecaedru]]
| properties = [[Poliedru convex]], [[figură izoedrică |tranzitiv pe fețe]] și [[figură izotoxală |pe laturi]], [[zonoedru]]
| net = rhombictriacontahedron net.svg
}}
În [[geometrie]] un '''triacontaedru rombic''' (numit uneori, pe scurt, doar '''triacontaedru''') este un [[poliedru Catalan]] cu 30 de [[față (geometrie) |fețe]] [[romb]]ice, cel mai cunoscut poliedru cu astfel de fețe. Are două tipuri de vârfuri. Fiecare poliedru Catalan este [[poliedru dual |dualul]] unui [[poliedru arhimedic]]. Dualul triacontaedrului rombic este [[icosidodecaedru]]l. Este [[figură izoedrică |tranzitiv pe fețe]] și [[figură izotoxală |pe laturi]]. Este un [[zonoedru]].
[[Fișier:GoldenRhombus.svg|thumb|left|O față a triacontaedrului rombic: lungimile diagonalelor sunt în [[secțiunea de aur|raportul de aur]]]]
[[Fișier:icosidodecahedron.svg|thumb|Dual: Icosidodecaedru]]
Raportul dintre diagonala lungă și cea scurtă a fețelor este egal cu [[secțiunea de aur]], ''φ'', astfel încât [[unghi]]urile ascuțite de pe fiecare au {{nowrap|2 tan<sup>−1</sup>({{sfrac|1|''φ''}}) {{=}} tan<sup>−1</sup>(2)}}, adică aproximativ 63,43°. Un astfel de romb este un [[romb de aur]].

Fiind dualul unui poliedru arhimedic, triacontaedrul rombic este tranzitiv pe fețe, adică [[grup de simetrie |grupul de simetrie]] al poliedrului acționează tranzitiv asupra setului de fețe. Aceasta înseamnă că pentru oricare două fețe, A și B, există o [[rotație (matematică) |rotație]] sau [[reflexie (matematică) |reflexie]] care îl face să ocupe aceeași regiune a spațiului în urma mutării feței A pe fața B.

Triacontaedrul rombic este oarecum particular prin faptul că este unul dintre cele nouă poliedre convexe tranzitive pe laturi, celelalte fiind cele cinci [[poliedru platonic |poliedre platonice]], [[cuboctaedru]]l, [[icosidodecaedru]]l și [[dodecaedru rombic |dodecaedrul rombic]].

Triacontaedrul rombic este interesant și prin faptul că vârfurile sale au același [[aranjamentul vârfurilor |aranjament]] cu alte patru poliedre platonice. Vârfurile formează zece [[tetraedru |tetraedre]], cinci [[cub]]uri, un [[icosaedru]] și un [[dodecaedru]]. Centrele fețelor formează cinci [[octaedru |octaedre]].

Poate fi construit dintr-un [[octaedru trunchiat]] divizând fețele hexagonale în 3 romburi:
[[Fișier:Rhombic triacontahedron in truncated octahedron.png|thumb|Un triacontaedru rombic topologic într-un [[octaedru trunchiat]]]]

== Coordonate carteziene ==
Fie <math>\varphi</math> [[secțiunea de aur]]. Cele 12 puncte date de <math>(0, \pm 1, \pm \varphi)</math> și permutările ciclice ale acestor coordonate sunt vârfurile unui [[icosaedru]] regulat. [[Poliedru dual |Dualul]] său, [[dodecaedru]]l regulat, ale cărui laturi le intersectează pe cele ale icosaedrului în unghi drept, are ca vârfuri cele 8 puncte <math>(\pm 1, \pm 1, \pm 1)</math> împreună cu cele 12 puncte <math>(0, \pm\varphi, \pm 1/\varphi)</math> și permutările ciclice ale acestora. Toate cele 32 de puncte împreună sunt vârfurile unui triacontaedru rombic centrat în origine. Lungimea laturilor sale este <math>\sqrt{3-\varphi}\approx 1,175\,570\,504\,58</math>. Fețele sale au diagonale cu lungimile <math>2</math> și <math>2/\varphi</math>.

== Dimensiuni ==
Dacă lungimea laturii unui triacontaedru rombic este ''a'', aria suprafeței, volumul, [[raza]] unei [[sferă înscrisă |sfere înscrise]] ([[tangentă (geometrie) |tangentă]] la fiecare dintre fețele triacontaedrului rombic) și [[sferă mediană |raza mediană]], care atinge mijlocul fiecărei laturi sunt:<ref>{{en icon}} [[Stephen Wolfram]], [http://www.wolframalpha.com/input/?i=rhombic+triacontahedron ''rhombic triacontahedron''] from [[Wolfram Alpha]]. Retrieved 7 January 2013.</ref>
:<math>\begin{align}
S &= 12\sqrt{5}\,a^2 &&\approx 26,8328~a^2 \\
V &= 4\sqrt{5+2\sqrt{5}}\,a^3 &&\approx 12,3107~a^3 \\
r_\mathrm{i} &= \frac{\varphi^2}{\sqrt{1 + \varphi^2}}\,a = \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}}\,a &&\approx 1,37638~a \\
r_\mathrm{m} &= \left(1+\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\,a &&\approx 1,44721~a
\end{align}</math>
unde ''φ'' este [[secțiunea de aur]].

[[Sferă mediană |Sfera mediană]] este tangentă la fețe în centroizii lor. Diagonalele scurte formează laturile dodecaedrului regulat înscris, în timp ce diagonalele lungi formează laturile icosaedrului înscris.

{{Imagine dublă
|poz=stânga
|img-st=Acute golden rhombohedron.png
|img-st-marime=105
|img-dr=Flat golden rhombohedron.png
|img-dr-marime=120
|com=Forma ascuțită
|com-dr=Forma obtuză
}}
== Divizare  ==
Triacontaedrul rombic poate fi divizat în 20 de ''[[trapezoedru trigonal#Cazuri_particulare |romboedre de aur]]'': 10 ascuțite și 10 obtuze.<ref>{{en icon}} {{Cite web|url=http://www.cutoutfoldup.com/979-golden-rhombohedra.php|title = How to make golden rhombohedra out of paper}}</ref><ref>{{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/dissection-rt.html Dissection of the rhombic triacontahedron]</ref>
{{-}}

== Proiecții ortogonale ==
Triacontaedrul rombic are patru poziții de simetrie, două centrate pe vârfuri, una pe fețe și una pe mijloacele laturilor. În proiecția ''10'' apar ambele forme de romburi, care împreună produc [[pavare Penrose |pavarea Penrose]] neperiodică.
{|class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Proiecții ortogonale
|-
!Simetrie<br/>proiectivă
|[2]
|[2]
|[6]
|[10]
|-
!Imagine
|[[Fișier:Dual_dodecahedron_t1_v.png|120px]]
|[[Fișier:Dual dodecahedron_t1_e.png|120px]]
|[[Fișier:Dual dodecahedron_t1_A2.png|120px]]
|[[Fișier:Dual dodecahedron_t1_H3.png|120px]]
|-
!Imagine<br/>duală
|[[Fișier:Dodecahedron_t1_v.png|120px]]
|[[Fișier:Dodecahedron_t1_e.png|120px]]
|[[Fișier:Dodecahedron_t1_A2.png|120px]]
|[[Fișier:Dodecahedron_t1_H3.png|120px]]
|}

== Stelări ==
{{Imagine dublă
|poz=dreapta
|img-st=Rhombic_hexecontahedron.png
|img-st-marime=160
|img-dr=Construction of Rhombic hexecontahedron from Rhombic Triacontahedron.gif
|img-dr-marime=180
|com=[[Hexacontaedru rombic]]
|com-dr=Animație cu stelarea triacontaedrului rombic
}}
Triacontaedrul are 227 de [[stelare |stelări]] complete.<ref>{{en icon}} {{cite journal | last = Pawley | first = G. S. | title = The 227 triacontahedra | journal = Geometriae Dedicata | volume = 4 | issue = 2–4 | pages = 221–232 | publisher = Kluwer Academic Publishers | date = 1975 | issn = 1572-9168 | doi = 10.1007/BF00148756| s2cid = 123506315 }}</ref><ref>{{en icon}} {{cite journal | last = Messer | first = P. W. | title = Stellations of the Rhombic Triacontahedron and Beyond | journal = Structural Topology | volume = 21 | pages = 25–46 | date = 1995}}</ref> 
O altă stelare a triacontaedrului rombic este [[compus de cinci octaedre |compusul de cinci octaedre]]. Numărul total de stelări ale triacontaedrului rombic este de 358&nbsp;833&nbsp;097.

== Poliedre înrudite ==
{{Trunchieri icosaedrice}}

Acest poliedru este o parte dintr-o succesiune de [[poliedru rombic|poliedre rombice]] și pavări cu simetria [''n'',3] din [[grup Coxeter |grupul Coxeter]]. Cubul poate fi considerat un [[hexaedru]] rombic unde romburile sunt pătrate.
{{Tabel cvasiregulate3 duale}}

<gallery heights=150>
Spherical rhombic triacontahedron.png|Triacontaedru rombic sferic
Rhombic tricontahedron cube tetrahedron.png|Triacontaedru rombic cu un tetraedru înscris (roșu) și un cub (galben)<br />[[:Fișier:Rhombic tricontahedron cube tetrahedron.gif|(animație)]]
Rhombic tricontahedron icosahedron dodecahedron.png|Triacontaedru rombic cu un dodecaedru (albastru) și un icosaedru (violet)<br />[[:Fișier:Rhombic tricontahedron icosahedron dodecahedron.gif|(animație)]]
StellaTruncRhombicTriaconta.png|Triacontaedru rombic trunchiat complet
</gallery>

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book | first=Robert | last=Williams | title=The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design | publisher=Dover Publications, Inc | year=1979 | isbn=0-486-23729-X}} (Section 3-9)
* {{en icon}} {{Citation |last=Wenninger |first=Magnus |author-link=Magnus Wenninger |title=Dual Models |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-54325-5 |mr=730208 |year=1983 |doi=10.1017/CBO9780511569371}} (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, p.&nbsp;22, Rhombic triacontahedron)
* {{en icon}} John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), ''The Symmetries of Things'', {{ISBN|978-1-56881-220-5}} [https://web.archive.org/web/20100919143320/https://akpeters.com/product.asp?ProdCode=2205] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 285, Rhombic triacontahedron)

== Legături externe ==
* {{en icon}} {{Mathworld |urlname=RhombicTriacontahedron |title=Rhombic triacontahedron}}
* {{en icon}} {{Mathworld |urlname=CatalanSolid |title=Catalan solid}}
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20070701185550/http://polyhedra.org/poly/show/39/rhombic_triacontahedron Rhombic Triacontrahedron] – Interactive Polyhedron Model
* {{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] – The Encyclopedia of Polyhedra
* {{en icon}} [http://bulatov.org/polyhedra/rtc/ Stellations of Rhombic Triacontahedron]
* {{en icon}} ''[http://demonstrations.wolfram.com/120RhombicTriacontahedra/ 120 Rhombic Triacontahedra]'', [http://demonstrations.wolfram.com/3012RhombicTriacontahedra/ 30+12 Rhombic Triacontahedra], and [http://demonstrations.wolfram.com/12RhombicTriacontahedra/ 12 Rhombic Triacontahedra] by Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project

{{Portal|Matematică}}
{{Poliedre convexe}}

[[Categorie:Poliedre Catalan]]
[[Categorie:Poliedre cvasiregulate]]
[[Categorie:Zonoedre]]
[[Categorie:Secțiunea de aur]]