Vizualizare sursă pentru „Trasarea graficului unei curbe”

[[Fișier:Kurvendiskussion.svg|thumb|300px|Graficul funcției <math>3x^3-5x^2+8,</math> negru, prima sa [[derivată]] (<math>9x^2-10x,</math> roșu) și [[derivata a doua|a doua]] (<math>18x-10,</math> albastru). Valorile {{mvar|y}} unde {{mvar|x}} este roșu și curba roșie este 0 dau punctele extreme locale, [[maxim și minim|maximul]] HP, respectiv [[maxim și minim|minimul]] TP, iar valoarea {{mvar|y}} unde {{mvar|x}} este albastru și dreapta albastră este 0 dă [[punct de inflexiune |punctul de inflexiune]] WP ale curbei negre]]
În [[analiza matematică]] '''trasarea graficului curbei''' este o metodă de a furniza o reprezentare aproximativă a formei generale a unei [[curbă plană|curbe plane]] dată fiind ecuația sa, fără a calcula un  număr mare de puncte necesare pentru un grafic detaliat. Este o aplicație a teoriei curbelor pentru a găsi principalele caracteristici ale acestora.

== Tehnici de bază ==
Următoarele acțiuni sunt de obicei ușor de realizat și oferă indicii importante cu privire la forma unei curbe:
* Se determină intersecțiile curbei cu axele de coordonate. Intersecțiile cu axa {{mvar|x}} se obțin rezolvând relația {{mvar|y}}&nbsp;=&nbsp;0. Intersecțiile cu axa {{mvar|y}} se obțin calculând valorile lui {{mvar|y}} în {{mvar|x}}&nbsp;=&nbsp;0.
* Se determină simetriile curbei. Dacă toți exponenții lui {{mvar|x}} sunt pari, curba are o [[simetrie de reflexie]] față de axa {{mvar|y}}. Similar, dacă toți exponenții lui {{mvar|y}} sunt pari, curba are o simetrie de reflexie față de axa {{mvar|x}}. Dacă suma gradelor lui {{mvar|x}} și {{mvar|y}}'' în fiecare termen este întotdeauna pară sau întotdeauna impară, atunci curba are o simetrie de [[rotație (matematică)|rotație]] față de origine, care este „centrul” curbei.
* Se determină limitele lui {{mvar|x}} și {{mvar|y}} ([[domeniu de definiție|domeniul]] și [[codomeniu]]l).
* Dacă curba trece prin origine, se determină [[tangentă (geometrie)|tangenta]] acolo.
* Se determină [[asimptotă|asimptotele]] curbei. Se determină din care parte se apropie curba de asimptotă și unde asimptota taie curba.<ref>Hilton Chapter III §2</ref>
* Se calculează derivatele de ordinul întâi și al doilea. Rădăcinile acestora dau [[punct staționar |punctele staționare]], respectiv [[punct de inflexiune |punctele de inflexiune]].

== Paralelogramul lui Newton ==
'''Paralelogramul lui Newton''' (numit după [[Isaac Newton]]) este o tehnică pentru determinarea alurii unei curbe algebrice (ecuația curbei constând într-o [[expresie algebrică]] rațională) aproape și departe de origine. Acesta constă în reprezentarea grafică (α,&nbsp;β) pentru fiecare termen <math>Ax^\alpha y^\beta</math> din ecuația curbei. Diagrama rezultată este apoi analizată pentru a obține informații despre curbă.

Concret, se trage o linie diagonală care leagă două puncte pe diagramă, astfel încât orice alt punct să fie fie pe dreapta, fie deasupra acesteia. Există cel puțin o astfel de linie dacă curba trece prin origine. Fie ecuația liniei ''q''α+''p''β=''r''. Se presupune că curba este aproximată prin ''y'' = ''Cx<sup>p/q</sup>'' lângă origine. Apoi, termenul ''Ax''<sup>α</sup>''y''<sup>β</sup> este aproximativ ''Dx''<sup>α+βp/q</sup>. Exponentul este ''r/q'' atunci când (α,&nbsp;β) este pe linie și mai mare când este deasupra și spre dreapta. Prin urmare, în această presupunere termenii semnificativi apropiați de origine sunt doar cei care stau pe linie, iar ceilalți pot fi ignorați; asta oferă o ecuație aproximativă simplă pentru curbă. Pot exista mai multe astfel de linii diagonale, fiecare corespunzând uneia sau mai multor ramuri ale curbei, iar ecuațiile aproximative ale ramurilor pot fi găsite prin aplicarea pe rând a acestei metode fiecărei linii.

De exemplu, [[foliul lui Descartes]] este definit de ecuația
:<math>x^3 + y^3 - 3 a x y = 0 \,</math>. 
Paralelogramul lui Newton are puncte la (3,&nbsp;0), (1,&nbsp;1), și (0,&nbsp;3). Conform descrierii de mai sus, se pot trasa două diagonale, 2α+β=3 și α+2β=3. Acestea dau
:<math>x^2 - 3 a y = 0 \,</math>
:<math>y^2 - 3 a x = 0 \,</math>
ca ecuații aproximative pentru ramurile orizontală și verticală a curbei, care se intersectează în origine.<ref>Hilton Chapter III §3</ref>

== Triunghiul analitic ==
[[Jean Paul de Gua de Malves|De Gua]] a extins paralelogramul lui Newton sub forma '''triunghiului analitic''' (sau '''triunghiului lui de Gua'''). Punctele (α,&nbsp;β) sunt reprezentate grafic ca în metoda lui Newton, la care se adaugă dreapta α&nbsp;+&nbsp;β&nbsp;=&nbsp;{{mvar|n}}, unde {{mvar|n}} este gradul curbei, pentru a forma un triunghi care conține reprezentarea. Această metodă ia în considerare toate liniile care încadrează cel mai mic [[poligon convex]] care conține punctele reprezentate (v. [[înfășurătoare convexă]]).<ref>Frost Chapter IX</ref>

== Aplicații ==
* Trasarea [[Linie de curent |liniilor de curent]] în [[mecanica fluidelor]].

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
*{{en icon}} {{cite book |title=Plane Algebraic Curves|first=Harold|last=Hilton|publisher=Oxford|year=1920
|chapter=Chapter III: Curve-Tracing|url=https://archive.org/stream/cu31924001544216#page/n56/mode/1up}}
*{{en icon}} {{cite book |title=An Elementary Treatise on Curve Tracing|first=Percival|last=Frost
|publisher=MacMillan|year=1918
|url=https://archive.org/details/elementarytreati00fros}}

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
*{{en icon}} {{springer|title=Newton diagram|id=N/n066520|last=Trenogin|first=V.A.}}

{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Analiză matematică]]
[[Categorie:Curbe]]