Vizualizare sursă pentru „Trapezoedru tetragonal”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Trapezoedru tetragonal
| image_up = [[Fișier:Tetragonal trapezohedron.png|150px]]
| caption =
| type = [[trapezoedru]]
| euler = 2
| faces = 8 [[romboid |romboizi]]
| edges = 16
| vertices = 10
| vertex_config =
| face_config = V4.3.3.3
| schläfli = { } ⨁ {4}<ref>{{en icon}} Norman Johnson, ''Geometries and Transformations'', (2018) {{ISBN|978-1-107-10340-5}} Chapter 11: ''Finite symmetry groups'', 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c</ref>
| wythoff =
| coxeter = {{CDD||node_fh|2x|node_fh|8|node}}<BR>{{CDD||node_fh|2x|node_fh|4|node_fh}}
| conway = dA4<ref name=dA4> [http://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=C100dA4 C100dA4], ''polyHédronisme'' v0.2.1, accesat 2024-04-14</ref>
| symmetry = D<sub>''4d''</sub>, [2<sup>+</sup>,8], (2*4), ordin 16
| rotsymmetry = D<sub>''4''</sub>, [2,4]<sup>+</sup>, (224), ordin 8
| volume = &approx; 3,590 ''a''<sup>3</sup> &nbsp; (''a'' = latura mică)
| dual = [[antiprismă pătrată]]
| properties = [[Poliedru convex |convex]], cu fețe romboidale, [[figură izoedrică |tranzitiv pe fețe]]
}}

În [[geometrie]] un '''trapezoedru tetragonal''' este un [[romboedru]] (un [[poliedru]] [[tridimensional]] cu [[față (geometrie) |fețe]] în formă de [[romboid |romboizi]]) în care, în plus, toate fețele sunt [[congruență (geometrie) |congruente]]. Având opt fețe, este un [[octaedru]] neregulat. Este [[figură izoedrică |tranzitiv pe fețe]].

Este al doilea dintr-o [[mulțime infinită|serie infinită]] de [[trapezoedru |trapezoedre]], care sunt [[poliedru dual |dualele]] [[antiprismă |antiprismelor]], fiind dualul [[antiprismă pătrată |antiprismei pătrate]].  Ca urmare, poate fi descris prin simbolul Conway '''dA4'''. <ref name=dA4/>

== La generarea rețelelor ==
La simulări [[tridimensional]]e prin [[metoda elementelor finite]], pornind de la forma dată a domeniului modelat este mai simplu de {{ill-wd| Q4418033||discretizat domeniul}} cu [[tetraedru |tetraedre]], dar o rețea cu [[hexaedru |hexaedre]] este preferabilă. [[Algoritm]]ii de transformare a rețelei obținute sunt testați cu forme standard. Forma de trapezoedru tetragonal este cea folosită,<ref name="e96">{{en icon}} {{citation
 | last = Eppstein | first = David
 | contribution = Linear complexity hexahedral mesh generation
 | arxiv = cs/9809109
 | doi = 10.1145/237218.237237
 | location = New York, NY, USA
 | mr = 1677595
 | pages = 58–67
 | publisher = ACM
 | title = Proceedings of the Twelfth Annual Symposium on Computational Geometry (SCG '96)
 | year = 1996| s2cid = 3266195 }}.</ref><ref name="m99">{{en icon}} {{citation
 | last = Mitchell | first = S. A.
 | doi = 10.1007/s003660050018
 | issue = 3
 | journal = Engineering with Computers
 | pages = 228–235
 | title = The all-hex geode-template for conforming a diced tetrahedral mesh to any diced hexahedral mesh
 | volume = 15
 | year = 1999| s2cid = 3236051
 }}.</ref><ref name="sz04">{{en icon}} {{citation
 | last1 = Schwartz | first1 = Alexander
 | last2 = Ziegler | first2 = Günter M.
 | issue = 4
 | journal = Experimental Mathematics
 | mr = 2118264
 | pages = 385–413
 | title = Construction techniques for cubical complexes, odd cubical 4-polytopes, and prescribed dual manifolds
 | url = http://projecteuclid.org/euclid.em/1109106431
 | volume = 13
 | year = 2004| doi = 10.1080/10586458.2004.10504548
 | s2cid = 1741871
 | citeseerx = 10.1.1.408.1550
 }}.</ref><ref name="css06">{{en icon}} {{citation
 | last1 = Carbonera | first1 = Carlos D.
 | last2 = Shepherd | first2 = Jason F.
 | last3 = Shepherd | first3 = Jason F.
 | contribution = A constructive approach to constrained hexahedral mesh generation
 | doi = 10.1007/978-3-540-34958-7_25
 | location = Berlin
 | pages = 435–452
 | publisher = Springer
 | title = Proceedings of the 15th International Meshing Roundtable
 | year = 2006}}.</ref><ref name="e13">{{en icon}} {{citation
 | last = Erickson
 | first = Jeff
 | contribution = Efficiently hex-meshing things with topology
 | doi = 10.1145/2462356.2462403
 | location = New York, NY, USA
 | pages = 37–46
 | publisher = ACM
 | title = Proceedings of the Twenty-Ninth Annual Symposium on Computational Geometry (SoCG '13)
 | url = http://web.engr.illinois.edu/~jeffe/pubs/pdf/hexmesh.pdf
 | year = 2013
 | s2cid = 10861924
 | access-date = 2014-07-21
 | archive-date = 2017-08-10
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20170810205819/http://web.engr.illinois.edu/~jeffe/pubs/pdf/hexmesh.pdf
 | url-status = dead
 }}.</ref> simplificând un caz de testare anterior propus de matematicianul Robert Schneiders sub forma unei [[piramidă pătrată |piramide pătrate]] cu [[frontieră (topologie) |frontiera]] sa subdivizată în 16 patrulatere. În acest context trapezoedrul tetragonal a fost numit și '''octaedru cubic''',<ref name="sz04"/>  '''octaedru cvadrilateral''',<ref name="css06"/> sau '''ax octogonal''',<ref name="e13"/> deoarece are opt fețe patrulatere și este definit în mod unic drept poliedru combinatoric prin această proprietate.<ref name="sz04"/> Adăugarea la octaedrul cubic a patru cuboizi ar da și o rețea pentru piramida lui Schneiders.<ref name="m99"/> Ca poliedru [[conexitate |simplu conex]] cu un număr par de fețe patrulatere, octaedrul cubic poate fi descompus în cuboizi topologici cu fețe curbe care se întâlnesc față la față fără a subdiviza patrulaterele care le mărginesc,<ref name="e96"/><ref name="e13"/><ref>{{en icon}} {{citation
 | last = Mitchell | first = Scott A.
 | contribution = A characterization of the quadrilateral meshes of a surface which admit a compatible hexahedral mesh of the enclosed volume
 | doi = 10.1007/3-540-60922-9_38
 | location = Berlin
 | mr = 1462118
 | pages = 465–476
 | publisher = Springer
 | series = Lecture Notes in Computer Science
 | title = STACS 96: 13th Annual Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science Grenoble, France, February 22–24, 1996, Proceedings
 | volume = 1046
 | isbn = 978-3-540-60922-3
 | year = 1996| url = https://digital.library.unt.edu/ark:/67531/metadc626609/
 }}.</ref> iar astfel se poate construi o rețea explicită de acest tip.<ref name="css06"/> Totuși, nu este clar dacă se poate obține o descompunere de acest tip în care toți cuboizii sunt poliedre convexe cu fețe plane.<ref name="e96"/><ref name="e13"/>

== Mărimi asociate ==
=== Unghi diedru ===
[[Unghi diedru |Unghiul diedru]] al unui trapezoedru tetragonal cu toate unghiurile diedre egale este:<ref name=DMC>{{en icon}} David McCooey, [http://dmccooey.com/polyhedra/TetragonalTrapezohedron.html ''Tetragonal Trapezohedron''], dmccooey.com, accesat 2024-04-21</ref>
:<math>\delta = \arccos\left(-\frac17(2\sqrt2-1)\right)\, \approx 105,141508^\circ</math>

Dacă {{mvar|z}} este latura poliedrului dual (antiprisma pătrată), atunci mărimile asociate sunt date de relațiile următoare:

=== Lungimile laturilor ===
Latura scurtă, {{mvar|a}}, are lungimea:<ref name=DMC/><ref name=R>{{en icon}} [https://rechneronline.de/pi/trapezohedron.php Trapezohedron Calculator], rechneronline.de, accesat 2024-04-21</ref>
:<math>a = \sqrt{\sqrt2-1}\,z \approx 0,643594\,z.</math>

Latura lungă, {{mvar|b}}<sub>2</sub>, are lungimea:<ref name=DMC/><ref name=R/>
:<math>b = \frac12\sqrt{2(1+\sqrt2)}\,z \approx 1,098684\,z.</math>

=== Volum ===
Volumul este:<ref name=DMC/><ref name=R/>
:<math>V = \frac13{\left(4+3\sqrt2\right)}\,z^3 \approx 0,957000\,z^3 = 3,589843\,a^3.</math>

== Poliedre înrudite ==
{{multiple image
| align = right 
| image1 = Square antiprism.png
| width1 = 140
| caption1 = Dual: antiprismă pătrată
| image2 = Spherical tetragonal trapezohedron.svg
| width2 = 140
| caption2 = Trapezoedru sferic
}}
=== Poliedru dual ===
[[Poliedru dual |Dualul]] trapezoedrului tetragonal este [[antiprismă pătrată |antiprisma pătrată]].

=== Pavare sferică ===
Trapezoedrul hexagonal există și ca [[pavare sferică]], cu 2 vârfuri la poli și vârfuri alternante la distanță egală deasupra și sub [[ecuator]]. 
{{Trunchieri diedrice hexagonale}}
{{Trapezoedre}}

''Trapezoedrul tetragonal'' este primul dintr-o serie de [[poliedru dual |poliedre duale]] [[poliedru snub |snub]] și pavări cu [[configurația feței]] V3.3.4.3.''n''.
{{Tabel snub4}}

== În artă ==
Un trapezoedru tetragonal apare în stânga sus ca una dintre „stelele” poliedrice în [[xilogravură |xilogravura]] {{ill-wd| Q7602298|Stele (M.C. Escher)|''Stele''}} a lui [[Maurits Cornelis Escher |M.C. Escher]] din 1948.

== Note ==
<references />

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
*{{en icon}} [http://www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=square%20trapezohedron Paper model tetragonal (square) trapezohedron]
*{{en icon}} {{mathworld | urlname = Trapezohedron | title = Trapezohedron}}
{{Poliedre}}

[[Categorie:Duale ale poliedrelor uniforme]]