Vizualizare sursă pentru „Trapezoedru hexagonal”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Trapezoedru hexagonal
| image_up = [[Fișier:Hexagonal trapezohedron.png|150px]]
| caption =
| type = [[trapezoedru]]
| euler = 2
| faces = 12 [[romboid |romboizi]]
| edges = 24
| vertices = 14
| vertex_config =
| face_config = V6.3.3.3
| schläfli = { } ⨁ {6}<ref>{{en icon}} [[Norman Johnson]], ''Geometries and Transformations'', (2018) {{ISBN|978-1-107-10340-5}} Chapter 11: ''Finite symmetry groups'', 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c</ref>
| wythoff =
| coxeter = {{CDD||node_fh|2x|node_fh|12|node}}<BR>{{CDD||node_fh|2x|node_fh|6|node_fh}}
| conway = dA6<ref name=dA6> [http://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=C100dA6 C100dA6], ''polyHédronisme'' v0.2.1, accesat 2024-04-17</ref>
| symmetry = D<sub>''6d''</sub>, [2<sup>+</sup>,12], (2*6), ordin 24
| rotsymmetry = D<sub>''6''</sub>, [2,6]<sup>+</sup>, (226), ordin 12
| volume = &approx; 19,697 ''a''<sup>3</sup> &nbsp; (''a'' = latura mică)
| dual = [[antiprismă hexagonală]]
| properties = [[Poliedru convex |convex]], cu fețe romboidale, [[figură izoedrică |tranzitiv pe fețe]]
}}

În [[geometrie]] un '''trapezoedru hexagonal''' este un [[romboedru]] (un [[poliedru]] [[tridimensional]] cu [[față (geometrie) |fețe]] în formă de [[romboid |romboizi]]) în care, în plus, toate fețele sunt [[congruență (geometrie) |congruente]]. Având 12 fețe, este un [[dodecaedru]] neregulat. Este [[figură izoedrică |tranzitiv pe fețe]] și poate fi descris prin simbolul Conway '''dA6'''.<ref name=dA6/>

Este al patrulea dintr-o serie infinită de [[trapezoedru |trapezoedre]] care sunt [[poliedru dual |dualele]] [[antiprismă |antiprismelor]], fiind dualul [[antiprismă hexagonală |antiprismei hexagonale]].

== Simetrie ==
[[Grup de simetrie |Grupul de simetrie]] al trapezoedrului hexagonal este D<sub>6d</sub> de ordinul 24. [[Grup de rotație |grupul de rotație]] este D<sub>6</sub> de ordinul 12.

== Variații ==
Un grad de libertate în simetria D<sub>6</sub> transformă romboizii în [[patrulater]]e congruente cu [[latură (geometrie) |laturi]] de 3 lungimi diferite. La limită, o latură a fiecărui patrulater ajunge la lungimea zero, iar trapezoedrul devine o [[bipiramidă]].

[[Sistem cristalin |Aranjamentele cristaline]] ale [[atom]]ilor se pot repeta în spațiu cu o configurație trapezoedrică hexagonală în jurul unui atom, care este întotdeauna [[chiralitate (matematică) |enantiomorf]],<ref>{{en icon}} [http://www.metafysica.nl/turing/promorph_crystals_2.html 3 2 and Hexagonal-trapezohedric Class, 6 2 2]</ref> și cuprinde {{ill-wd| Q899033||grupurile spațiale}} 177–182.<ref name="hahn">{{en icon}} {{cite book |editor-last=Hahn |editor-first=Theo |title=International tables for crystallography |date=2005 |publisher=Published for the International Union of Crystallography by Springer |location=Dordrecht, Netherlands |isbn=978-0-7923-6590-7 |edition=5th}}</ref> ''β''-[[cuarț]]ul este singurul mineral comun cu acest sistem cristalin.<ref>{{en icon}} {{cite web |title=Crystallography: The Hexagonal System |url=https://www.mindat.org/article.php/2850/Crystallography%3A+The+Hexagonal+System |website=www.mindat.org |access-date=6 January 2023}}</ref>

Dacă romboizii care înconjoară cele două vârfuri sunt de forme diferite, acesta poate avea doar simetrie C<sub>6v</sub>, de ordinul 12. Acestea pot fi numite ''trapezoedre inegale''. Dualul este o ''antiprismă inegală'', cu poligoanele de sus diferite de cele de jos. Dacă este răsucit și inegal, simetria sa se reduce la o [[Simetrie ciclică în spațiul tridimensional |simetrie ciclică]], simetria C<sub>6</sub>, de ordinul 6.

{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Exemple de variații
!Tip
!colspan=2|Trapezoedru răsucit (izoedric)
!Trapezoedru inegal
!Inegal și răsucit
|-
![[Simetrie]]
!colspan=2|D<sub>6</sub>, (662), [6,2]<sup>+</sup>, ordin 12
!C<sub>6v</sub>, (*66), [6], ordin 12
!C<sub>6</sub>, (66), [6]<sup>+</sup>, ordin 6
|-
!Imagine<BR/>(''n'' = 6)
|[[Fișier:Twisted_hexagonal_trapezohedron.png|100px]]
|[[Fișier:Twisted_hexagonal_trapezohedron2.png|100px]]
|[[Fișier:Unequal_hexagonal_trapezohedron.png|100px]]
|[[Fișier:Unequal_twisted_hexagonal_trapezohedron.png|100px]]
|-
!Desfășurată
|[[Fișier:Twisted_hexagonal_trapezohedron net.png|100px]]
|[[Fișier:Twisted_hexagonal_trapezohedron2 net.png|100px]]
|[[Fișier:Unequal_hexagonal_trapezohedron net.png|100px]]
|[[Fișier:Unequal_twisted_hexagonal_trapezohedron net.png|100px]]
|}

== Mărimi asociate ==
=== Unghi diedru ===
[[Unghi diedru |Unghiul diedru]] al unui trapezoedru hexagonal regulat cu toate unghiurile diedre egale este:<ref name=DMC>{{en icon}} David McCooey, [http://dmccooey.com/polyhedra/HexagonalTrapezohedron.html ''Hexagonal Trapezohedron''], dmccooey.com, accesat 2024-04-21</ref>
:<math>\arccos{\left(-\frac{\sqrt3}3\right)}\, \approx 125,264390^\circ</math>

Dacă {{mvar|z}} este latura poliedrului dual (antiprisma hexagonală), atunci mărimile asociate sunt date de relațiile următoare:

=== Lungimile laturilor ===
Latura scurtă, {{mvar|a}}, are lungimea:<ref name=DMC/>
:<math>a = \frac12\sqrt{2\left(\sqrt3-1\right)}\,z \approx 0,605000\,z.</math>

Latura lungă, {{mvar|b}}, are lungimea:<ref name=DMC/>
:<math>b = \frac12\sqrt{2\left(5+3\sqrt3\right)}\,z \approx 2,257892\,z.</math>

=== Volum ===
Volumul este:<ref name=DMC/>
:<math>\frac12\sqrt{2\left(19+11\sqrt3\right)}\,z^3 \approx 4,361912\,z^3 \approx 19,697454,a^3.</math>

== Poliedre înrudite ==
{{multiple image
| align = right 
| image1 = Hexagonal antiprism.png
| width1 = 140
| caption1 = Dual: antiprismă hexagonală
| image2 = Spherical hexagonal trapezohedron.svg
| width2 = 140
| caption2 = Trapezoedru sferic
}}
=== Poliedru dual ===
[[Poliedru dual |Dualul]] trapezoedrului hexagonal este [[antiprismă hexagonală |antiprisma hexagonală]].

=== Pavare sferică ===
Trapezoedrul hexagonal există și ca [[pavare sferică]], cu 2 vârfuri la poli și vârfuri alternante la distanță egală deasupra și sub [[ecuator]]. 
{{Trunchieri diedrice hexagonale}}

== Note ==
<references />

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{mathworld | urlname = Trapezohedron | title = Trapezohedron}}
* {{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] The Encyclopedia of Polyhedra

{{Trapezoedre}}

[[Categorie:Duale ale poliedrelor uniforme]]