Vizualizare sursă pentru „Transformata Fourier”

În [[matematică]] '''transformata Fourier''' (numită astfel după matematicianul și fizicianul [[Joseph Fourier]]) este o operație care se aplică unei funcții complexe și produce o altă funcție complexă care conține aceeași informație ca funcția originală, dar reorganizată după [[frecvență|frecvențele]] componente. De exemplu, dacă funcția inițială este un semnal dependent de [[timp]], transformata sa Fourier descompune semnalul după frecvență și produce un spectru al acestuia. Același efect se obține dacă funcția inițială are ca [[argumentul unei funcții|argument]] poziția într-un [[spațiu]] uni- sau [[dimensiune|multidimensional]], caz în care transformata Fourier relevă spectrul uni- sau multidimensional al frecvențelor spațiale care alcătuiesc funcția de intrare.

== Definiție ==
Există mai multe formule pentru calculul transformatei Fourier, care diferă între ele prin amplitudinea rezultatului, scalarea sau semnul frecvenței. Una din formulele cele mai utilizate este:

<math>F(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx</math>

În anumite condiții din transformata Fourier se poate recupera complet funcția inițială aplicînd '''transformata Fourier inversă''':

<math>f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} F(\xi)\ e^{2 \pi i x \xi}\,d\xi</math>

Din punct de vedere conceptual argumentul ''ξ'' reprezintă o ''frecvență'', în timp ce ''x'' reprezintă o ''dimensiune'' (temporală sau spațială).

Transformata Fourier a funcției ''f'' se poate nota simbolic <math>F = \mathcal{F}\{f\}</math> sau ''F'' = ''TF''(ƒ).

Această capacitate a transformatei Fourier de reorganizare a informației după frecvențe (temporale, spațiale sau de alt fel) este extrem de utilă în prelucrarea semnalelor de diverse tipuri, la înțelegerea proprietăților unui mare număr de sisteme fizice, la rezolvarea unor ecuații și în alte domenii științifice teoretice și aplicate.

În multe cazuri este posibil să definim transformata Fourier în funcție de mai multe variabile, fiind importantă în fizică la studiul [[Undă (fizică)|formei undelor]] și [[optică]].  De asemenea este posibil să generăm transformata Fourier pe structuri discrete, precum grupurile finite, și un calculul eficient care, prin [[transformata Fourier rapidă]], este esențial în calculele de mare viteză.

== Introducere ==
Motivul folosirii transformatei Fourier vine de la studiul [[Serie Fourier|seriilor Fourier]]. Prin studiul acestor serii, funcții periodice complicate sunt scrise ca simple sume de unde matematice reprezentate prin funcțiile [[sinus]] și [[cosinus]]. Datorită proprietăților acestor funcții este posibil să revenim la valoarea fiecărei unde din sumă printr-o integrală. În multe cazuri se dorește folosirea [[Formula lui Euler|formulei lui Euler]], care se scrie sub forma ''e''<sup>2''πiθ''</sup>&nbsp;=&nbsp;cos&nbsp;2''πθ''&nbsp;+&nbsp;''i''&nbsp;sin&nbsp;2''πθ'', pentru a scrie seria Fourier în termenii undelor de bază ''e''<sup>2''πiθ''</sup>.  Această scriere are avantajul simplificării multor formule implicate în calcul, precum și furnizarea unei formulări pentru seria Fourier mult mai apropiată de definiția din acest articol. Trecerea de la sinus și cosinus la exponențiala complexă face necesară utilizarea coeficienților Fourier complecși. În mod uzual, interpretarea acestor numere complexe este aceea că, se dau [[amplitudine]]a undei precum și [[Fază (unde)|faza]] sau unghiul inițial al undei. Această trecere introduce și necesitatea ''frecvenței negative''. Dacă ''θ'' este măsurat în secunde atunci undele ''e''<sup>2''πiθ''</sup> și ''e''<sup>−2''πiθ''</sup> trebuie să parcurgă amândouă un cerc complet pe secundă, dar reprezintă frecvențe diferite în transformarea Fourier. 

Folosim [[Serie Fourier|seriile Fourier]] pentru a motiva transformata Fourier după cum urmează. Presupunem că ''ƒ'' este o funcție care are valoare zero în afara intervalului [−''L''/2,&nbsp;''L''/2]. Atunci putem expanda pe ''ƒ'' în serie Fourier pe intervalul [−''T''/2,''T''/2], în care mărimea notată cu '''c'''<sub>'''n'''</sub> a undei ''e''<sup>2''πinx/T''</sup> din seria Fourier a lui ''ƒ'' este dată de:

:<math>\hat{f}(n/T)=c_n=\int_{-T/2}^{T/2} e^{-2\pi i nx/T}f(x)\,dx</math>

iar ''ƒ'' este dată de formula:

:<math>f(x)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \hat{f}(n/T) e^{2\pi i nx/T}.</math>

Dacă scriem let ''ξ''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;''n''/''T'', iar Δ''ξ''&nbsp;=&nbsp;(''n''&nbsp;+&nbsp;1)/''T''&nbsp;−&nbsp;''n''/''T''&nbsp;=&nbsp;1/''T'', atunci această ultimă sumă devine [[Sumă Riemann|suma Riemann]]

:<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \hat{f}(\xi_n) e^{2\pi i x\xi_n}\Delta\xi.</math>

Făcând ca ''T''&nbsp;→&nbsp;∞ suma Riemann converge către integrala transformării Fourier inverse dată la secțiunea Definiție. În condiții convenabile acest argument poate fi dat cu precizie {{harv|Stein|Shakarchi|2003}}.  Prin urmare, ca și în cazul seriilor Fourier, transformarea Fourier poate fi gândită ca ''o funcție care măsoară cât de mult este prezentă în funcție fiecare frecvență individuală'' și putem recombina aceste unde folosind o integrală pentru a reproduce funcția originală.

Următoarea imagine furnizează o ilustrare vizuală a modului cum transformarea Fourier măsoară dacă o frecvență este prezentă într-o funcție oarecare. Funcția desenată este <math>f(t)=\cos(6\pi t)e^{-\pi t^2}</math>, care oscilează cu frecvența de 3 hertz (''t'' fiind măsurat în secunde) și tinde rapid către zero. Această funcție a fost aleasă special pentru ca partea reală  transformării Fourier să fie ușor de plotat. Această imagine este plotată în primul grafic. Pentru a calcula <math>\hat{f}(3)</math> trebuie să integrăm ''e''<sup>−2''πi''(3''t'')</sup>''ƒ''(''t'').  A doua imagine arată graficul părților reale și imaginare al acestei funcții. Partea reală a integralei este {{ill-wd| Q1139334||aproape peste tot}} pozitivă, deoarece când ''ƒ''(''t'') este negativă, atunci partea reală a lui ''e''<sup>−2''πi''(3''t'')</sup> este de asemenea negativă. Deoarece ele oscilează în același ritm, când ''ƒ''(''t'') este pozitivă, la fel este și partea reală a lui ''e''<sup>−2''πi''(3''t'')</sup>.  Rezultatul este acela că, atunci când este integrată partea reală, se obține o valoare relativ mare (în acest caz 0.5). Pe de altă parte, când încercăm să măsurăm o frecvență care nu este prezentă, precum în cazul în care privim spre <math>\hat{f}(5)</math>, integrantul oscilează suficient ca integrala să fie foarte mică. Situația generală poate fi un pic mai complicată decât aceasta, dar acest lucru este făcut în spiritul în care transformata Fourier măsoară cât de mult o frecvență individuală este prezentă într-o funcție ''ƒ''(''t'').
<gallery>
Image:Function ocsillating at 3 hertz.svg|Original function showing oscillation 3 hertz.
Image:Onfreq.svg| Real and imaginary parts of integrand for Fourier transform at 3 hertz
Image:Offfreq.svg| Real and imaginary parts of integrand for Fourier transform at 5 hertz
Image:Fourier transform of oscillating function.svg| Fourier transform with 3 and 5 hertz labeled.
</gallery>

== Proprietăți ale transformatei Fourier ==
O ''funcție integrabilă'' este o funcție ''ƒ'' pe [[dreapta reală]] care este [[Măsura Lebesgue|măsurabilă Lebesgue]] și satisface:
:<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)| \, dx < \infty.</math>

=== Proprietăți de bază ===
Fiind date funcțiile integrabile ''f''(''x''), ''g''(''x'') și ''h''(''x''), notăm transformatele lor Fourier respectiv prin <math>\hat{f}(\xi)</math>, <math>\hat{g}(\xi)</math> și <math>\hat{h}(\xi)</math>.
Transformarea Fourier are următoarele proprietăți de bază {{harv|Pinsky|2002}}.
{{http://docs.quah.ro/Transformata%20Fourier.pdf}}

;Liniaritate
:Pentru orice [[Număr complex|numere complexe]] ''a'' și ''b'', dacă ''h''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''aƒ''(''x'')&nbsp;+&nbsp;''bg''(''x''), atunci&thinsp;  <math>\hat{h}(\xi)=a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot\hat{g}(\xi).</math>
;Deplasare în timp (translație)
:Pentru orice [[număr real]] ''x''<sub>0</sub>, dacă ''h''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''ƒ''(''x''&nbsp;−&nbsp;''x''<sub>0</sub>), atunci&thinsp; <math>\hat{h}(\xi)= e^{-2\pi i x_0\xi }\hat{f}(\xi).</math>
;Deplasare în spectru (modulație)
:Pentru orice [[număr real]] ''ξ''<sub>0</sub>, dacă ''h''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''e''<sup>2''πixξ''<sub><small>0</small></sub></sup>''ƒ''(''x''), atunci&thinsp; <math>\hat{h}(\xi) = \hat{f}(\xi-\xi_{0})</math>.
;Schimbare de scală
: Pentru un [[număr real]] ''a&ne;0'', dacă ''h''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''ƒ''(''ax''), atunci&thinsp; <math>\hat{h}(\xi)=\frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math>.  
:Cazul ''a''&nbsp;=&nbsp;−1 conduce la proprietatea ''inversării timpului'', care arată că: dacă ''h''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''ƒ''(−''x''), atunci&thinsp; <math>\hat{h}(\xi)=\hat{f}(-\xi)</math>.
;Conjugata
: Dacă <math>h(x)=\overline{f(x)}</math>, atunci&thinsp; <math>\hat{h}(\xi) = \overline{\hat{f}(-\xi)}.</math>
:În particular, dacă ''&fnof;'' este real, atunci avem ''condiția reală''&thinsp; <math>\hat{f}(-\xi)=\overline{\hat{f}(\xi)}.</math>
:Dacă ''&fnof;'' este pur imaginar, atunci&thinsp; <math>\hat{f}(-\xi)=-\overline{\hat{f}(\xi)}.</math>
;Convoluția în timp
: Dacă <math>h(x)=\left(f*g\right)(x)</math>, atunci&thinsp; <math> \hat{h}(\xi)=\hat{f}(\xi)\cdot \hat{g}(\xi).</math>
;Convoluția în frecvență
: Dacă <math>h(x)= f(x)g(x)\!</math>, atunci&thinsp; <math> \hat{h}(\xi)=\frac{1}{2\pi}\hat{f}(\xi)* \hat{g}(\xi).</math>
;Derivarea în timp
:Dacă <math>h(x) = \frac{df(x)}{dx}</math>, atunci&thinsp; <math>\hat{h}(\xi)= 2\pi i x_0 \hat{f}(\xi).</math>
;Integrarea în timp
:Dacă <math>h(x) = \int f(x)dx</math>, atunci&thinsp; <math>\hat{h}(\xi)= \frac{1}{2\pi i x_0}\hat{f}(\xi).</math>
;Conservarea energiei
:Transformata Fourier conservă energia semnalului
:: <math>\int_{-\infty}^\infty f^2(x) \, dx  = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\xi) d\xi.</math>

=== Uniform continuitatea și lema Riemann-Lebesgue ===
[[File:Rectangular function.svg|thumb|[[Funcţia dreptunghiulară|Funcția dreptunghiulară]] este [[integrabilă Lebesgue]].]]
[[File:Sinc function (normalized).svg|thumb|[[Funcţia sinc|Funcția sinc]]. Transformarea Fourier a funcției dreptunghiulare este mărginită și continuă, dar nu este integrabilă Lebesgue.]]
Transformata Fourier a funcțiilor integrabile au proprietăți suplimentare care nu sunt valabile totdeauna. Transformatele Fourier ale funcțiilor integrabile ''ƒ'' sunt '''uniform continue''' și <math>\|\hat{f}\|_{\infty}\leq \|f\|_1</math> {{harv|Katznelson|1976}}. De asemenea aceste funcții satisfac [[lema Riemann-Lebesgue]] care stabilește că {{harv|Stein|Weiss|1971}}:

:<math>\hat{f}(\xi)\to 0\text{ as }|\xi|\to \infty.\,</math>

Transformata Fourier <math>\hat f</math> a unei funcții integrabile ''ƒ'' este mărginită și continuă, dar nu neapărat integrabilă. De exemplu, transformata Fourier a funcției dreptunghiulare (care este o [[funcție treaptă]] și deci integrabilă) este ''funcția sinc'', care nu este integrabilă Lebesgue, cu toate că are o [[integrală improprie]] care este convergentă, dar nu ''absolut convergentă''.

În general nu este posibil ''transformarea inversă'' ca o integrală Lesbesgue. Totuși, când ''ƒ'' și <math>\hat f</math> sunt integrabile, următoarea [[egalitate (matematică) |egalitate]] inversă este adevărată pentru aproape toate valorile ''x'':

:<math>f(x) = \int_{-\infty}^\infty \hat f(\xi) e^{2 i \pi x \xi} \, d\xi.</math>

Aproape peste tot ''ƒ'' este egală cu funcția continuă dată de partea dreaptă a egalului, Dacă ''ƒ'' este dată ca funcție continuă pe dreaptă, atunci egalitatea este valabilă pentru toate valorile ''x''.

O consecință a rezultatului precedent este aceea că transformata Fourier este [[injectivă]] pe spațiul [[Lp_space|''L''<sup>1</sup>('''R''')]].


=== Teorema lui Plancherel și a lui Parseval ===
Fie ''f''(''x'') și ''g''(''x'') integrabile și fie <math>\hat{f}(\xi)</math> și <math>\hat{g}(\xi)</math> transformatele lor Fourier. Dacă ''f''(''x'') și ''g''(''x'') sunt [[pătrat integrabile]], atunci aven [[teorema lui Parseval]] {{harv|Rudin|1987|loc=p. 187}}''':'''

: <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \overline{g(x)} \, dx = \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\xi) \overline{\hat{g}(\xi)} \, d\xi,</math>

în care bara de deasupra denotă [[complex conjugata]].

[[Teorema lui Plancherel]], care este echivalentă cu teorema lui Pearceval, stabilește că {{harv|Rudin|1987|loc=p. 186}}''':'''

:<math>\int_{-\infty}^\infty \left| f(x) \right|^2\, dx = \int_{-\infty}^\infty \left| \hat{f}(\xi) \right|^2\, d\xi. </math>

Teorema lui Planchenel face posibilă definirea transformatei Fourier pentru funcții din ''L''<sup>2</sup>('''R'''), după cum este descris în articolul de față la capitolul '''Generalizări'''. În fizică interpretarea teoremei lui Planchenel este aceea că transformarea Fourier conservă energia.

Vezi și [[dualitatea Pontryagin]] pentru o formulare generală a acestui concept în contextul grupului abelian local compact.

=== Formula de sumare Poisson ===
{{Articol principal|Formula de sumare Poisson}}

Formula de sumare Poisson furnizează o legătură între studiul transformatei Fourier și seriile Fourier. Fiind dată o funcție integrabilă ''ƒ'' putem considera periodizarea lui ''ƒ'' dată de:

:<math>\bar f(x)=\sum_{k\in\mathbb{Z}} f(x+k),</math>

în care sumarea este făcută pentru toți ''intregii k''. Formula de sumare Poisson leagă seria Fourier a lui <math>\bar f</math> de transformarea Fourier a lui <math>\bar f</math>, și anume stabilește că seria Fourier este dată de:

:<math>\bar f(x) \sim \sum_{k\in\mathbb{Z}} \hat{f}(k)e^{2\pi i k x}.</math>

=== Teorema convoluției ===
{{Articol principal|Teorema convoluției}}

Transformarea Fourier efectuează o translație între convoluție și [[înmulțire (matematică) |înmulțire]] funcțiilor. Dacă  ''ƒ''(''x'') și ''g''(''x'') sunt funcți integrabile cu transformatele Fourier <math>\hat{f}(\xi)</math> și <math>\hat{g}(\xi)</math>, atunci transformata Fourier a convoluției este dată de produsul transformatelor Fourier.

Aceast lucru înseamnă că, dacă:

:<math>h(x) = (f*g)(x) = \int_{-\infty}^\infty f(y)g(x - y)\,dy,</math>

în care * denotă operația de convoluție, atunci:

:<math>\hat{h}(\xi) =  \hat{f}(\xi)\cdot \hat{g}(\xi).</math>

În [[teoria sistemului invariant liniar în timp (LTI)]], în mod obișnuit ''g''(''x'') este interpretată ca [[răspunsul impuls]] al unui sistem LTI având intrarea ''ƒ''(''x'') și ieșirea ''h''(''x''), deoarece substituind [[Funcția lui Dirac|impulsul unitate]] pentru ''ƒ''(''x'') obținem ''h''(''x'')&nbsp;= ''g''(''x''). În acest caz &thinsp; <math>\hat{g}(\xi)</math>&thinsp; reprezintă [[Răspuns în frecvență|răspunsul în frecvență]] al sistemului.

În schimb, dacă ''ƒ''(''x'') poate fi descompusă ca produs a două funcții pătrat integrabile ''p''(''x'') și ''q''(''x''), atunci transformata Fourier a lui ''ƒ''(''x'') este dată prin convoluția respectivelor transformări Fourier <math>\hat{p}(\xi)</math> and <math>\hat{q}(\xi)</math>.

=== Teorema corelației încrucișate ===
{{Articol principal|Corelație încrucișată}}

Într-o manieră analoagă se poate arăta că, dacă ''h''(''x'') este corelație încrucișată a lui ''ƒ''(''x'') și ''g''(''x''):

:<math>h(x)=(f\star g)(x) = \int_{-\infty}^\infty \overline{f(y)}\,g(x+y)\,dy</math>

atunci transformata Fourier a lui ''h''(''x'') este:

:<math>\hat{h}(\xi) = \overline{\hat{f}(\xi)}\,\hat{g}(\xi).</math>

Ca un caz special, [[autocorelația]] funcției ''ƒ''(''x'') este:
:<math>h(x)=(f\star f)(x)=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(y)}f(x+y)\,dy</math>
pentru care:
:<math>\hat{h}(\xi) = \overline{\hat{f}(\xi)}\,\hat{f}(\xi) = |\hat{f}(\xi)|^2.</math>

=== Funcții proprii ===
O bază ortonormală importantă aleasă pentru ''L''<sup>2</sup>('''R''') este dată de funcțiile Hermite

: <math>{\psi}_n(x) = \frac{2^{1/4}}{\sqrt{n!}} \, e^{-\pi x^2}H_n(2x\sqrt{\pi}),</math>

în care <math>H_n(x)</math> are the [[polinoame Hermite]] "probabilistice", definite prin ''H<sub>n</sub>''(''x'')&nbsp;= (−1)<sup>''n''</sup>exp(''x''<sup>2</sup>/2)&nbsp;D<sup>''n''</sup>&nbsp;exp(−''x''<sup>2</sup>/2).  Sub această convenție pentrutransformata Fourier, avem: 

: <math> \hat\psi_n(\xi) = (-i)^n {\psi}_n(\xi) .</math>

Cu alte cuvinte, funcțiile Hermite formează un sistem [[Ortonormalitate|ortonormal]] de [[funcții proprii]] pentru transformata Fourier pe spațiul ''L''<sup>2</sup>('''R''') {{harv|Pinsky|2002}}. Totuși, modul de alegere al funcțiilor proprii nu este unic. Există patru [[Valoare proprie|valori proprii]] diferite ale transformării Fourier (±1 and ±''i'') și orice combinație de funcții proprii cu aceeași valoare proprie generează atlă funcție proprie. Ca o consecință a acestui fapt, este posibil ca să descompunem spațiul ''L''<sup>2</sup>('''R''') ca o sumă directă a patru spații ''H''<sub>0</sub>, ''H''<sub>1</sub>, ''H''<sub>2</sub> și ''H''<sub>3</sub>, în care transformarea Fourier să acționeze simplu pe ‚’H’’<sub>’’k’’</sub> prin înmulțirea cu ''i''<sup>''k''</sup>. Acest mod de definire a transformatei Fourier se datorează lui N.&nbsp;Wiener {{harv|Duoandikoetxea|2001}}. Alegerea funcțiilor Hermite este convenabilă deoarece ele sunt exponențial localizate în ambele domenii de frecvență și timp, dând astfel un punct de plecare pentru [[transformata Fourier fractională]] folosită în analiza timp-frecvență {{harv|Boashash|2003}}.

== Transformata Fourier pe spațiul Euclidian ==
Transformata Fourier poate fi definită și pe spații ''n-dimensionale'', caz în care transformata unei funcții ''ƒ''(''x'') integrabile, se definește prin integrala:

:<math>\hat{f}(\xi) = \mathcal{F}(f)(\xi) = \int_{\R^n} f(x) e^{-2\pi i x\cdot\xi} \, dx</math> 

In care ''x'' și ''ξ'' sunt [[Vector (fizică)|vectori]] n-dimensionali, iar {{nowrap|''x''&thinsp;'''•'''&thinsp;''ξ''}} este [[Produs scalar|produsul lor scalar]]. Produsul scalar se scrie câteodată sub forma <math>\left\langle x,\xi \right\rangle</math>.  

Toate proprietățile de bază de mai sus sunt valabile și pentru transformata Fourier n-dimensională, precum și teoremele lui Plancherel și Parseval. Când funcția este integrabilă transformata Fourier este uniform continuă, fiind valabilă și lema Riemann-Lebesgue. {{harv|Stein|Weiss|1971}}

=== Principiul de incertitudine ===
În general vorbind, cu cât este mai concentată funcția ''f''(''x''), cu atât trebuie să fie mai intinsă transformata Fourier <math>\hat{f}(\xi)</math>&thinsp;. În particular, pentru proprietatea schimbării de scală a transformatei Fourier se poate spune că: dacă "comprimăm" o funcție în "x", transformata ei Fourier se "intinde" în ''ξ'', deci nu este posibil să concentrăm și funcția și transformata ei.

Compromisul dintre compactarea unei funcții și transformata ei Fourier poate fi formalizat sub forma unui '''Principiu de Incertutudine'''. Această formalizare se poate face privind o funcție și transformarea ei Fourier drept [[variabile conjugate]] cu privire la [[Formă simplectică|forma simplectică]] pe domeniul timp-frecvență. Din punctul de vedere al [[Transformare canonică liniară|transformării canonice liniare]], transformata Fourier reprezintă o rotație de 90° în domeniul timp-frecvență care păstrează forma simplectică.

Să presupunem că funcția ''ƒ''(''x'') este de pătrat integrabilă și, fără a pierde din generalitate, să presupunem că funcția este normalizată:

:<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \,dx=1.</math>

Din teorema lui Planchenel urmează că <math>\hat{f}(\xi)</math>&thinsp; este de asemenea normalizată.

Dispersia în jurul lui ''x''&nbsp;= 0 poate fi măsurată prin ''dispersia față de zero'' {{harv|Pinsky|2002}} definită prin:

:<math>D_0(f)=\int_{-\infty}^\infty x^2|f(x)|^2\,dx.</math>

În termeni probabilistici acesta este [[Moment (matematică)|momentul al doilea]] al lui <math>|f(x)|^2\,\!</math> față de zero.

Principiul de incertitudine arată că: dacă ''ƒ''(''x'') este absolut continuă, iar funcțiile ''x''•''ƒ''(''x'') și ''ƒ''′(''x'') sunt de pătrat integrabile, atunci:

:<math>D_0(f)D_0(\hat{f}) \geq \frac{1}{16\pi^2}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;{{harv|Pinsky|2002}}.

Egalitatea este obținută numai în cazul în care <math>f(x)=C_1 \, e^{{- \pi x^2}/{\sigma^2}}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp; (deci &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\quad \hat{f}(\xi)= \sigma C_1 \, e^{-\pi\sigma^2\xi^2}</math>&nbsp;&nbsp;)&nbsp; în care ''σ''&nbsp;> 0 este arbitrar, iar ''C''<sub>1</sub> este de așa natură încât ''ƒ'' este  ''L''<sup>2</sup>–normalizată {{harv|Pinsky|2002}}. Cu alte cuvinte, acolo unde ''ƒ'' este o [[funcție Gaussiană]] normalizată centrată pe zero.

De fapt, această inegalitate implică:

: <math>\left(\int_{-\infty}^\infty (x-x_0)^2|f(x)|^2\,dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty(\xi-\xi_0)^2|\hat{f}(\xi)|^2\,d\xi\right)\geq \frac{1}{16\pi^2}</math>

pentru orice <math>x_0, \, \xi_0</math>&nbsp; din '''R'''&nbsp; {{harv|Stein|Shakarchi|2003}}.

În [[Mecanică cuantică|mecanica cuantică]] [[Momentul forței|momentul]] și poziția [[Funcție de undă|funcției de undă]] sunt perechi de transformate Fourier, până la un factor [[Constanta lui Planck|constant al lui Planck]]. Luând în considerare această constantă, inegalitatea de mai sus devine [[Principiul incertitudinii|principiul de incertitudine al lui Heisenberg]] {{harv|Stein|Shakarchi|2003}}.

=== Armonice sferice ===
Fie un set de [[Polinom|polinoame]] [[Funcție armonică|armonice]] [[Polinom omogen|omogene]] de [[gradul unui polinom|grad]] ''k'' pe '''R'''<sup>''n''</sup> notate '''A'''<sub>''k''</sub>. Setul '''A'''<sub>''k''</sub> conține [[Armonice solide|armonice sferice solide]] de grad ''k''. Armonicele sferice solide joacă un rol similar pe spații n-dimensioanle așa cum sunt [[Polinoame Hermite|polinoamele Hermite]] pe uni-dimensional. În mod special, dacă ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''e''<sup>−''π''|''x''|<sup>2</sup></sup>''P''(''x'') pentru unele polinoame ''P''(''x'') din '''A'''<sub>''k''</sub>, atunci <math>\hat{f}(\xi)=i^{-k}f(\xi)</math>. Fie setul '''H'''<sub>''k''</sub> închiderea din ''L''<sup>2</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) a combinațiilor liniare de funcții de forma ''f''(|''x''|)''P''(''x''), în care ''P''(''x'') apartine lui '''A'''<sub>''k''</sub>. Atunci spațiul ''L''<sup>2</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) este o sumă directă de spații '''H'''<sub>''k''</sub>, iar transformata Fourier reprezintă fiecare spațiu '''H'''<sub>''k''</sub> pe el însuși, fiind posibilă caracterizarea actiunii transformatei Fourier pe fiecare spațiu '''H'''<sub>''k''</sub> {{harv|Stein|Weiss|1971}}. Fie ''ƒ''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''ƒ''<sub>0</sub>(|''x''|)''P''(''x'') (cu''P''(''x'') din '''A'''<sub>''k''</sub>), atunci <math>\hat{f}(\xi)=F_0(|\xi|)P(\xi)</math> în care 

:<math>F_0(r)=2\pi i^{-k}r^{-(n+2k-2)/2}\int_0^\infty f_0(s)J_{(n+2k-2)/2}(2\pi rs)s^{(n+2k)/2}\,ds.</math>

Aici cu ''J''<sub>(''n''&nbsp;+&nbsp;2''k''&nbsp;−&nbsp;2)/2</sub> a fost notată [[Funcție Bessel|funcția Bessel]] de prima speță și ordin (''n''&nbsp;+&nbsp;2''k''&nbsp;−&nbsp;2)/2. Când ''k''&nbsp;=&nbsp;0 se obține o formulă folositoare pentru transformata Fourier a funcției radiale {{harv|Grafakos|2004}}.

=== Probleme restrictive ===
În spații n-dimensionale devine interesant studiul ''problemelor restrictive'' pentru transformata Fourier. Transformata Fourier a unei funcții integrabile este continuă, iar [[restricție (matematică) |restricția]] acestei funcții este definită pe orice mulțime. Dar pentru funcțiile de pătrat integrabile transformata Fourier poate fi o ''clasă'' generală de funcții de pătrat integrabile. Ca de pildă, restricția transformatei Fourier a unei funcții din ''L''<sup>2</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) nu poate fi definită pe o mulțime cu măsura 0. Este încă a arie activă de studiu înțelegerea problemelor restrictive din ''L''<sup>''p''</sup> for 1&nbsp;&lt;&nbsp;''p''&nbsp;&lt;&nbsp;2. În mod surprinzător, este posibil ca în câteva cazuri să definim transformata Fourier pe o mulțime ''S'', demonstrând că ''S'' are curbura diferită de zero. De interes particular este cazul când ''S'' este sfera de rază unitate din '''R'''<sup>''n''</sup>. În acest caz teorema restricției Tomas-[[Elias Stein|Stein]] stabilește că restricția transformatei Fourier pe sfera de rază unitate '''R'''<sup>''n''</sup> este un [[operator (matematică)|operator]] mărginit pe ''L''<sup>''p''</sup> cu condiția ca 1&nbsp;≤&nbsp;''p''&nbsp;≤ {{nowrap|(2''n'' + 2)&thinsp;/&thinsp;(''n'' + 3)}}.

O diferență notabilă dintre transformata Fourier pe [[spațiu unidimensional|spațiul unidimensional]] față de spațiul ''n''-dimensional implică operatorul sumei parțiale. Considerăm o colecție crescătoare de mulțimi măsurabile ''E''<sub>''R''</sub> indexate prin ''R''&nbsp;∈&nbsp;(0,∞), precum sfere de rază ''R'' cu centrul în origine sau curbe de rază 2''R''. Pentru o funcție integrabilă dată ''ƒ'', considerăm funcția ''ƒ''<sub>R</sub> definită prin:

:<math>f_R(x) = \int_{E_R}\hat{f}(\xi) e^{2\pi ix\cdot\xi}\, d\xi, \quad x \in \mathbb{R}^n.</math> 

Mai mult, presupunem că ''ƒ'' face parte din ''L<sup>p</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>). Pentru ''n''&nbsp;= 1 și {{nowrap|1 < ''p'' < ∞}}, dacă una este luată drept ''E''<sub>''R''</sub>&nbsp;= (−R,&nbsp;R), atunci ''ƒ''<sub>R</sub> converge spre ''ƒ'' în ''L<sup>p</sup>'' când ''R'' tinde spre  infinit, datorită [[Transformare Hilbert|transformării Hilbert]] mărginite. În mod natural s-ar crede că și pentru ''n''&nbsp;> 1 ar fi convergentă. Acest lucru nu se întâmplă în toate cazurile. De exemplu, în cazul în care ''E''<sub>''R''</sub> este un cub cu latura ''R'', operatorul sumei parțiale este încă convergent. La fel și sfera euclidiană ''E''<sub>''R''</sub>&nbsp;= {ξ&nbsp;:&nbsp;|ξ|&nbsp;&lt; R}, pentru ca operaturul sumei parțiale să conveargă este necesar ca multiplicatorul pentru sfera de rază unitate să fie mărginit în ''L<sup>p</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>).  Pentru ''n''&nbsp;≥&nbsp;2 avem celebra [[teoremă]] a lui [[Charles Fefferman]], în care se spune că multiplicatorul pentru sfera de rază unitate este nemărginit, în afară de cazul ''p''&nbsp;=&nbsp;2 {{harv|Duoandikoetxea|2001}}.  De fapt, când {{nowrap|''p'' ≠ 2}}, această teoremă arată că nu numai ''ƒ''<sub>R</sub> nu este convergentă spre ''ƒ'' în ''L<sup>p</sup>'', dar pentru unele funcții ''ƒ''&nbsp;∈ ''L<sup>p</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>), ''ƒ''<sub>R</sub> nu este un element din ''L<sup>p</sup>''.

== Generalizări ==
=== Transformata Fourier pe alte spații de funcții ===
Este posibil de a extinde definiția transformării Fourier și pe alte spații de funcții, deoarece funcțiile netede cu suport compact sunt integrabile și dense în ''L''<sup>2</sup>('''R'''), iar [[teorema lui Plancherel]] ne permite să extindem definiția transformării Fourier la funcțiile generale din ''L''<sup>2</sup>('''R''') prin continuitatea argumentelor. Mai mult, <math> \mathcal{F}</math>: ''L''<sup>2</sup>('''R''') → ''L''<sup>2</sup>('''R''') este un [[operator unitar]] {{harv|Stein|Weiss|1971|loc=Thm. 2.3}}, multe din proprietăți rămânând aceleași. [[Inegalitatea Hausdorff-Young]] poate fi folosită pentru a extinde definiția transformatei Fourier pentru a include funcții din ''L''<sup>''p''</sup>('''R''') pentru 1 ≤ ''p'' ≤ 2. Din nefericire, extinderile pentru ''p'' > 2 devin prea complicate. Transformata Fourier a funcțiilor din ''L''<sup>''p''</sup> pentru 2 < ''p'' < ∞ se cere a fi studiaă prin intermediul distribuțiilor {{harv|Katznelson|1976}}.  De fapt, se poate arăta că există funcții din ''L''<sup>''p''</sup> cu ''p''>2 astfel încât transformata Fourier nu este definită ca o funcție {{harv|Stein|Weiss|1971}}.
===Transformarea Fourier–Stieltjes===
Transformata Fourier de măsură finită Borel ''μ'' pe '''R'''<sup>''n''</sup> este dată de {{harv|Pinsky|2002}}:

:<math>\hat\mu(\xi)=\int_{\mathbb{R}^n} \mathrm{e}^{-2\pi i x \cdot \xi}\,d\mu.</math>

Această transformată continuă să se bucure de multe din proprietățile transformatei Fourier pentru funcțiile integrabile, cu diferența notabilă a lemei Riemann-Lebesgue care eșuează pe această măsură {{harv|Katznelson|1976}}. În cazul în care ''dμ''&nbsp;=&nbsp;''ƒ''(''x'')&nbsp;''dx'', atunci formula de mai sus se reduce la definiția uzuală pentru transformata Fourier a lui ''ƒ''. În cazul în care ''μ'' este distribuția de [[probabilitate]] asociată cu o variabilă aleatoare ''X'', transformata Fourier-Stieltjes este similară cu [[Funcție caracteristică (teoria probabilităților)|funcția caracteristică]], dar prin convenția tipică din [[teoria probabilităților]] se ia ''e''<sup>''ix•ξ''</sup> în loc de ''e''<sup>−2''πix•ξ''</sup> {{harv|Pinsky|2002}}. În cazul în care distribuția are o [[funcție de densitate a probabilității]], această definiție se reduce la transformarea Fourier aplicată funcției de densitate a probabilității, dar cu o alegere diferită a constantelor.

Transformata Fourier poate fi folosită pentru a da o caracterizare măsurilor de continuitate. [[Teorema lui Bochner]] caracterizează funcțiile care pot apărea drept transformata Fourier-Stieltjes a unei măsuri.

Mai mult, [[Funcția lui Dirac|funcția delta a lui Dirac]] nu este o funcție, dar este o [[măsură Borel]] finită, iar transformata ei Fourier este o funcțe constantă a cărei valoare specifică depinde de forma transformării Fourier folosite.

=== Distribuții temperate ===
{{Articol principal| Distribuții temperate }}
Transformata Fourier reprezintă spațiul [[Spațiu Schwartz|funcțiilor Schwartz]] pe el însuși, dând și un [[homeomorfism]] al spațiului pe el însuși {{harv|Stein|Weiss|1971}}.  Datorită acestui lucru este posibil să definim transformata Fourier a distribuțiilor temperate, care include toate funcțiile integrabile menționale mai sus, având în plus avantajul că transformata Fourier a oricărei distribuții temperate este tot o distribuție temperată.

Următoarele doua fapte oferă unele motive pentru definirea transformatei Fourier a unei distribuții. Fie ''ƒ'' și ''g'' două funcții integrabile, iar <math>\hat{f}</math> și <math>\hat{g}</math> transformatele lor Fourier. Atunci transformata fourier se supune următoarei formule de înmulțire {{harv|Stein|Weiss|1971}}:

:<math>\int_{\mathbb{R}^n}\hat{f}(x)g(x)\,dx=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\hat{g}(x)\,dx.</math>
 
În al doilea rând, fiecare funcție integrabilă ''ƒ'' definește o distribuție ''T<sub>ƒ</sub>'' prin relatia:
:<math>T_f(\varphi)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\varphi(x)\,dx</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; pentru toate funcțiile Schwartz ''φ''.

De fapt, fiind dată  o distribuție ''T'', definim transformata Fourier prin relația:

:<math>\hat{T}(\varphi)=T(\hat{\varphi})</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;for all Schwartz functions ''φ''. 

Urmează că:
:<math>\hat{T}_f=T_{\hat{f}}.\ </math>

Distribuțiile pot fi diferențiate și mai sus menționata compatibilitate a transformatei Fourier cu diferențierea și convoluția rămân adevărate pentru distribuțiile temperate.

=== Grupul abelian compact local ===
{{Articol principal|Dualitarea Pontryagin}}
Transformata Fourier poate fi generalizată pentru orice grup abelian compact local, [[grup abelian]] care este în același timp un [[Spațiu Hausdorff|spațiu topologic Hausdorff]] [[Spațiu compact local|compact local]], astfel că operațiile grupului sunt continue. Dacă G este grup abelian compact local, el are o măsură invariantă la o translație μ, numită [[măsura Harr]]. Pentru un grup abelian compact local G este posibil să plasăm o topologie pe mulțimea de [[Grup de caractere|caractere]] <math>\hat G</math> astfel că <math>\hat G</math> este de asemenea grup abelian compact local. Pentru o funcție ''ƒ'' din ''L''<sup>1</sup>(''G'') este posibil să definim transformata Fourier prin{{harv|Katznelson|1976}}:

:<math>\hat{f}(\xi)=\int_G \xi(x)f(x)\,d\mu\qquad\text{for any }\xi\in\hat G.</math>

=== Spațiul Hausdorff compact local ===
{{Articol principal|Reprezentarea Gelfand}}
Transformarea Fourier poate fi generalizată pentru orice spațiu Hausdorff compact local, care regenerează topologia, dar pierde structura grupului.

Dând un [[spațiu topologic Hausdorff compact local]] ''X'', spațiul ''A''=''C''<sub>0</sub>(''X'') al funcțiilor complexe continue pe ''X'' care tind către zero la infinit este în mod natural o [[algebră-C*]] [[comutativitate|comutativă]], prin intermediul adunării punctuale, înmulțirii punctuale, conjugatei complexe punctuale și cu norma precum [[norma uniformă]]. În schimb, caracterele acestei algebre ''A,'' notată <math>\Phi_A,</math> este în mod natural un spațiu topologic și poate fi identificat prin evaluarea dintr-un punct ''x'', având un [[izomorfism]] [[izometrie|izometric]] <math>C_0(X) \to C_0(\Phi_A)</math>. În cazul în care ''X''='''R''' este o linie reală, aceasta este exact o transformare Fourier.

=== Grupuri neabeliene ===
Transformarea Fourier poate fi de asemenea definită pentru funcțiile unui grup neabelian, cu condiția ca grupul să fie [[Spațiu compact|compact]]. Spre deosebire de transformata Fourier pe un grup abelian, care este scalar, transformata Fourier pe un grup neabelian este un operator {{harv|Hewitt|Ross|1971|loc=Chapter 8}}.  Transformata Fourier pe un grup compact este un instrument major în [[teoria reprezentărilor]] {{harv|Knapp|2001}} și [[analiza armonică necomutativă]].

Fie ''G'' grup topologic Hausdorff compact. Fie Σ colecția tuturor claselor de izomorfisme de [[Reprezentare unitară|reprezentări unitare]] ireductibile finit dimensionale, împreună cu o alegere determinată a reprezentării ''U''<sup>(σ)</sup> pe [[Spațiu Hilbert|spațiul Hilbert]] ''H''<sub>σ</sub> de dimensiune finită ''d''<sub>σ</sub> pentru fiecare σ&nbsp;∈&nbsp;Σ. Dacă μ este o [[măsură Borel]] pe ''G'', atunci transformata Fourier- Stieljes de μ este operatorul de pe ''H''<sub>σ</sub> definit prin:

:<math>\langle \hat{\mu}\xi,\eta\rangle_{H_\sigma} = \int_G \langle \overline{U}^{(\sigma)}_g\xi,\eta\rangle\,d\mu(g)</math>

în care <math>\scriptstyle{\overline{U}^{(\sigma)}}</math> este reprezentarea complex conjugată din ''U''<sup>(σ)</sup> care acționează pe ''H''<sub>σ</sub>.  Ca și în cazul abelian, dacă μ este absolut continuă în ceea ce privește [[Măsură Haar|măsura probabilității invariante stângi]] λ pe ''G'', atunci μ este [[Teorema Radon-Nikodym|reprezentată]] ca:
:<math>d\mu = fd\lambda</math>
pentru câteva funcții ''ƒ''&nbsp;∈&nbsp;[[Lp space|L<sup>1</sup>(&lambda;)]].  În acest caz se identifică transformarea Fourier de ''ƒ'' cu transformarea Fourier-Stieljes de μ.

Reprezentarea <math>\mu\mapsto\hat{\mu}</math> definește un izomorfism între [[Spațiu Banach|spațiul Banach]] ''M''(''G'') de măsură finită Borel și un subspațiu închis al spațiului Banach '''C'''<sub>∞</sub>(Σ) constând din toate secvențele ''E''&nbsp;=&nbsp;(''E''<sub>σ</sub>) indexate prin colecția Σ de operatori liniari mărginiți ''E''<sub>σ</sub>&nbsp;:&nbsp;''H''<sub>σ</sub>&nbsp;→&nbsp;''H''<sub>σ</sub> pentru care avem norma finită:
:<math>\|E\| = \sup_{\sigma\in\Sigma}\|E_\sigma\|</math>
Mai mult, [[teorema convoluției]] afirmă că, acest izomorfism de spații Banach este de fapt un izomorfism al [[Algebră C*|algebrei C*]] într-un spațiu '''C'''<sub>∞</sub>(Σ), în care ''M''(''G'') este înzestrată cu produsul convoluția măsurilor și '''C'''<sub>∞</sub>(Σ) produsul dat prin înmulțirea operatorilor pentru fiecare index σ.

Folosind [[teorema lui Peter-Weyl]] și formula de inversiune Fourier ([[teorema lui Plancherel]]) rezultă că: dacă ''ƒ''&nbsp;∈&nbsp;L<sup>2</sup>(''G''), atunci
:<math>f(g) = \sum_{\sigma\in\Sigma} d_\sigma \operatorname{tr}(\hat{f}(\sigma)U^{(\sigma)}_g)</math>
în care sumarea trebuie înțeleasă în sensul convergenței din L<sup>2</sup>.

Generalizarea transformatei Fourier pentru grupurile necomutative este [[dualitatea Tannaka-Krein]], care înlocuiește grupul de caractere cu categoria de reprezentări. Oricum, acest grup pierde legătura cu funcțiile armonice.


== Alternative ==
În termenii [[Procesare de semnal|procesării semnalelor]], o funcție de timp este o reprezentare a unui semnal cu o ''rezoluție în timp'' perfectă, dar cu nici o informație în frecvență, în timp ce transformata Fourier  are o ''rezoluție în frecvență'' perfectă, dar cu nici o informație în timp: magnitudinea transformatei Fourier arată cât de multă frecvență este conținută într-un punct, iar local este dată numai prin fază (argumentul transformării Fourier), dar undele staționare nu sunt localizate în timp – unda [[sinusoidă|sinusoidală]] continuând la infinit fără amortizare.

În [[analiza timp-frecvență]], ca o alternativă la transformata Fourier, se folosește [[transformata timp-frecvență]] sau [[distribuția timp-frecvență]], pentru a reprezenta semnalul într-o formă care conține unele infomații în timp și în frecvență – iar prin intermediul principiul de incertitudine, se obține un compromis între aceste transformate. Acestea pot fi o generalizare a transformatei Fourier, precum [[transformata Fourier de timp-scurt]] sau [[transformata Fourier fractională]], sau folosirea unor funcții diferite pentru reprezentarea semnalelor, precum [[tranformata wavelet]] sau [[transformata chirplet]] cu unde analoage transformării Fourier, fiind [[transformata wavelet continuă]]. {{harv|Boashash|2003}}.

== Aplicații ==
=== Analiza ecuațiilor diferențiale ===
Transformata Fourier, precum și [[transformata Laplace]], sunt pe larg folosite în rezolvarea [[Ecuație diferențială|ecuațiilor diferențiale]]. Transformata Fourier este compatibilă cu [[Derivată|diferențiala]] în următorul sens: dacă ''f''(''x'') este o funcție diferențiabilă cu transformata Fourier <math>\hat{f}(\xi)</math>, atunci transformata Fourier a derivatelor ei este dată de <math>2\pi i\xi\hat{f}(\xi)</math>. Acestea pot fi folosite pentru a transforma ecuațiile diferențiale în ecuații algebrice. De notat că, această tehnică se aplică numai problemelor al căror domeniu este axa reală. Extinzând transformata Fourier la funcții de mai multe variabile, [[Ecuații cu derivate parțiale|ecuațiile cu derivate parțiale]] având domeniul de definiție '''R'''<sup>n</sup>, pot fi de asemenea transformate în ecuații algebrice.

=== NMR, FT-IR și MRI ===
Transformata Fourier este de asemenea folosită în [[rezonanța magnetică nucleară]] (RMN), precum și în [[spectroscopie]], de exemplu în [[infraroșu]] (RI). În RMN, o formă exponențială a semnalului descreșterii induse libere (DIF) este obținută în domeniul timp, iar transformata Fourier pe o linie de formă Lorentz în domeniul frecventei. De asemenea, transformata Fourier este folosită în [[imaginea rezonanței magnetice]] (IRM) și [[Spectroscopie de masă|spectroscopiei de masă]].

== Domeniul și raza de aplicabilitate a transformatei Fourier ==
Adesea este de dorit să avem cel mai general domeniu posibil al transformatei Fourier. Definirea transformatei Fourier ca o integrală, restricționează domeniul la spațiul funcțiilor integrabile. Din nefericire, nu există caracterizări simple pentru care funcțiile sunt transformate Fourier de funcții integrabile{{harv|Stein|Weiss|1971}}.  Este posibil să extindem domeniul transformatei Fourier pe diverse căi. Lista următoare detaliază câteva din domeniile comune și raza pentru care transformata Fourier este definită.
* Spațiul [[Funcție Schwartz|funcției Schwartz]] este închis față de transformarea Fourier. Funcțiile Schwartz sunt funcții care descresc rapd și nu includ toate funcțiile care sunt relevante pentru transformarea Fourier.  Mai multe detalii pot fi găsite în {{harv|Stein|Weiss|1971}}.

* Spațiul ''L''<sup>''p''</sup> este reprezentat pe spațiul  ''L''<sup>''q''</sup>, where 1/''p''&nbsp;+ 1/''q''&nbsp;= 1 și 1&nbsp;≤&nbsp;''p''&nbsp;≤&nbsp;2 ([[inegalitatea Hausdorff–Young]]).

* În particular, spațiul ''L''<sup>2</sup> este închis sub transformata Fourier, dat în acest spațiu transformata Fourier nu mai este definită prin integrare.

* Spațiul ''L''<sup>1</sup> al funcțiilor Lebesgue integrabile sunt reprezentate în ''C''<sub>0</sub>, spațiul funcțiilor continue care tind spre zero la infinit  – nu doar în spațiul <math>L^\infty</math> al funcțiilor mărginite ([[lema Riemann–Lebesgue]]).

* Mulțimea [[Distribuții|distribuțiilor temperate]] este închisă față de transformarea Fourier. Distribuțiile temperate sunt tipuri defuncții generalizate. Este în această generalitate faptul că se poate defini transformata Fourier a obiectelor precum pieptănele lui Dirac.

== Alte notații ==
Alte notații pentru <math> \hat{f}(\xi)</math> sunt:
:<math>\tilde{f}(\xi),\  \tilde{f}(\omega),\  F(\xi),\  \mathcal{F}\left(f\right)(\xi),\  \left(\mathcal{F}f\right)(\xi),\  \mathcal{F}(f),\  \mathcal F(\omega),\ F(\omega),\  \mathcal F(j\omega),\  \mathcal{F}\{f\},\  \mathcal{F} \left(f(t)\right)</math> 

Notarea transformatei Fourier cu literă mare corespunde literei folosite pentru funcția care trebuie transformată (precum ''f''(''x'') și ''F''(''ξ'')), notații folosite în special în fizică și inginerie. În electronică, se folosește notația (''ω'') în loc de (''ξ''), datorită interpretării ei ca frecvență unghiulară, iar câteodată este scrisă ca ''F''(''jω''), în care ''j'' este unitatea imaginară, pentru a indica relația cu [[transformata Laplace]], scrisă câteodată și sub forma ''F''(2''πf'').


Interpretarea funcției complexe <math>\hat{f}(\xi)</math> poate fi de ajutor exprimând-o în [[coordonate polare]]:
:<math>\hat{f}(\xi)=A(\xi)e^{i\varphi(\xi)}</math>

în termenii a două funcții reale ''A''(''ξ'') și φ(''ξ'') în care''':'''
:<math>A(\xi) = |\hat{f}(\xi)|, \, </math>

este [[amplitudine]]a, iar

:<math>\varphi (\xi) = \arg \big( \hat{f}(\xi) \big), </math> &nbsp;

este [[fază (unde)|faza]].

Atunci transformara inversă poate fi scrisă''':'''

:<math>f(x) = \int  _{-\infty}^{\infty} A(\xi)\ e^{ i(2\pi \xi x +\varphi (\xi))}\,d\xi,</math>

care este o recombinare a tuturor '''frecvențelor componenete''' ale funcției ''ƒ''(''x''). Fiecare componentă este o sinusoidă complexă de forma ''e''<sup>2''πixξ''</sup>&nbsp; a cărei amplitudine este ''A''(''ξ''), având unghiul inițial de fază (la x = 0) ''φ''(''ξ'').

Transformata Fourier poate fi gândită și ca o reprezentare în spațiul funcțiilor. Această reprezentare, notată aici prin <math>\mathcal{F}</math> și <math>\mathcal{F}(f)</math>, este folosită pentru a nota transformata Fourier a funcției ''f''. Această reprezentarea este liniară, ceea ce înseamnă că <math>\mathcal{F}</math> poate fi înțeleasă ca o transformare liniară pe spațiul funcției și, denotă că, notația standard din algebra liniară de aplicare a unei transformări liniare asupra unui vector (aici funcția ''f'') poate fi folosită pentru a scrie <math>\mathcal{F} f</math> în loc de <math>\mathcal{F}(f)</math>. Deoarece prin aplicarea transformatei Fourier rezultatul este tot o funcție, putem fi interesați de valoarea acestei funcții evaluată la ''ξ'', valoare care se notează prin <math>\mathcal{F}(f)(\xi)</math> sau <math>(\mathcal{F} f)(\xi)</math>. De notat că, în primul caz, trebuie înțeles că <math>\mathcal{F}</math> se aplică mai întâi asupra lui ''f'' și apoi funcția rezultată este evaluată la ''ξ'', și nu în alt fel.

În matematică și în diverse aplicații științifice este adesea necesar să facem distincție între o funcție ''f'' și valoarea funcției ''f'' pentru o valoare ''x'', notată ''f''(''x''). Acest lucru înseamnă că o notație precum <math>\mathcal{F}(f(x))</math> poate fi interpretată în mod formal ca o transformată Fourier de valoarea lui ''f'' la ''x''. Cu tot acest cusur, această notație apare frecvent, adesea când o funcție particulară sau o funcție de o variabilă particulară trebuie să fie transformată. De exemplu, <math>\mathcal{F}( \mathrm{rect}(x) ) = \mathrm{sinc}(\xi)</math> este câteodată folosită pentru a exprima că transformata Fourier a unei funcții dreptunghiulare este funcția sinc, sau <math>\mathcal{F}(f(x+x_{0})) = \mathcal{F}(f(x)) e^{2\pi i \xi x_{0}}</math> este folosită pentru a exprima proprietatea de deplasare a transformatei Fourier.  De notat că, ultimul exemplu este corect numai în ipoteza că funcția ''f'' este funcție de ''x'' și nu de ''x''<sub>0</sub>.

== Alte convenții ==
Transformata Fourier poate fi scrisă în termenii frecvenței unghiulare ''':''' &nbsp; ''ω'' = ''2πξ'', care are ca unitate de măsură radianul/secundă.

Substituția ''ξ'' = ''ω''/(2π) în formulele de mai sus conduc la convenția ''':'''

:<math>\hat{f}(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{- i\omega\cdot x}\,dx.</math>

Sub această convenție, transformata inversă devine:

:<math>f(x) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(\omega)e^{ i\omega \cdot x}\,d\omega. </math>

Această convenție nu este o transformare unitară pe ''L''<sup>2</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>).  De asemenea nu există simetrie între transformata Fourier și inversa ei.

O altă convenție este aceea de a împărți factorul (2''π'')<sup>''n''</sup> uniform între transformata Fourier și inversa ei, ceea ce conduce la definiția:

:<math> \hat{f}(\omega) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{- i\omega\cdot x}\,dx </math>

:<math>f(x) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(\omega) e^{ i\omega \cdot x}\,d\omega. </math>

Sub această convenție, transformata Fourier este o transformare unitară pe ''L''<sup>2</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>). De asemenea este restaurată simetria dintre transformata Fourier și inversa ei.

Variații ale acestor convenții se pot crea prin conjugarea nucleului exponențial complex atât în sens direct, cât și în sens invers al transformării, dar semnele exponențialei trebuie să fie opuse. 

{|class="wikitable"
|+ Sumarul celor mai populare forme ale transformatei Fourier
|-
! frecvența ordinară ''ξ'' (hertz)
! unitară
|  <math>\displaystyle \hat{f}_1(\xi)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-2 \pi i x\cdot\xi}\, dx = \hat{f}_2(2 \pi \xi)=(2 \pi)^{n/2}\hat{f}_3(2 \pi \xi) </math><br />
<math>\displaystyle f(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}_1(\xi) e^{2 \pi i  x\cdot \xi}\, d\xi \ </math>
|-
! rowspan="2" | frecvența unnghiulară ''ω'' (rad/s)
! neunitară
| <math>\displaystyle \hat{f}_2(\omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-i\omega\cdot x} \, dx \ = \hat{f}_1 \left ( \frac{\omega}{2 \pi} \right ) = (2 \pi)^{n/2}\ \hat{f}_3(\omega) </math> <br />
<math>\displaystyle f(x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}_2(\omega) e^{i \omega\cdot x} \, d \omega \ </math>
|-
! unitară
| <math>\displaystyle \hat{f}_3(\omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \ e^{-i \omega\cdot x}\, dx = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \hat{f}_1\left(\frac{\omega}{2 \pi} \right) = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \hat{f}_2(\omega) </math> <br />
<math>\displaystyle f(x) = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}_3(\omega)e^{i \omega\cdot x}\, d \omega \ </math>
|}

Așa cum s-a discutat mai sus, [[Funcție caracteristică (teoria probabilității|funcția caracteristică]] a unei variabile aleatoare este la fel ca transformata Fourier-Stieltjes a măsurii distribuției ei, dar în acest context este tipic să luăm o convenție diferită pentru constante. Funcția caracteristică tipică este definită astfel <math>E(e^{it\cdot X})=\int e^{it\cdot x}d\mu_X(x)</math>. Precum în convenția din cazul "frecvență unghiulară neunitară", nu există factorul 2''π'' care să apară în ambele integrale, sau la exponețială.

==Tabelul celor mai importante transformări Fourier==
Următorul tabel conține câteva forme închise ale transformatei. Pentru funcțiile ''ƒ''(''x'') , ''g''(''x'') și ''h''(''x'') s-au notat cu <math>\hat{f}</math>, <math>\hat{g}</math> și <math>\hat{h}</math> transformatele lor Fourier. Sunt incluse numai cele trei convenții comune.
De notat că intrarea 105 dă o relație între transformata Fourier a unei funcții și funcția originală, după cum se poate vedea din convenția transformatei Fourier și a inversei ei.

===Relații functionale===
Transformatele Fourier din acest tabel pot fi găsite în {{harv|Erdélyi|1954}}, sau în apendixul lui {{harv|Kammler|2000}}.
{| class="wikitable"
! !! Funcția !! Transformata Fourier <br /> unitară, frecvență ordinară !! Transformata Fourier <br /> unitară, frecvență unghiulară !! Transformata Fourier <br /> neunitară, frecvență unghiulară !! Observații
|-
|
|align="center"|<math>\displaystyle f(x)\,</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \hat{f}(\xi)=</math>
<math>\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi i x\xi}\, dx </math>
|align="center"|<math>\displaystyle \hat{f}(\omega)=</math><math>\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx </math>
|align="center"|<math>\displaystyle \hat{f}(\nu)=</math>
<math>\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-i \nu x}\, dx </math>
|Definiție
|-
| 101
|<math>\displaystyle a\cdot f(x) + b\cdot g(x)\,</math>
|<math>\displaystyle a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot \hat{g}(\xi)\,</math>
|<math>\displaystyle a\cdot \hat{f}(\omega) + b\cdot \hat{g}(\omega)\,</math>
|<math>\displaystyle a\cdot \hat{f}(\nu) + b\cdot \hat{g}(\nu)\,</math>
|Liniaritate
|-
| 102
|<math>\displaystyle f(x - a)\,</math>
|<math>\displaystyle e^{-2\pi i a \xi} \hat{f}(\xi)\,</math>
|<math>\displaystyle e^{- i a \omega} \hat{f}(\omega)\,</math>
|<math>\displaystyle e^{- i a \nu} \hat{f}(\nu)\,</math>
|Deplasare în domeniul timp
|-
| 103
|<math>\displaystyle e^{ 2\pi iax} f(x)\,</math>
|<math>\displaystyle \hat{f} \left(\xi - a\right)\,</math>
|<math>\displaystyle \hat{f}(\omega - 2\pi a)\,</math>
|<math>\displaystyle \hat{f}(\nu - 2\pi a)\,</math>
| Deplasare în domeniul frecvenței, duală lui 102
|-
| 104
|<math>\displaystyle f(a x)\,</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\xi}{a} \right)\,</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\omega}{a} \right)\,</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\nu}{a} \right)\,</math>
|Scara în domeniul timp. Dacă <math>\displaystyle |a|\,</math> este mare, atunci <math>\displaystyle f(a x)\,</math> tinde către 0, iar <math>\displaystyle \frac{1}{|a|}\hat{f} \left( \frac{\omega}{a} \right)\,</math> se întinde și se aplatizează.
|-
| 105
|<math>\displaystyle \hat{f}(x)\,</math>
|<math>\displaystyle f(-\xi)\,</math>
|<math>\displaystyle f(-\omega)\,</math>
|<math>\displaystyle 2\pi f(-\nu)\,</math>
|Dualitate.  Aici <math>\hat{f}</math> trebuie calculată folosind aceeași metodă precum coloana transformatei Fourier. Rezultă din schimbarea variabilei "fictive" <math>\displaystyle x \,</math> și <math>\displaystyle \xi \,</math> sau <math>\displaystyle \omega \,</math> sau <math>\displaystyle \nu \,</math>.
|-
| 106
|<math>\displaystyle \frac{d^n f(x)}{dx^n}\,</math>
|<math>\displaystyle  (2\pi i\xi)^n  \hat{f}(\xi)\,</math>
|<math>\displaystyle (i\omega)^n  \hat{f}(\omega)\,</math>
|<math>\displaystyle (i\nu)^n  \hat{f}(\nu)\,</math>
|
|-
| 107
|<math>\displaystyle x^n f(x)\,</math>
|<math>\displaystyle \left (\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{d^n \hat{f}(\xi)}{d\xi^n}\,</math>
|<math>\displaystyle i^n \frac{d^n \hat{f}(\omega)}{d\omega^n}</math>
|<math>\displaystyle i^n \frac{d^n \hat{f}(\nu)}{d\nu^n}</math>
|Aceasta este duală cu 106
|-
| 108
|<math>\displaystyle (f * g)(x)\,</math>
|<math>\displaystyle \hat{f}(\xi) \hat{g}(\xi)\,</math>
|<math>\displaystyle \sqrt{2\pi} \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)\,</math>
|<math>\displaystyle \hat{f}(\nu) \hat{g}(\nu)\,</math>
|Notația  <math>\displaystyle f * g\,</math> indică [[convoluția]] lui <math>\displaystyle f\,</math> cu <math>\displaystyle g\,</math> — regula fiind dată de [[teorema convolution]]
|-
| 109
|<math>\displaystyle f(x) g(x)\,</math>
|<math>\displaystyle (\hat{f} * \hat{g})(\xi)\,</math>
|<math>\displaystyle (\hat{f} * \hat{g})(\omega) \over \sqrt{2\pi}\,</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{2\pi}(\hat{f} * \hat{g})(\nu)\,</math>
|Aceasta este duală cu 108
|-
| 110
|Pentru <math>\displaystyle f(x) \,</math> funcție reală
|<math>\displaystyle \hat{f}(-\xi) = \overline{\hat{f}(\xi)}\,</math>
|<math>\displaystyle \hat{f}(-\omega) = \overline{\hat{f}(\omega)}\,</math>
|<math>\displaystyle \hat{f}(-\nu) = \overline{\hat{f}(\nu)}\,</math>
|Simetrie Hermitiană. <math>\displaystyle \overline{z}\,</math> indică complex conjugata.
|-
| 111
|Pentru <math>\displaystyle f(x) \,</math> funcție pară reală
|colspan="3" align="center"|<math>\displaystyle \hat{f}(\omega)</math>, <math>\displaystyle \hat{f}(\xi)</math> și <math>\displaystyle \hat{f}(\nu)\,</math> sunt funcții pare reale.
|
|-
| 112
|Pentru <math>\displaystyle f(x) \,</math> funcție impară reală
|colspan="3" align="center"|<math>\displaystyle \hat{f}(\omega)</math>, <math>\displaystyle \hat{f}(\xi)</math> și <math>\displaystyle \hat{f}(\nu)</math> sunt funcții impare imaginare.
|
|}

===Funcții de pătrat-integrable===
Transformările Fourier din acest tabel pot fi găsite în {{harv|Campbell|Foster|1948}}, {{harv|Erdélyi|1954}}, sau în appendixul lui {{harv|Kammler|2000}}.
{| class="wikitable"
! !! Funcția !! Transformata Fourier <br /> unitară, frecvență ordinară !! Transformata Fourier <br /> unitară, frecvență unghiulară !! Transformata Fourier <br /> neunitară, frecvență unghiulară !! Observații
|-
|
|align="center"|<math>\displaystyle f(x)</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \hat{f}(\xi)=</math>
<math>\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi ix\xi}\,dx</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \hat{f}(\omega)=</math>
<math>\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \hat{f}(\nu)=</math>
<math>\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\nu x}\, dx</math>
|
|-
| 201
|<math>\displaystyle \operatorname{rect}(a x) \,</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\nu}{2\pi a}\right)</math>
|Pulsul dreptunghiular și funcția sinc ''normalizată'', aici definită ca sinc(''x'') = sin(''πx'')/(''πx'')
|-
| 202
|<math>\displaystyle \operatorname{sinc}(a x)\,</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\xi}{a} \right)\,</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\nu}{2 \pi a}\right)</math>
|Duală cu 201. Funcția dreptunghiulară este un filtru trece-jos ideal, iar funcția sinc este funcția regulată de răspuns la impuls al acestui tip de filtru.
|-
| 203
|<math>\displaystyle \operatorname{sinc}^2 (a x)</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\xi}{a} \right) </math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) </math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\nu}{2\pi a} \right) </math>
| Funcția tri(''x'') este funcția triunghiulară
|-
| 204
|<math>\displaystyle \operatorname{tri} (a x)</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\xi}{a} \right) \,</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) </math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{|a|} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\nu}{2\pi a} \right) </math>
| Duală cu 203.
|-
| 205
|<math>\displaystyle e^{- a x} u(x) \,</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{a + 2 \pi i \xi}</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + i \omega)}</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{a + i \nu}</math>
|Funcția ''u''(''x'') este funcția treaptă Heaviside, cu ''a''&gt;0.
|-
| 206
|<math>\displaystyle e^{-\alpha x^2}\,</math>
|<math>\displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}}</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}}</math>
|<math>\displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{\nu^2}{4 \alpha}}</math>
|Arată că, pentru transformarea Fourier unitară, funcția lui Gauss - exp(−''αx''<sup>2</sup>) este propria ei transformă Fourier funcție de ''α''. Pentru a fi integrabilă trebuie să avem Re(''α'')&gt;0.
|-
| 207
|<math>\displaystyle \operatorname{e}^{-a|x|} \,</math>
|<math>\displaystyle \frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 \xi^2} </math>
|<math>\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2} </math>
|<math>\displaystyle \frac{2a}{a^2 + \nu^2} </math>
|Pentru ''a>0''. Adică, transformata Fourier a unei funcții care descrește exponențial este o [[Legea de distribuție Cauchy|funcție Lorentz]].
|-
| 208
|<math>\displaystyle \operatorname{sech}(a x) \,</math>
|<math>\displaystyle \frac{\pi}{a} \operatorname{sech} \left( \frac{\pi^2}{ a} \xi \right)</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{a}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \omega \right)</math>
|<math>\displaystyle \frac{\pi}{a}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \nu \right)</math>
|Secanta hiperbolică este propria ei transformată Fourier
|-
| 209
|<math>\displaystyle e^{-\frac{a^2 x^2}2} H_n(a x)\,</math>
|<math>\displaystyle \frac{\sqrt{2\pi}(-i)^n}{a}</math><br>
&nbsp; <math>\cdot e^{-\frac{2\pi^2\xi^2}{a^2}} H_n\left(\frac{2\pi\xi}a\right)</math>
|<math>\displaystyle \frac{(-i)^n}{a}</math><br>
&nbsp; <math>\cdot e^{-\frac{\omega^2}{2 a^2}} H_n\left(\frac \omega a\right)</math>
|<math>\displaystyle \frac{(-i)^n \sqrt{2\pi}}{a}</math><br>
&nbsp; <math>\cdot e^{-\frac{\nu^2}{2 a^2}} H_n\left(\frac \nu a \right)</math>
|Valoare proprie, dacă <math>a=1</math>; <math>H_n</math> este polinom. Formula se reduce la to 206 pentru <math>n=0</math>.
|}

===Distribuții===
Transformările Fourier din acest tabel pot fi găsite în {{harv|Erdélyi|1954}}, sau în appendixul lui {{harv|Kammler|2000}}.
{| class="wikitable"
! !! Funcția !! Transformata Fourier <br /> unitară, frecvență ordinară !! Transformata Fourier <br /> unitară, frecvență unghiulară !! Transformata Fourier <br /> neunitară, frecvență unghiulară !! Observații
|-
|
|align="center"|<math>\displaystyle f(x)</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \hat{f}(\xi)=</math>
<math>\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi ix\xi}\,dx</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \hat{f}(\omega)=</math>
<math>\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \hat{f}(\nu)=</math>
<math>\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\nu x}\, dx</math>
|
|-
| 301
|<math>\displaystyle 1</math>
|<math>\displaystyle \delta(\xi)</math>
|<math>\displaystyle \sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega)</math>
|<math>\displaystyle 2\pi\delta(\nu)</math>
|Distribuția ''δ''(''ξ'') este [[funcția lui Dirac]].
|-
| 302
|<math>\displaystyle \delta(x)\,</math>
|<math>\displaystyle 1</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,</math>
|<math>\displaystyle 1</math>
|Duală cu 301.
|-
| 303
|<math>\displaystyle e^{i a x}</math>
|<math>\displaystyle \delta\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)</math>
|<math>\displaystyle \sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)</math>
|<math>\displaystyle 2 \pi\delta(\nu - a)</math>
|Rezultă din 103 și 301.
|-
| 304
|<math>\displaystyle \cos (a x)</math>
|<math>\displaystyle \frac{\displaystyle \delta\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)+\delta\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2}</math>
|<math>\displaystyle \sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\,</math>
|<math>\displaystyle \pi\left(\delta(\nu-a)+\delta(\nu+a)\right)</math>
|Rezultă din 101 și 303 folosind [[formula lui Euler]]: <math>\textstyle \cos(a x) = (e^{i a x} + e^{-i a x})/2.</math>
|-
| 305
|<math>\displaystyle \sin( ax)</math>
|<math>\displaystyle \frac{\displaystyle\delta\left(\xi-\frac{a}{2\pi}\right)-\delta\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2i}</math>
|<math>\displaystyle \sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2i}</math>
|<math>\displaystyle -i\pi\left(\delta(\nu-a)-\delta(\nu+a)\right)</math>
|Rezultă din 101 și 303 folosind <math>\textstyle \sin(a x) = (e^{i a x} - e^{-i a x})/(2i).</math>
|-
| 306
|<math>\displaystyle \cos ( a x^2 ) </math>
|<math>\displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\pi^2 \xi^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)  </math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right) </math>
|<math>\displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\nu^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right) </math>
|
|-
| 307
|<math>\displaystyle \sin ( a x^2 ) \,</math>
|<math>\displaystyle - \sqrt{\frac{\pi}{a}}  \sin \left( \frac{\pi^2 \xi^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)  </math>
|<math>\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right) </math>
|<math>\displaystyle -\sqrt{\frac{\pi}{a}}\sin \left( \frac{\nu^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)</math>
|
|-
| 308
|<math>\displaystyle x^n\,</math>
|<math>\displaystyle \left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (\xi)\,</math>
|<math>\displaystyle i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\,</math>
|<math>\displaystyle 2\pi i^n\delta^{(n)} (\nu)\,</math>
|Aici, ''n'' este un număr natural, iar <math>\textstyle \delta^{(n)}(\xi)</math> este derivata distribuției de odinul ''n''-th a funcției lui Dirac. Rezultă din 107 și 301. Combinând aceasta cu 101, putem transforma toate polinoamele.
|-
| 309
|<math>\displaystyle \frac{1}{x}</math>
|<math>\displaystyle -i\pi\sgn(\xi)</math>
|<math>\displaystyle -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)</math>
|<math>\displaystyle -i\pi\sgn(\nu)</math>
|Aici, sgn(''ξ'') este [[funcția semn]]. De notat că 1/''x'' nu este o distribuție.  Este necesar să folosim [[valoarea principală Cauchy]] când testăm față de funcția Schwartz. Această regulă este folositoare în studiul [[Transformare Hilbert|transformării Hilbert]].
|-
| 310
|<math>\displaystyle \frac{1}{x^n} := \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\frac{d^n}{dx^n}\log |x|</math>
|<math>\displaystyle -i\pi \frac{(-2\pi i\xi)^{n-1}}{(n-1)!} \sgn(\xi)</math>
|<math>\displaystyle -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)</math>
|<math>\displaystyle -i\pi \frac{(-i\nu)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\nu)</math>
|1/''x''<sup>''n''</sup> este o distribuție omogenă definită prin derivata de distribuție <math>\textstyle\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\frac{d^n}{dx^n}\log|x|</math>
|-
| 311
|<math>\displaystyle |x|^\alpha\,</math>
|<math>\displaystyle -2 \frac{\sin(\pi\alpha/2)\Gamma(\alpha+1)}{|2\pi\xi|^{\alpha+1}}</math>
|<math>\displaystyle \frac{-2}{\sqrt{2\pi}}\frac{\sin(\pi\alpha/2)\Gamma(\alpha+1)}{|\omega|^{\alpha+1}} </math>
|<math>\displaystyle -2\frac{\sin(\pi\alpha/2)\Gamma(\alpha+1)}{|\nu|^{\alpha+1}} </math>
|Această formulă este valabilă pentru 0 > α > &minus;1. pentru α > 0 apar unii termeni singulari în origine care pot fi găsiți diferențiind 318. Dacă Re α > &minus;1, atunci <math>|x|^\alpha</math> este o funcție local integrabilă, deci o distribuție temperată.  Funcția <math>\textstyle \alpha\mapsto |x|^\alpha</math> este olomorfică în semiplanul dreapt al spațiului distribuțiilor temperate.  Ea admite o extensie [[funcție meromorfă|meromorfică]] unică spre o distribuție temperată, notată <math>|x|^\alpha</math> for α ≠ &minus;2, &minus;4,&nbsp;... (Vezi [[distribuție omogenă]].)
|-
| 312
|<math>\displaystyle \sgn(x)</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{i\pi \xi}</math>
|<math>\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{i\omega } </math>
|<math>\displaystyle \frac{2}{i\nu }</math>
|Duală cu 309.  De astă dată transformata Fourier trebuie considerată ca [[valoarea principală Cauchy]].
|-
| 313
|<math>\displaystyle u(x)</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi \xi} + \delta(\xi)\right)</math>
|<math>\displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)</math>
|<math>\displaystyle \pi\left( \frac{1}{i \pi \nu} + \delta(\nu)\right)</math>
|Function ''u''(''x'') este funcția treaptă Heaviside; rezultă din 101, 301 și 312.
|-
| 314
|<math>\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (x - n T)</math>
|<math>\displaystyle \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \xi -\frac{k }{T}\right)</math>
|<math>\displaystyle \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -\frac{2\pi k}{T}\right)</math>
|<math>\displaystyle \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \nu -\frac{2\pi k}{T}\right)</math>
|Această funcție este cunoscută ca funcția pieptăne a lui Dirac. Acest rezultat poate fi derivat din 302 și 102, împreună cu faptul că <math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{inx}=2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x+2\pi k)</math> ca distribuție.
|-
| 315
|<math>\displaystyle J_0 (x)</math>
|<math>\displaystyle \frac{2\, \operatorname{rect}(\pi\xi)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}} </math>
|<math>\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\operatorname{rect}\left( \displaystyle \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}} </math>
|<math>\displaystyle \frac{2\,\operatorname{rect}\left(\displaystyle\frac{\nu}{2} \right)}{\sqrt{1 - \nu^2}}</math>
| Funcția ''J''<sub>0</sub>(''x'') este [[Funcție Bessel|funcția Bessel]] de speța I și ordin zero.
|-
| 316
|<math>\displaystyle J_n (x)</math>
|<math>\displaystyle \frac{2 (-i)^n T_n (2 \pi \xi) \operatorname{rect}(\pi \xi)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}} </math>
|<math>\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ (-i)^n T_n (\omega) \operatorname{rect} \left( \displaystyle\frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}} </math>
|<math>\displaystyle \frac{2(-i)^n T_n (\nu) \operatorname{rect} \left(\displaystyle \frac{\nu}{2} \right)}{\sqrt{1 - \nu^2}} </math>
| Acesta este o generalizare a lui 315.  Funcția ''J<sub>n</sub>''(''x'') este [[Funcție Bessel|funcția Bessel]] de speța I și ordin n. Funcția ''T<sub>n</sub>''(''x'') este un [[polinom Cebîșev]] de prima speță.
|-
| 317
|<math>\displaystyle \log \left| x \right|</math>
|<math>\displaystyle -\frac{1}{2} \frac{1}{\left| \xi \right|} - \gamma \delta \left( \xi \right) </math>
|<math>\displaystyle -\frac{\sqrt{\pi / 2}}{\left| \omega \right|} - \sqrt{2 \pi} \gamma \delta \left( \omega \right) </math>
|<math>\displaystyle -\frac{\pi}{\left| \nu \right|} - 2 \pi \gamma \delta \left( \nu \right) </math>
|<math>\gamma</math> este [[constanta Euler–Mascheroni ]].
|
|-
| 318
|<math>\displaystyle \left( \mp ix \right)^{-\alpha}</math>
|<math>\displaystyle \frac{\left(2\pi\right)^\alpha}{\Gamma\left(\alpha\right)}u\left(\pm \xi \right)\left(\pm \xi \right)^{\alpha-1} </math>
|<math>\displaystyle \frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma\left(\alpha\right)}u\left(\pm\omega\right)\left(\pm\omega\right)^{\alpha-1} </math>
|<math>\displaystyle \frac{2\pi}{\Gamma\left(\alpha\right)}u\left(\pm\nu\right)\left(\pm\nu\right)^{\alpha-1} </math>
|Această formulă este valabilă pentru 1 > α > 0. Se folosește diferențierea pentru a obține formula exponenților de ordin înalt. <math>u</math> este funcția lui Heaviside.
|}

=== Funcții bidimensionale ===
{| class="wikitable"
! Funcțiile (400 la 402) !! Transformata Fourier <br /> unitară, frecvență ordinară !! Transformata Fourier <br /> unitară, frecvență unghiulară !! frecvență Fourier <br /> neunitară, frecvență unghiulară
|-
|align="center"|<math>\displaystyle f(x,y)</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \hat{f}(\xi_x, \xi_y)=</math>
<math>\displaystyle \iint f(x,y) e^{-2\pi i(\xi_x x+\xi_y y)}\,dxdy</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \hat{f}(\omega_x,\omega_y)=</math>
<math>\displaystyle \frac{1}{2 \pi} \iint f(x,y) e^{-i (\omega_x x +\omega_y y)}\, dxdy</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \hat{f}(\nu_x,\nu_y)=</math>
<math>\displaystyle \iint f(x,y) e^{-i(\nu_x x+\nu_y y)}\, dxdy</math>

|-
|align="center"|<math>\displaystyle e^{-\pi\left(a^2x^2+b^2y^2\right)}</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \frac{1}{|ab|} e^{-\pi\left(\xi_x^2/a^2 + \xi_y^2/b^2\right)}</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \frac{1}{2\pi\cdot|ab|} e^{\frac{-\left(\omega_x^2/a^2 + \omega_y^2/b^2\right)}{4\pi}}</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \frac{1}{|ab|} e^{\frac{-\left(\nu_x^2/a^2 + \nu_y^2/b^2\right)}{4\pi}}</math>
|-
|<math>\displaystyle \mathrm{circ}(\sqrt{x^2+y^2})</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \frac{J_1\left(2 \pi \sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}\right)}{\sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}}</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \frac{J_1\left(\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}\right)}{\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}}</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \frac{2\pi J_1\left(\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}\right)}{\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}}</math>
|}

;Observații

''La 400:'' Variabilele ''ξ<sub>x</sub>'', ''ξ<sub>y</sub>'', ''ω<sub>x</sub>'', ''ω<sub>y</sub>'', ''ν<sub>x</sub>'' și ''ν<sub>y</sub>'' sunt numere reale. Integrarea se face pe întregul plan.

''La 401:'' Ambele funcții sunt Gaussiene,care pot să nu aibă volum unitate.

''La 402:'' Funcția este definită pe cercul(''r'')=1 0≤''r''≤1, și este 0 în afara lui. Aceasta este o distribuție Airy și se exprimă folosind J<sub>1</sub> (funcția Bessel de speța I și ordinul 1). {{harv|Stein|Weiss|1971|loc=Thm. IV.3.3}}

=== Formule pentru funcții generale ''n''-dimensionale ===
{| class="wikitable"
! !! Funcție !! Transformata Fourier <br /> unitară, frecvență ordinară !! Transformata Fourier <br /> unitară, frecvență unghiulară !! frecvență Fourier <br /> neunitară, frecvență unghiulară
|-
|500
|align="center"|<math>\displaystyle f(x)\,</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \hat{f}(\xi)=</math>
<math>\displaystyle \int_{\mathbb{R}^n}f(x) e^{-2\pi i x\cdot\xi }\, d^n x </math>
|align="center"|<math>\displaystyle \hat{f}(\omega)=</math><math>\displaystyle \frac{1}{{(2 \pi)}^{(n/2)}} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-i \omega\cdot x}\, d^nx </math>
|align="center"|<math>\displaystyle \hat{f}(\nu)=</math>
<math>\displaystyle \int_{\mathbb{R}^n}f(x) e^{-i x\cdot\nu }\, d^nx </math>
|-
|501
|<math>\displaystyle \chi_{[0,1]}(|x|)(1-|x|^2)^\delta</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \pi^{-\delta}\Gamma(\delta+1)|\xi|^{-(n/2)-\delta}</math><br><math>\displaystyle \cdot J_{n/2+\delta}(2\pi|\xi|)</math>
|align="center"|<math>\displaystyle 2^{-\delta}\Gamma(\delta+1)\left|\omega\right|^{-(n/2)-\delta}</math><br><math>\displaystyle \cdot J_{n/2+\delta}(|\omega|)</math>
|align="center"|<math>\displaystyle \pi^{-\delta}\Gamma(\delta+1)\left|\frac{\nu}{2\pi}\right|^{-(n/2)-\delta}</math><br><math>\displaystyle \cdot J_{n/2+\delta}(|\nu|)</math>
|-
|502
|<math>\displaystyle |x|^{-\alpha},\quad 0<\operatorname{Re}\, \alpha<n.</math>
|align="center"|<math>\displaystyle c_\alpha |\xi|^{-(n-\alpha)}</math>
|align="center"|
|align="center"|
|}

;Observații

''La  501'':
Funcția χ<sub>[0,1]</sub> este [[funcția indicator]] pe intervalul [0,&nbsp;1]. Funcția Γ(''x'') este funcția gamma. Funcția ''J''<sub>''n''/2&nbsp;+&nbsp;''δ''</sub> este o funcție Bessel de speța I, de ordin ''n''/2&nbsp;+&nbsp;''δ''.  Luând ''n''&nbsp;=&nbsp;2 și ''δ''&nbsp;=&nbsp;0 se obține 402. {{harv|Stein|Weiss|1971|loc=Thm. 4.13}}

''La 502'':
Vezi [[potențial Riesz]]. Formula este valabilă și pentru toate valorile α&nbsp;≠&nbsp;&minus;''n'', &minus;''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1,&nbsp;... prin continuitate analitică, dar atunci funcția și transformata ei Fourier trebuie înțeleasă ca distribuție temperată regulată convenabilă. Vezi [[distribuție omogenă]].

== Vezi și ==
*[[Transformata Laplace]]
*[[Transformata Z]]
*[[Serie Fourier]]
*[[Transformata Fourier rapidă]]
*[[Transformata Fourier discretă]]

== Bibliografie ==
*{{Citation |editor-last=Boashash|editor-first=B.|title=Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference|publisher=Elsevier Science|publication-place= Oxford|year=2003 |isbn=0080443354}}
*{{Citation | author =[[Salomon Bochner|Bochner S.]], [[K. S. Chandrasekharan|Chandrasekharan K.]] | title=Fourier Transforms | publisher= Princeton University Press | year=1949}}
* {{citation|first=R. N.|last=Bracewell|title=The Fourier Transform and Its Applications|edition=3rd|publication-place=Boston|publisher=McGraw-Hill|year=2000|isbn=0071160434}}.
* {{citation|first1=George|last1=Campbell|first2=Ronald|last2=Foster|title=Fourier Integrals for Practical Applications|publication-place=New York|publisher=D. Van Nostrand Company, Inc.|year=1948}}.
* {{citation|last=Duoandikoetxea|first=Javier|title=Fourier Analysis|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=2001|isbn=0-8218-2172-5}}.
* {{citation|last1=Dym|first1=H|first2=H|last2=McKean|authorlink1=Harry Dym|title=Fourier Series and Integrals|publisher=Academic Press|year=1985|isbn=978-0122264511}}.
* {{citation|editor-last=Erdélyi|editor-first=Arthur|title=Tables of Integral Transforms|volume=1|publication-place=New Your|publisher=McGraw-Hill|year=1954}}
* {{citation|last=Fourier|first=J. B. Joseph|authorlink=Joseph_Fourier|title=Théorie Analytique de la Chaleur|publication-place=Paris|url=http://books.google.com/?id=TDQJAAAAIAAJ&printsec=frontcover&dq=Th%C3%A9orie+analytique+de+la+chaleur&q|publisher=|year=1822}}
* {{citation|first=Loukas|last=Grafakos|title=Classical and Modern Fourier Analysis|publisher=Prentice-Hall|year=2004|isbn=0-13-035399-X}}.
*{{Citation | last1=Hewitt | first1=Edwin | last2=Ross | first2=Kenneth A. | title=Abstract harmonic analysis. Vol. II: Structure and analysis for compact groups. Analysis on locally compact Abelian groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152 | mr=0262773  | year=1970}}.
* {{citation|first=L.|last=Hörmander|authorlink=Lars Hörmander|title=Linear Partial Differential Operators, Volume 1|publisher=Springer-Verlag|year=1976|isbn=978-3540006626}}.
*{{citation|first = J.F.|last = James|title=A Student's Guide to Fourier Transforms|edition=3rd|publication-place=New York|publisher=Cambridge University Press|year=2011|isbn=978-0-521-17683-5}}.
* {{citation|first=Gerald|last=Kaiser|title=A Friendly Guide to Wavelets|year=1994|publisher=Birkhäuser|isbn=0-8176-3711-7}}
* {{citation|first=David|last=Kammler|title=A First Course in Fourier Analysis|year=2000|publisher=Prentice Hall|isbn=0-13-578782-3}}
* {{citation|first=Yitzhak|last=Katznelson|title=An introduction to Harmonic Analysis|year=1976|publisher=Dover|isbn=0-486-63331-4}}
* {{Citation | last1=Knapp | first1=Anthony W. | title=Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples | url=http://books.google.com/?id=QCcW1h835pwC | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-09089-4 | year=2001}}
* {{citation|first=Mark|last=Pinsky|title=Introduction to Fourier Analysis and Wavelets|year=2002|publisher=Brooks/Cole|isbn=0-534-37660-6}}
* {{citation|first1=A. D.|last1=Polyanin|first2=A. V.|last2=Manzhirov|title=Handbook of Integral Equations|publisher=CRC Press|publication-place=Boca Raton|year=1998|isbn=0-8493-2876-4}}.
* {{citation|first=Walter|last=Rudin|title=Real and Complex Analysis|publisher=McGraw Hill| edition=Third|year=1987|isbn=0-07-100276-6|location=Singapore|unused_data=DUPLICATE DATA: publisher=McGraw-Hill}}.
* {{citation|first1=Elias|last1=Stein|first2=Rami|last2=Shakarchi|title=Fourier Analysis: An introduction|publisher=Princeton University Press|year=2003|isbn=0-691-11384-X}}.
* {{citation|last1=Stein|first1=Elias|authorlink1=Elias Stein|first2=Guido|last2=Weiss|authorlink2=Guido Weiss|title=Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces|publisher=Princeton University Press|year=1971|isbn=978-0-691-08078-9|location=Princeton, N.J.}}.
* {{citation|first=R. G.|last=Wilson|title=Fourier Series and Optical Transform Techniques in Contemporary Optics|publisher=Wiley|year=1995|isbn=0471303577|location=New York}}.
* {{citation|first=K.|last=Yosida|authorlink=Kōsaku Yosida|title=Functional Analysis|publisher=Springer-Verlag|year=1968|isbn=3-540-58654-7}}.

== Legături externe==
* [http://www.allmathcad.com Всё о Mathcad] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191020202401/http://allmathcad.com/ |date=2019-10-20 }} {{ref-ru}}
* [http://www.thefouriertransform.com Fourier Transform Tutorial]
* [http://www.westga.edu/~jhasbun/osp/Fourier.htm Fourier Series Applet] (Tip: drag magnitude or phase dots up or down to change the wave form).
* [http://www.dspdimension.com/fftlab/ Stephan Bernsee's FFTlab] (Java Applet)
* [http://www.academicearth.com/courses/the-fourier-transform-and-its-applications Stanford Video Course on the Fourier Transform]{{Legătură nefuncțională|date=octombrie 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans.htm Tables of Integral Transforms] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* {{MathWorld | urlname= FourierTransform | title= Fourier Transform}}
* [http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/FourierTransformMod.html  Fourier Transform Module by John H. Mathews]
* [http://www.dspdimension.com/admin/dft-a-pied/ The DFT “à Pied”: Mastering The Fourier Transform in One Day] at The DSP Dimension
* [http://www.fourier-series.com/f-transform/index.html An Interactive Flash Tutorial for the Fourier Transform] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130111115020/http://www.fourier-series.com/f-transform/index.html |date=2013-01-11 }}

 
{{Control de autoritate}}
[[Categorie:Concepte fizice fundamentale]]
[[Categorie:Analiză Fourier]]