Vizualizare sursă pentru „Transformare conformă”

[[Fișier:Conformal map.svg|right|thumb|O grilă dreptunghiulară (sus) și imaginea acesteia după o transformare conformă {{mvar|f}} (jos). Se vede că {{mvar|f}} aplică perechi de drepte care se intersectează la 90° pe perechi de curbe care se intersectează tot la 90°.]]
În [[matematică]] o '''transformare conformă''' este o [[funcție]] [[transformare geometrică|geometrică]] care conservă local [[unghi]]urile, dar nu neapărat și lungimile.

Mai formal, fie <math>U</math> și <math>V</math> submulțimi deschise ale <math>\mathbb{R}^n</math>. O funcție <math>f:U\to V</math> se numește '''conformă''' (sau '''de conservare a unghiurilor''') într-un punct <math>u_0\in U</math> dacă conservă unghiurile dintre [[curbă |curbele]] prin <math>u_0</math>, precum și [[orientare (geometrie) |orientarea]]. Transformările conforme conservă atât unghiurile, cât și [[formă |formele]] figurilor [[infinitezimal]]e, dar nu neapărat [[lungime]]a sau [[curbură |curbura]].

Transformarea conformă poate fi descrisă de {{ill-wd| Q506041||jacobianul}} unei transformări de [[sistem de coordonate |coordonate]]. Transformarea este conformă ori de câte ori jacobianul în orice punct este un scalar pozitiv ori o {{ill-wd|Q1256564}} ({{ill-wd| Q333871||ortogonală}} cu [[determinant (matematică) |determinantul]] egal cu 1). Unii autori definesc transformarea conformă astfel încât să cuprindă și transformările de inversare a orientării ale căror jacobieni pot fi scrise ca orice [[scalar (matematică) |scalar]] înmulțit cu orice matrice ortogonală.<ref>{{en icon}} {{Cite book|title=Inversion Theory and Conformal Mapping|volume = 9|last=Blair|first=David|s2cid = 118752074|date=2000-08-17|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-2636-2|series=The Student Mathematical Library|location=Providence, Rhode Island|doi = 10.1090/stml/009}}</ref>

Pentru transformările [[bidimensional]]e, Transformările conforme (cu conservarea orientării) sunt chiar funcțiile [[funcție olomorfă|analitice complexe]] inversabile local. În [[tridimensional]] și dimensiuni superioare, teorema lui Liouville despre transformările conforme limitează aceste transformări la doar câteva tipuri.

Noțiunea de transformare conformă se generalizează în mod natural la transformări ale {{ill-wd| Q632814||varietăților riemanniene}} sau [[varietate pseudoriemanniană |pseudoriemanniene]].

== Transformări conforme în spațiul bidimensional ==
Dacă <math>U</math> este o [[mulțime deschisă|submulțime deschisă]] a planului complex <math>\mathbb{C}</math>, atunci o [[funcție]] <math>f:U\to\mathbb{C}</math> este conformă [[dacă și numai dacă]] este [[funcție olomorfă |olomorfă]] și [[derivată |derivata]] sa este diferită de zero peste tot pe <math>U</math>. Dacă <math>f</math> este antiolomorfă ([[conjugată complexă |conjugată]] a unei funcți olomorfe), aceasta conservă unghiurile, dar le inversează orientarea.

În literatură, există o altă definiție a transformărilor conforme: o transformare <math>f</math> care este [[bijecție |biunivocă]] și olomorfă pe o mulțime deschisă în plan. Teorema de transformare deschisă forțează ca funcția inversă (definită pe imaginea lui <math>f</math>) să fie olomorfă. Astfel, conform acestei definiții, o transformare este conformă dacă și numai dacă este biolomorfă. Cele două definiții pentru transformări conforme nu sunt echivalente. A fi biunivocă și olomorfă implică a avea o derivată diferită de zero. Totuși, funcția exponențială complexă este o funcție olomorfă cu o derivată diferită de zero, dar nu este biunivocă deoarece este periodică.<ref>{{en icon}} Richard M. Timoney (2004), [http://www.maths.tcd.ie/~richardt/414/414-ch7.pdf Riemann mapping theorem] from Trinity College, Dublin</ref>

{{ill-wd| Q927051||Teorema de reprezentare conformă Riemann}}, unul dintre rezultatele profunde ale [[analiză complexă |analizei complexe]], afirmă că orice submulțime proprie [[spațiu simplu conex |simplu conexă]] deschisă nevidă a <math>\mathbb{C}</math> admite o transformare conformă biunivocă la [[disc unitate |discul unitate]] deschis în <math>\mathbb{C}</math>.

=== Transformări conforme globale pe sfera Riemann === 
O transformare a [[sfera Riemann |sferei Riemann]] pe sine însăși este conformă dacă și numai dacă este o [[transformare Möbius]].

Conjugata complexă a unei transformări Möbius conservă unghiurile, dar inversează orientarea.

== Transformări conforme în spațiul tridimensionalal sau spații din dimensiuni superioare ==
=== Geometrie riemanniană ===
În {{ill-wd| Q761383||geometria riemanniană}} două [[metrică |metrici]] riemanniene, <math>g</math> și <math>h</math>, pe o varietate netedă <math>M</math> sunt numite ''echivalente conform'' dacă <math>g = u h</math> pentru o funcție pozitivă <math>u</math> pe <math>M</math>. Funcția <math>u</math> se numește „factor conform”.

Un [[difeomorfism]] între două varietăți riemanniene se numește ''transformare conformă'' dacă metrica înapoi este echivalentă conform cu cea inițială. De exemplu, [[proiecție stereografică |proiecția stereografică]] a unei [[sferă |sfere]] pe [[plan (geometrie) |plan]] la care se adaugă un [[punct de la infinit]] este o transformare conformă.

De asemenea, pe o varietate netedă se poate defini o '''structură conformă''' drept o clasă de metrici riemanniene echivalente conform.

=== Spațiul euclidian ===
Teorema lui [[Joseph Liouville |Liouville]] despre transformările conforme arată că există mult mai puține transformări conforme în spații cu mai multe dimensiuni decât în cel bidimensional. Orice transformare conformă dintr-o submulțime deschisă a [[spațiu euclidian |spațiului euclidian]] în același spațiu euclidian tridimensional sau din dimensiuni soperioare poate fi compusă din trei tipuri de transformări: o [[omotetie]], o [[izometrie]] și o [[transformare conformă specială]].

== Aplicații ==
=== Cartografie ===
În [[cartografie]], mai multe proiecții, inclusiv [[proiecția Mercator]] și [[proiecție stereografică |proiecția stereografică]] sunt conforme. Ele sunt deosebit de utile pentru utilizarea în navigația maritimă datorită proprietății sale unice de a reprezenta orice curs de direcție constantă ca un segment drept. Un astfel de curs, cunoscut sub numele de loxodromă este preferat în navigația maritimă deoarece navele pot naviga într-o direcție constantă a busolei.

=== Fizică și inginerie ===
Transformările conforme sunt neprețuite în rezolvarea problemelor din inginerie și fizică care pot fi exprimate prin funcții de variabilă complexă, dar au geometrii incomode. Alegând o transformare adecvată, analistul poate transforma geometria incomodă într-una mult mai convenabilă. De exemplu, s-ar putea dori să se calculeze câmpul electric, <math>E(z)</math>, care rezultă dintr-o sarcină punctiformă situată lângă colțul a două plane conductoare separate printr-un anumit unghi (unde <math>z</math> este coordonata complexă a unui punct din spațiul bidimensional). Această problemă este destul de dificil de rezolvat în forma dată. Însă printr-o transformare conformă foarte simplă unghiul incomod este transformat într-unul egal cu un [[multiplu]] de <math>\pi</math>, ceea ce înseamnă că cele două plane sunt transformate într-unul singur. În acest nou domeniu, problema (acela de a calcula câmpul electric al unei sarcini punctiforme situată în apropierea unui perete conductor) este relativ ușor de rezolvat. Soluția este obținută în acest domeniu, <math>E(w)</math>, și apoi transformare înapoi în domeniul inițial notând că <math>w</math> a fost obținut ca funcție de <math>z</math>, de unde <math>E(w)</math> poate fi obținută ca <math>E(w(z))</math>, care este o funcție de <math>z</math>, baza coordonatelor inițiale. Această aplicație nu este o contradicție cu faptul că transformare conforme păstrează unghiurile, ele fac acest lucru numai pentru punctele din interiorul domeniului lor, și nu la [[frontieră (topologie) |frontieră]].

Dacă o funcție este [[funcție armonică |armonică]] (adică satisface [[ecuația lui Laplace]] <math>\nabla^2 f=0</math>) pe un domeniu plan (care este bidimensional), și este transformată printr-o transformare conformă într-un alt domeniu plan, transformarea este de asemenea armonică. Din acest motiv, orice funcție care este definită de un potențial poate fi transformată printr-o transformare conformă și totuși rămâne definită de un potențial. În [[fizică]] exemple de ecuații definite de un potențial sunt [[câmp electromagnetic |câmpul electromagnetic]], [[câmp gravitațional |câmpul gravitațional]], iar în [[mecanica fluidelor]], [[Curgere potențială|curgerea potențială]], care este o aproximare a curgerii fluidului presupunând [[densitate]]a constantă, [[viscozitate]]a nulă și curgerea irotațională. Un exemplu de aplicare în mecanica fluidelor a unei transformări conforme este {{ill-wd| Q1794703}}.

Transformarea conformă se foloește și la rezolvarea ecuațiilor cu [[derivate parțiale]] neliniare în anumite geometrii specifice. Astfel de soluții analitice oferă o verificare utilă a acurateței simulărilor numerice ale ecuației de descriere a unui fenomen. De exemplu, în cazul curgerii cu suprafață liberă foarte viscoasă în jurul unui perete semiinfinit, domeniul poate fi transformat într-un semiplan în care soluția este unidimensională și ușor de calculat.<ref>{{en icon}} {{cite journal |first1=Edward |last1=Hinton |first2=Andrew |last2=Hogg |first3=Herbert |last3=Huppert |year=2020 | title=Shallow free-surface Stokes flow around a corner | journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A | volume=378 |issue=2174 |doi=10.1098/rsta.2019.0515|pmid=32507085 |pmc=7287310|bibcode=2020RSPTA.37890515H }}</ref>

=== Ecuațiile lui Maxwell ===
Un grup mare de transformări conforme în legătură cu soluțiile [[ecuațiile lui Maxwell |ecuațiilor lui Maxwell]] a fost identificat de [[Ebenezer Cunningham]] (1908) și [[Harry Bateman]] (1910). Pregătirea lor la Universitatea Cambridge le-a oferit metodele asociate cu imaginile sferelor și inversiuni. După cum a relatat Andrew Warwick în ''Masters of Theory'' din 2003:<ref>{{en icon}} {{cite book|last1=Warwick|first1=Andrew|title=Masters of theory : Cambridge and the rise of mathematical physics|url=https://archive.org/details/mastersoftheoryc0000warw|url-access=registration|date=2003|publisher=University of Chicago Press|pages=[https://archive.org/details/mastersoftheoryc0000warw/page/404 404–424]|isbn=978-0226873756}}</ref>
{{citat|Each four-dimensional solution could be inverted in a four-dimensional hyper-sphere of pseudo-radius <math>K</math> in order to produce a new solution. (în {{ro|Orice soluție în patru dimensiuni ar putea fi inversată într-o hipersferă cvadridimensională cu pseudoraza <math>K</math> pentru a se obține o nouă soluție.}})}}

=== Relativitatea generală ===
În [[relativitatea generală]] transformările conforme sunt cel mai simplu și, prin urmare, cel mai comun tip de transformări cauzale. Din punct de vedere fizic, acestea descriu universuri diferite în care toate evenimentele și interacțiunile la fel sunt încă (cauzal) posibile, dar este necesară o nouă forță, suplimentară, pentru a realiza acest lucru (adică, reproducerea acelorași traiectorii ar necesita abateri de la mișcarea pe [[geodezică]] deoarece [[Tensorul metric (relativitatea generală)|tensorul metric din relativitatea generală]] este diferit). Este adesea folosit pentru a încerca să facă modele susceptibile de extindere dincolo de [[singularitate gravitațională |singularități de curbură]], de exemplu pentru a permite descrierea universului chiar înainte de [[Big Bang]].

== Note ==
<references responsive />

== Lectură suplimentară  ==
* {{en icon}} {{Citation | last1=Ahlfors | first1=Lars V. | title=Conformal invariants: topics in geometric function theory | publisher=McGraw–Hill Book Co. | location=New York | mr=0357743 | year=1973}}
* {{en icon}} [[Constantin Carathéodory]] (1932) ''Conformal Representation'', Cambridge Tracts in Mathematics and Physics
* {{en icon}} {{Citation |last=Chanson |first=Hubert |title=Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows |url=http://espace.library.uq.edu.au/view/UQ:191112 |publisher=CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, The Netherlands, 478 pages |year=2009 |isbn=978-0-415-49271-3}}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Churchill | first1=Ruel V. | title=Complex Variables and Applications | publisher=McGraw–Hill Book Co. | location=New York | isbn=978-0-07-010855-4 | year=1974 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/complexvariable00chur }}
* {{en icon}} {{springer|id=C/c024780|title=Conformal mapping|author=E.P. Dolzhenko}}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Rudin | first1=Walter | title=Real and complex analysis | publisher=McGraw–Hill Book Co. | location=New York | edition=3rd | isbn=978-0-07-054234-1 | mr=924157 | year=1987}}
* {{en icon}} {{MathWorld | urlname=ConformalMapping | title=Conformal Mapping }}

== Legături externe ==
* {{Commonscat-inline|Conformal mapping}}
* {{en icon}} [http://virtualmathmuseum.org/ConformalMaps/index.html Interactive visualizations of many conformal maps]
* {{en icon}} [http://demonstrations.wolfram.com/ConformalMaps/ Conformal Maps] by Michael Trott, Wolfram Demonstrations Project.
* {{en icon}} [http://www.bru.hlphys.jku.at/conf_map/index.html Conformal Mapping images of current flow] in different geometries without and with magnetic field by Gerhard Brunthaler.
* {{en icon}} [https://www.flickr.com/photos/sbprzd/362529354 Conformal Transformation: from Circle to Square].
* {{en icon}} [http://www.davidbau.com/conformal Online Conformal Map Grapher].
* {{en icon}} [http://airfoil.dimanov.com/ Joukowski Transform Interactive WebApp]

{{Portal|Matematică}}
{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Transformări]]
[[Categorie:Geometrie riemanniană]]
[[Categorie:Geometrie proiectivă]]
[[Categorie:Unghiuri]]