Vizualizare sursă pentru „Tetraedru”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Tetraedru
| image_up = tetrahedron.png
| caption = ([[:File:tetrahedron.gif|animație]], [[:Fișier:Tetrahedron.stl|model 3D]])
| type = [[poliedru platonic]]
| euler = 2
| faces = 4
| edges = 6
| vertices = 4
| vertex_config = 3.3.3
| schläfli = {3,3}<br/>h{4,3}, s{2,4}, sr{2,2}
| wythoff = 3 &#124; 2 3<br/>&#124; 2 2 2
| coxeter = {{CDD|node_1|3|node|3|node}} = {{CDD|node_h|4|node|3|node}}<br/>{{CDD|node_h|2x|node_h|4|node}}<br/>{{CDD|node_h|2x|node_h|2x|node_h}}
| conway = T
| symmetry = T<sub>d</sub>, A<sub>3</sub>, [3,3], (*332)
| rotsymmetry = T, [3,3]<sup>+</sup>, (332)
| surface_area = 
| volume = 
| angle = 70.528779° = arccos({{frac|1|3}})
| dual = [[autodual]]
| properties = [[Poliedru regulat |regulat]], [[Politop convex |convex]]
| vertex_figure = tetrahedron_vertfig.png
| net = Tetrahedron flat.svg
}}
'''Tetraedrul''' este un [[poliedru]] alcătuit din patru [[față (geometrie)|fețe]] [[triunghi]]ulare, oricare trei dintre ele intersectându-se într-unul din cele patru [[vârf (geometrie)|vârfuri]].
Tetraedrul este cel mai simplu tip de [[piramidă (geometrie)|piramidă]], la care [[bază (geometrie)|baza]] este un [[triunghi]], de aceea mai este denumit și ''piramidă triunghiulară''.

Un caz particular îl constituie tetraedrul regulat, la care toate fețele sunt [[triunghi echilateral|triunghiuri echilaterale]] și este unul din cele cinci tipuri de [[poliedru regulat|poliedre regulate]].

== Mărimi asociate tetraedrului regulat ==
În tabelul de mai jos ''a'' este latura tetraedrului regulat.

{|class="wikitable"
| [[arie|Aria]] bazei
|align=center|<math>A_0={\sqrt{3}\over4}a^2 \,</math>
|-
| Aria totală
|align=center|<math>A=4\,A_0={\sqrt{3}}a^2 \,</math>
|-
| [[Înălțime]]a
|align=center|<math>\sqrt{{2\over3}}\,a \,</math>
|-
| [[Volum]]ul
|align=center|<math>V={1\over3} A_0h ={\sqrt{2}\over12}a^3 \,</math>
|-
| [[Unghi]]ul dintre o față și muchie
|align=center|<math>\arccos\left({1 \over \sqrt{3}}\right) = \arctan(\sqrt{2}) \,</math> <br />(aprox. 54.7356°)
|-
| [[Unghi diedru|Unghiul dintre două fețe]]
|align=center|<math>\arccos\left({1 \over 3}\right) = \arctan(2\sqrt{2}) \,</math> <br />(aprox. 70.5288°)
|-
| Unghiul dintre segmentele care unesc centrul cu două vârfuri
| align=center|<math>\arccos\left ({-1\over3}\right )\,</math> <br />(aprox. 109.4712°)
|-
| [[Unghi solid|Unghiul solid]] sub care este văzută o față din vârful opus
| align=center|<math> 3 \arccos\left ({1\over3}\right ) - \pi \,</math> <br />(aprox. 0.55129 [[steradian]]i)
|}

== Inegalități într-un tetraedru ==
Fie &nbsp;<math> OABC </math>&nbsp; un tetraedru de volum ''V'', unde &nbsp;<math> a,b, c </math>&nbsp; sunt lungimile muchiilor feței &nbsp;<math> [ABC], </math>&nbsp; iar &nbsp;<math> d,e,f </math>&nbsp; ale muchiilor &nbsp;<math> OA, OB, OC </math>&nbsp; și ''R'' raza [[sferă|sferei]] [[sferă circumscrisă|circumscrise]]. Atunci există inegalitățile:

'''1)''' &nbsp;<math> a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2 \le 16 R^2; </math>

'''2)'''  &nbsp;<math> (a^2+b^2+c^2) \cdot (d^2+e^2+f^2) \le 64 R^4; </math>

'''3)'''  &nbsp;<math> (-ad + be+ cf) \cdot (ad-be+cf) \cdot (ad+be-cf) \ge 72 V^2; </math>

'''4)'''  &nbsp;<math> a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e \cdot f \ge 72 V^2. </math>

''Demonstrație''

'''1)''' Fie ''X'' centrul sferei. Dacă se presupune &nbsp;<math> R=1 </math>&nbsp; atunci [[vector]]ii &nbsp;<math> \overrightarrow {XO},  \overrightarrow {XA},  \overrightarrow {XB},  \overrightarrow {XC} </math>&nbsp; sunt vectori unitari:

::<math> S = a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2 = \sum (\overrightarrow {XO}-  \overrightarrow {XA})^2 + \sum (\overrightarrow {XA} -  \overrightarrow {XB})^2 = </math>

::<math> = 12 - 2 \overrightarrow {XC} (\overrightarrow {XA}+  \overrightarrow {XB}+  \overrightarrow {XO} ) - 2 (\overrightarrow {XO} \cdot  \overrightarrow {XB} +  \overrightarrow {XB} \cdot  \overrightarrow {XA} +  \overrightarrow {XA} \cdot  \overrightarrow {XO} ). </math>

Presupunând că punctele &nbsp;<math> A,B,O </math>&nbsp; sunt fixate și ''C'' variabil cu &nbsp;<math> \| \overrightarrow {XC} \| = 1, </math>&nbsp; ''S'' este maximă când &nbsp;<math> - \overrightarrow {XC} (\overrightarrow {XA}+  \overrightarrow {XB}+  \overrightarrow {XO}) </math>&nbsp; este maxim ceea ce se obține în cazul:

::<math> \overrightarrow {XC} = -t (\overrightarrow {XO}+  \overrightarrow {XA}+  \overrightarrow {XB}), \; \; t>0. </math>

Atunci:

::<math> 1=  \| \overrightarrow {XC} \|^2 = t^2 \cdot [3+2 (\overrightarrow {XO} \cdot  \overrightarrow {XA} +  \overrightarrow {XA} \cdot  \overrightarrow {XB} +  \overrightarrow {XO} \cdot  \overrightarrow {XB})]; </math>

::<math> - \overrightarrow {XC} (\overrightarrow {XA}+  \overrightarrow {XB}+  \overrightarrow {XO}) = \frac 1t \overrightarrow {XC} \cdot \overrightarrow {XC} = \frac 1t; </math>

::<math> 2 (\overrightarrow {XO} \cdot  \overrightarrow {XA} +  \overrightarrow {XA} \cdot  \overrightarrow {XB} +  \overrightarrow {XO} \cdot  \overrightarrow {XB}) = \frac {1}{t^2} -3, </math>

de unde rezultă:

::<math> S= \frac {12}{t} + \frac 2t - \frac {1}{t^2} + 3 = 15 + \frac {2t-1}{t^2}. </math>

Dar &nbsp;<math> \max S </math>&nbsp; se atinge pentru &nbsp;<math> t=1, </math>&nbsp; deci &nbsp;<math> S \le 16. </math>&nbsp;

== Utilizare în diagrame cuaternare ==
Un tetraedru cu laturi egale permite datorită egalității laturilor construirea [[diagramă de fază|diagramelor de fază]] cuaternare în care se pot reprezenta patru mărimi cu suma constantă.

== Poliedre înrudite ==
Un tetraedru regulat poate fi văzut ca o piramidă triunghiulară.
{{Piramide}}

Un tetraedru regulat poate fi văzut ca un poliedru degenerat, o ''[[antiprismă]]'' uniformă, în care poligoanele de bază sunt [[digon |digoane]] reduse.
{{AntiprismeUniforme|status=uncolapsed}}

Un tetraedru regulat poate fi văzut ca un poliedru degenerat, un ''[[trapezoedru]]'' dublu uniform, care conține 6 vârfuri, în două seturi de laturi coliniare.
{{Trapezoedre}}

Un proces de trunchiere aplicat tetraedrului produce o serie de [[poliedru uniform |poliedre uniforme]]. Trunchierea muchiilor până la puncte produce [[octaedru]]l ca un tetraedru rectificat. Procesul se finalizează ca o birectificare, reducând fețele originale la puncte și producând din nou tetraedrul. autodual.
{{Trunchieri tetraedrice}}

<gallery mode="packed" caption="Compuși de tetraedre">
Compound of two tetrahedra.png |[[Octaedru stelat |Compus de două tetraedre]]
Compound of five tetrahedra.png|[[Compus de cinci tetraedre]]
Compound of ten tetrahedra.png|[[Compus de zece tetraedre]]
</gallery>

Un poliedru interesant poate fi construit din [[Compus de cinci tetraedre |cinci tetraedre care se intersectează]]. Acest [[compus poliedric|compus]] din cinci tetraedre este cunoscut de sute de ani. Apare în mod regulat în lumea [[origami]]. Unirea celor douăzeci de vârfuri ar forma un [[dodecaedru]] regulat. Există atât forme „pe stânga”, cât și „pe drepta”, care sunt [[imagine în oglindă |imagini în oglindă]] una a celeilalte. Suprapunerea ambelor forme dă un [[compus de zece tetraedre]], în care cele zece tetraedre sunt aranjate ca cinci perechi de octaedre stelate ([[stella octangula]]). O stella octangula este un compus din două tetraedre în poziție duală, iar cele opt vârfuri ale sale definesc un cub ca [[anvelopă convexă]].

[[Hosoedru]]l pătrat sete alt poliedru cu patru fețe, care însă nu sunt triunghiulare.

Tetraedrul și poliedrul Szilassi sunt singurele două poliedre cunoscute în care fiecare față are câte o latură în comun cu fiecare din celelalte fețe.

=== Pavare sferică ===
Tetraedrul poate fi reprezentat și ca o [[pavare sferică]] și proiectat pe un plan printr-o [[proiecție stereografică]]. Această proiecție este o [[transformare conformă|conformă]], păstrând [[unghi]]urile, dar nu [[arie|ariile]] sau [[lungime|lungimile]]. Liniile drepte pe [[sferă]] sunt proiectate în plan ca [[arc de cerc|arce de cerc]].
{|class=wikitable style="text-align:center;"
|-
|[[Fișier:Uniform tiling 332-t2.svg|160px]]
|[[Fișier:Tetrahedron stereographic projection.svg|160px]]
|-
|[[Proiecție ortogonală]]
|[[Proiecție stereografică]]
|}

== Vezi și ==
{{Wikționar}}
* [[Piramidă (geometrie)|Piramidă]];
;Compuși de tetraedre
* [[Compus de două tetraedre]]
* [[Compus de trei tetraedre]]
* [[Compus de patru tetraedre]]
* [[Compus de cinci tetraedre]]
* [[Compus de șase tetraedre]]
* [[Compus de șase tetraedre cu libertate de rotație]]
* [[Compus de zece tetraedre]]
* [[Compus de douăsprezece tetraedre cu libertate de rotație]]

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{Commons category-inline}}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|polyhedra-neu.htm|3D uniform polyhedra}} Cheie: '''[https://bendwavy.org/klitzing/incmats/tet.htm tet]'''
{{Poliedre}}
{{Poliedre convexe}}

[[Categorie:Poliedre platonice]]
[[Categorie:Piramide și bipiramide]]
[[Categorie:Deltaedre]]
[[Categorie:Poliedre autoduale]]