Vizualizare sursă pentru „Tesseract”

{{Infocaseta 4-politop
| nume=Tesseract<br />8-celule<br />4-cub
| image =Schlegel wireframe 8-cell.png
| Antet = [[Diagramă Schlegel]]<br/>(vârfuri și laturi)
| Type = [[4-politop regulat]] [[convexitate|convex]]
| Family=[[Hipercub]]
| Schläfli={4,3,3}<br />t<sub>0,3</sub>{4,3,2} sau {4,3}×{&nbsp;}<br />t<sub>0,2</sub>{4,2,4} sau {4}×{4}<br />t<sub>0,2,3</sub>{4,2,2} sau {4}×{&nbsp;}×{&nbsp;}<br />t<sub>0,1,2,3</sub>{2,2,2} sau {&nbsp;}×{&nbsp;}×{&nbsp;}×{&nbsp;}
| CD={{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node}}<br />{{CDD|node_1|4|node|3|node|2|node_1}}<br />{{CDD|node_1|4|node|2|node_1|4|node}}<br />{{CDD|node_1|4|node|2|node_1|2|node_1}}<br />{{CDD|node_1|2|node_1|2|node_1|2|node_1}}
| Cell_List=8 [[cub|{4,3}]] [[Fișier:Hexahedron.png|20px]]
| Face_List=24 [[pătrat|{4}]]
| Edge_Count=32
| Vertex_Count=16
| Petrie_Polygon=[[octogon]]
| Coxeter_Group=B<sub>4</sub>, [3,3,4]
| Vertex_Figure=[[Fișier:8-cell verf.svg|80px]]<br />[[Tetraedru]]
| Dual=[[16-celule]]
| Property_List = [[Politop convex |convex]], [[figură izogonală |izogonal]], [[figură izotoxală |izotoxal]], [[figură izoedrică|izoedric]]
| Index=10
}}
[[Fișier:Net of tesseract.gif|thumb|Tesseractul poate fi [[Desfășurată|desfășurat]] în spațiul 3D în opt cuburi, la fel cum cubul poate fi desfășurat în șase pătrate în spațiul 2D. Există 261 de desfășurate diferite ale tesseractului.<ref>{{en icon}} {{cite web|url=http://unfolding.apperceptual.com/|title=Unfolding an 8-cell|website=Unfolding.apperceptual.com|access-date=21 January 2018}}</ref>]]
În [[geometrie]] un '''tesseract''' este un obiect din [[spațiu cu patru dimensiuni|spațiul cu patru dimensiuni]], fiind analogul 4-dimensional al [[cub]]ului din trei dimensiuni și al [[pătrat]]ului din două dimensiuni.<ref>{{Cite web|title=The Tesseract - a 4-dimensional cube|url=https://www.cut-the-knot.org/ctk/Tesseract.shtml|access-date=2020-11-09|website=www.cut-the-knot.org}}</ref> La fel cum suprafața cubului este formată din șase [[Față (geometrie) |fețe]] pătrate, [[hipersuprafață |hipersuprafața]] tesseractului este alcătuită din opt [[celulă (geometrie) |celule]] cubice. Tesseractul este unul dintre cele șase [[4-politop regulat convex |4-politopuri regulate convexe]].

Tesseractul mai este cunoscut drept '''4-cub''', '''8-celule''', '''C<sub>8</sub>'''<ref>{{en icon}} Matila Ghyka, ''The geometry of Art and Life'' (1977), p.68</ref> și '''prismă cubică'''. Este ''hipercubul 4-dimensional'', parte a familiei de [[hipercub]]uri (a ''politopurilor de măsură'').<ref>{{en icon}} {{Cite book | last = Elte | first = E. L. | title = The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces | publisher = University of Groningen | location = Groningen | year = 1912 | isbn = 1-4181-7968-X}}</ref> [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter]] îl notează cu <math>\gamma_4</math>.{{Sfn|Coxeter|1973|pp=122-123|loc=§7.2. illustration Fig 7.2<small>C</small>}} Termenul de "hipercub" fără a menționa dimensiunea este frecvent folosit ca sinonim pentru tesseract.

Conform ''[[Oxford English Dictionary]]'', cuvântul „tesseract” a fost inventat și folosit pentru prima dată în 1888 de [[Charles Howard Hinton]] în cartea sa ''A New Era of Thought'' (în {{ro|O nouă eră de gândire}}). El provine din limba {{gr|τέσσερις ακτίνες}} ({{ro|patru raze}}), referindu-se la cele patru [[latură (geometrie) |laturi]] care pleacă din fiecare [[vârf (geometrie) |vârf]] spre celelalte vârfuri.<ref>{{en icon}} {{cite web|url=http://www.oed.com/;jsessionid=046D859BEE893EBE8940E85E9D2D7F80?authRejection=true&url=%2Fview%2FEntry%2F199669%3FredirectedFrom%3Dtesseract|title=Home : Oxford English Dictionary|website=Oed.com|access-date=21 January 2018|archive-date=2018-01-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20180122071945/http://www.oed.com/;jsessionid=046D859BEE893EBE8940E85E9D2D7F80?authRejection=true&url=%2Fview%2FEntry%2F199669%3FredirectedFrom%3Dtesseract|dead-url=yes}}</ref>

== Geometrie ==
Tesseractul poate fi construit în mai multe moduri. Ca [[politop regulat]] cu trei [[cub]]uri pliate împreună în jurul fiecărei laturi, are [[simbol Schläfli |simbolul Schläfli]] {4,3,3} cu [[Grup hiperoctaedric |simetria hiperoctaedrică]] de [[ordin de simetrie|ordinul]] 384. Construit ca o [[hiperprismă]] 4D formată din două cuburi paralele, poate fi considerat un compus cu simbolul Schläfli {4,3}&nbsp;×&nbsp;{&nbsp;}, cu ordinul simetriei 96. Ca o [[duoprismă]] 4-4, un [[produs cartezian]] a două [[pătrat]]e, poate fi descris printr-un simbol Schläfli compus {4}×{4}, cu ordinul simetriei 64. Ca [[ortotop]] poate fi descris prin simbolul Schläfli compozit {&nbsp;}&nbsp;×&nbsp;{&nbsp;}&nbsp;×&nbsp;{&nbsp;}&nbsp;×&nbsp;{&nbsp;} sau {&nbsp;}<sup>4</sup>, cu ordinul simetriei 16.

Deoarece fiecare vârf al unui tesseract este adiacent la patru margini, [[figura vârfului]] tesseractului este un [[tetraedru]] regulat. [[Politop dual |Politopul dual]] al tesseractului se numește [[16-celule]]<!-- matematicienii de la U Buc. cer să se evite traducerea „choron”, așa că hexadecachoron -> hexadecacor nu merge --> regulat, cu simbolul Schläfli {3,3,4}, cu care poate fi combinat pentru a forma [[compus de tesseract și 16-celule |compusul de tesseract și 16-celule]].

Tesseractul standard în 4-spațiul euclidian este dat de [[anvelopă convexă |anvelopa convexă]] a punctelor (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Adică constă din puncte:
: <math>\{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb R^4 \,:\, -1 \leq x_i \leq 1 \}</math>

Un tesseract este delimitat de opt [[hiperplan]]e (''x''<sub>i</sub> = ±1). Într-un tesseract fiecare pereche de hiperplane neparalele se intersectează pentru a forma 24 de fețe pătrate. Trei cuburi și trei pătrate se întâlnesc pe fiecare latură. Există patru cuburi, șase pătrate și patru laturi care se întâlnesc în fiecare vârf. Una peste alta, este format din 8 cuburi, 24 de pătrate, 32 de laturi și 16 vârfuri.

=== Proiecții în 2 dimensiuni ===
[[Fișier:Dimension levels.svg|thumb|300px|Schema generării unui tesseract dintr-un punct]]
[[Fișier:From Point to Tesseract (Looped Version).gif|thumb|Animație cu generarea unui tesseract dintr-un punct]]
Un hipercub poate fi construit în modul următor:

* '''''1'''-dimensional'': Două puncte A și B pot fi conectate pentru a deveni un [[segment de dreaptă]] AB.
* '''''2'''-dimensional'': Două segmente de dreaptă paralele AB și CD pot fi conectate pentru a deveni un [[pătrat]], cu colțurile marcate ABCD.
* '''''3'''-dimensional'': Două pătrate paralele ABCD și EFGH pot fi conectate pentru a deveni un [[cub]], cu colțurile marcate ABCDEFGH.
* '''''4'''-dimensional:'' Două cuburi paralele ABCDEFGH și IJKLMNOP pot fi conectate pentru a deveni un tesseract, cu colțurile marcate ABCDEFGHIJKLMNOP.

Este posibil ca tesseractul să fie proiectat în spațiile tridimensional și bidimensional, similar cu proiectarea unui cub în spațiul bidimensional.

Proiecțiile în 2D devin mai instructive prin rearanjarea pozițiilor vârfurilor proiectate. Astfel se pot obține imagini care deși nu mai reflectă relațiile spațiale din tesseract, ilustrează structura conexiunilor vârfurilor, cum ar fi în următoarele exemple.

Un tesseract se obține în principiu prin combinarea a două cuburi. Schema este similară cu construcția unui cub din două pătrate: se juxtapun două copii ale cubului cu dimensiuni inferioare și se conectează vârfurile corespunzătoare. Fiecare latură a unui tesseract are aceeași lungime. Această vizualizare prezintă interes atunci când se utilizează tesseractele ca baze într-o [[topologie de rețea]] în care sunt legate mai multe procesoare pentru [[calcul paralel]]: distanța dintre două noduri este de cel mult 4 și există multe căi diferite pentru a permite echilibrarea încărcării.

=== Proiecții paralele în 3 dimensiuni ===
[[Fișier:Orthogonal projection envelopes tesseract.png|thumb|300px|Proiecții paralele ale anvelopelor tesseractului (fiecare celulă este desenată cu fețe de diferite culori, celulele inversate nu sunt desenate)]]
Proiecția paralelă cu o ''celulă în față'' a tesseractului în spațiul tridimensional are o anvelopă cubică. Cea mai apropiat și cea mai îndepărtată celulă sunt proiectate pe cub, iar restul de șase celule sunt proiectate (degenerate în 3D) pe cele șase fețe pătrate ale cubului.

Proiecția paralelă cu o ''față în față'' a tesseractului în spațiul tridimensional are o anvelopă coboidă. Două perechi de celule se proiectează pe jumătățile superioare și inferioare ale acestei anvelope, iar cele patru celule rămase se proiectează pe fețele laterale.

Proiecția paralelă cu o ''latură în față'' a tesseractului în spațiul tridimensional are o anvelopă în [[formă]] de [[prismă hexagonală]]. Șase celule se proiectează pe prismele rombice, care sunt situate în prisma hexagonală într-un mod analog modului în care fețele cubului 3D se proiectează pe șase romburi într-un anvelopă hexagonală dintr-o proiecție cu un vârf în față. Cele două celule rămase se proiectează pe bazele prismei.

Proiecția paralelă cu un ''vârf în față'' a tesseractului în spațiul tridimensional are o anvelopă în formă de [[dodecaedru rombic]]. Două vârfuri ale tesseractului sunt proiectate în origine. Există două moduri de [[disecție (geometrie) |disecare]] a unui dodecaedru rombic în patru [[romboedru |romboedre]] congruente, oferind un total de opt romboedre posibile, fiecare fiind proiecția unei celule a tesseractului. Această proiecție este cea cu volum maxim. Un set de vectori de proiecție sunt ''u''&nbsp;=&nbsp;(1,&nbsp;1,&nbsp;&minus;1,&nbsp;&minus;1), ''v''&nbsp;=&nbsp;(&minus;1,&nbsp;1,&nbsp;&minus;1,&nbsp;1), ''w''&nbsp;=&nbsp;(1,&nbsp;&minus;1,&nbsp;&minus;1,&nbsp;1).

== Galerie de imagini  ==
;Proiecții în perspectivă
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|- valign=top
|width=280|[[Fișier:Tesseract-perspective-vertex-first-PSPclarify.png]]<br/>Perspectivă cu ''eliminarea volumului ascuns''. Colțul roșu este cel mai apropiat în 4D și în el se întâlnesc 4 celule cubice
|[[Fișier:3D stereographic projection tesseract.PNG|480px]]<br/>Proiecție [[Stereoscopie |stereoscopică]] 3D a tesseractului<br/>(imaginea stereo apare fixând privirea „la infinit”)
|}

;Animații
{| class=wikitable
|- valign=top
|width=255|[[Fișier:8-cell.gif]]
|width=240|[[Fișier:8-cell-orig.gif|240px]]
|- valign=top 
|Proiecție 3D a unui tesseract executând o [[rotație]] simplă în planul care divide obiectul dinspre față–stânga spre spate–dreapta și de sus în jos
|align=center|Proiecție 3D a unui tesseract executând o rotație în două plane ortogonale
|}

;Grafuri
{| class=wikitable 
|- valign=top
|width=200|[[Fișier:Hypercubeorder binary.svg|200px]]<br/>[[Dodecaedru rombic |Dodecaedrul rombic]] formează anvelopa convexă a proiecției paralele cu un vârf în față. Numărul vârfurilor pe nivelele acestui graf este 1&nbsp;4&nbsp;6&nbsp;4&nbsp;1&nbsp;— al cincilea rând din [[triunghiul lui Pascal]]
|width=360|[[Fișier:Tesseract tetrahedron shadow matrices.svg|200px|right]]
Tetraedrul formează [[anvelopă convexă |anvelopa convexă]] a proiecției centrale centrată pe un vârf al tesseractului. Sunt prezentate patru din cele 8 celule cubice. Cel de-al 16-lea vârf este proiectat la infinit iar cele patru laturi care se întâlnesc în el nu sunt reprezentate.
|align=center width=240|[[Fișier:Stereographic polytope 8cell.png|200px]]<br/>[[Proiecție stereografică]]<br/>
(laturile sunt proiectate pe o [[3-sferă]])
|}

=== Proiecții ortogonale 2D ===
[[Fișier:Orthogonal Tesseract Gif.gif|thumb|Animație care arată succesiv cele opt cuburi în cadrul proiecției planului Coxeter B<sub>4</sub> al tesseractului]]
[[Fișier:Tesseract_graph_nonplanar_visual_proof.svg|thumb|[[Demonstrație fără cuvinte |Demonstrație vizuală]] că graful unui tesseract nu este un [[graf planar]], pe baza [[Teorema Kuratowski |teoremelor lui Kuratowski]] sau [[Teorema Wagner |Wagner]] și găsirii tuturor subgrafurilor ''K''<sub>5</sub> (sus) sau ''K''<sub>3,3</sub> (jos)]]
;[[Proiecție ortogonală |Proiecții ortogonale]]
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|-
![[Plan Coxeter]]
!B<sub>4</sub>
!B<sub>3</sub> / D<sub>4</sub> / A<sub>2</sub>
!B<sub>2</sub> / D<sub>3</sub>
|-
!Graf
|[[Fișier:4-cube t0.svg|150px]]
|[[Fișier:4-cube t0 B3.svg|150px]]
|[[Fișier:4-cube t0 B2.svg|150px]]
|-
![[Simetrie diedrală]]
|[8]
|[6]
|[4]
|-
!Plan Coxeter
!Altele
!F<sub>4</sub>
!A<sub>3</sub>
|-
!Graf
|[[Fișier:4-cube column graph.svg|150px]]
|[[Fișier:4-cube t0 F4.svg|150px]]
|[[Fișier:4-cube t0 A3.svg|150px]]
|-
!Simetrie diedrală
|[2]
|[12/3]
|[4]
|}

== Simetrie echilaterală radială ==
Destanța de la [[centru (geometrie)|centru]] la vârf a tesseractului este egală cu lungimea laturii sale; astfel diagonala sa prin centru (de la un vârf la vârful opus) este de 2 lungimi ale laturii. Numai câteva politopuri uniforme au această proprietate, inclusiv tesseractul și [[24-celule]], [[cuboctaedru]]l tridimensional și [[hexagon]] bidimensional. Tesseractul este singurul hipercub cu această proprietate. (Strict vorbind, hipercuburile cu 0 dimensiuni (un punct) și 1 dimensiune (un segment de dreaptă) sunt, de asemenea, echilaterale radial.) Cea mai lungă distanță vârf la vârf a unui ''n''-hipercub cu lungimea muchiei egală cu unitatea este {{radic|''n''}}, deci pentru pătrat este {{radic|2}}, pentru cub este {{radic|3}}, iar numai pentru tesseract este {{radic|4}}, exact lungimea a două laturi.

== Teselare ==
Tesseractul, ca toate [[hipercub]]urile, teselează [[spațiu euclidian |spațiul euclidian]]. [[Fagure tesseractic |Fagurele tesseractic]] autodual format din 4 tesseracte în jurul fiecărei fețe are simbolul Schläfli {4,3,3,4}. Prin urmare, tesseractul are un [[unghi diedru]] de 90°.{{Sfn|Coxeter|1973|p=293}} Simetria echilaterală radială a tesseractului face ca teselarea sa să fie singura rețea cubică regulată centrată pe corp în orice număr de dimensiuni.

Tesseractul însuși poate fi descompus în politopuri mai mici. De exemplu, poate fi triangulat în 4-[[simplex]]uri care au aceleași vârfuri cu tesseractul. Se știe că există 92487256 astfel de triangulări<ref>{{en icon}} {{citation
 | last1 = Pournin | first1 = Lionel
 | mr = 3038527
 | title = The flip-Graph of the 4-dimensional cube is connected
 | journal = [[Discrete & Computational Geometry]]
 | pages = 511–530
 | volume = 49
 | year = 2013
 | issue = 3
 | doi = 10.1007/s00454-013-9488-y| arxiv = 1201.6543| s2cid = 30946324
}}
</ref> și că cel mai mic număr de 4-simplexuri din oricare dintre ele este 16.<ref>{{en icon}} {{citation
 | last1 = Cottle | first1 = Richard W.
 | mr = 676709
 | title = Minimal triangulation of the 4-cube
 | journal = ''Discrete Mathematics''
 | pages = 25–29
 | volume = 40
 | year = 1982
 | doi = 10.1016/0012-365X(82)90185-6}}
</ref>

== Poligon complex asociat ==
{| class=wikitable style="float:right; text-align:center;" width=300
!Ortogonal||Perspectivă
|-
|[[Fișier:4-generalized-2-cube.svg|150px]]
|[[Fișier:Complex polygon 4-4-2-stereographic3.svg|150px]]
|-
|colspan=2|<sub>4</sub>{4}<sub>2</sub>, cu 16 vârfuri și 8 4-fețe, 4 dintre ele fiind colorate roșu și celelalte 4 albastru
|}
[[Politop complex regulat |Politopul complex regulat]] <sub>4</sub>{4}<sub>2</sub>, {{CDD | 4node_1|4|node}}, în <math>\mathbb{C}^2</math> are o reprezentare reală în spațiul 4-dimensional ca tesseract sau 4-4 duoprismă. <sub> 4</sub>{4}<sub>2</sub> are 16 vârfuri și 8 4-laturi. Simetria sa este <sub>4</sub>[4]<sub>2</sub>, ordinul 32. Are și o construcție cu o simetrie mai mică, {{CDD|4node_1|2|4node_1}} sau <sub>4</sub>{}×<sub>4</sub>{}, cu simetrie <sub>4</sub>[2]<sub>4</sub>, ordinul 16. Aceasta este simetria dacă 4-laturile roșii și albastre sunt considerate distincte.<ref>{{en icon}} Coxeter, H.S.M., ''Regular Complex Polytopes'', Ed. a II-a, Cambridge University Press, 1991</ref>

== Politopuri și faguri asociați ==
Ca duoprismă uniformă, tesseractul există într-o secvență de duoprisme uniforme: {''p''}×{4}.

Tesseractul regulat împreună cu 16-celule, face parte dintr-un set de 15 [[4-politop uniform |4-politopuri uniforme]] cu aceeași simetrie. Tesseractul {4,3,3} face parte dintr-o secvență de 4-politopuri și [[Fagure pavare hexagonală |faguri]], {''p'',3,3} cu figurile vârfului tetraedre, {3,3}. De asemenea, tesseractul face parte din secvența de [[Fagure cubic de ordinul 5 |4-politopuri și faguri regulați]], {4,3,''p''} cu celule cubice.

== În cultura populară ==
De la descoperirea lor, hipercuburile cu patru dimensiuni au fost o temă populară în artă, arhitectură și science fiction. Exemple notabile sunt:
<!-- Nu adăugați exemple fără surse. De asemenea, nu adăugați exemple care utilizează cuvântul "tesseract", dar nu sunt despre hipercuburi. În special, nu adăugați "A Wrinkle in Time" sau "Interstellar", deoarece termenul „tesseract” nu este folosit acolo pentru hipercub. -->
* ''And He Built a Crooked House'' ({{ro|Și el construi o casă în dungă, o casă în dungă}}) de [[Robert Heinlein]], o povestire [[științifico-fantastic]]ă din 1940, descrie o casă în formă de un hipercub în 4 dimensiuni.<ref>{{citation
|title=Mathematics in Science Fiction: Mathematics as Science Fiction
|first=David
|last=Fowler
|journal=World Literature Today
|volume=84
|issue=3
|year=2010
|pages=48–52
|jstor=27871086}}</ref><ref>{{en icon}} {{citation|last=Henderson|first=Linda Dalrymple|editor-last=Emmer|editor-first=Michele|contribution=Science Fiction, Art, and the Fourth Dimension|date=November 2014|doi=10.1007/978-3-319-01231-5_7|pages=69–84|publisher=Springer International Publishing|title=Imagine Math 3: Between Culture and Mathematics}}</ref> Acesta, împreună cu [[Martin Gardner]], care a publicat în 1946 povestirea "The No-Sided Professor", sunt printre primii din domeniul științifico-fantastic care au popularizat [[banda lui Möbius]], [[sticla lui Klein]] și hipercubul (tesseractul).
* ''[[Crucifixión]]'' ({{ro|Răstignire}}), o [[pictură în ulei]] din 1954 de [[Salvador Dalí]] în care este reprezentată o desfășurată tridimensională a hipercubului 4-dimensional.<ref>{{en icon}} {{citation|title=Dali's dimensions|first=Martin|last=Kemp|journal=[[Nature (journal)|Nature]]|volume=391|issue=27|date=1 January 1998|pages=27|doi=10.1038/34063|bibcode=1998Natur.391...27K|s2cid=5317132}}</ref>
* [[Grande Arche]], un monument și o clădire lângă [[Paris]], finalizată în 1989. Potrivit proiectantului monumentului, [[Erik Reitzel]], Grande Arche a fost făcut să semene cu proiecția unui hipercub.<ref>{{en icon}} {{citation|last=Ursyn|first=Anna|title=Knowledge Visualization and Visual Literacy in Science Education|publisher=Information Science Reference|year=2016|isbn=9781522504818|pages=91|contribution-url=https://books.google.com/books?id=-JBJDAAAQBAJ&pg=PA91|contribution=Knowledge Visualization and Visual Literacy in Science Education}}</ref>
* Cubul Cosmic, redenumit [[Tesseract (Universul Cinematografic Marvel)|Tesseract]], în Universul Cinematografic Marvel.<ref>{{Cite web|url=http://movieline.com/2012/04/30/kevin-feige-on-avengers-marvel-universe-building-and-the-legacy-of-elektra/|title=Kevin Feige on Avengers, Marvel Universe-Building, and the Legacy of Elektra|first=Jen|last=Yamato|date=April 30, 2012|work=Movieline}}</ref>

== Note ==
{{listănote|25em}}

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{Cite book | last=Coxeter | first=H.S.M. | author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | year=1973 | title=Regular Polytopes | publisher=Dover | place=New York | edition=3rd | pages=[https://archive.org/details/regularpolytopes00coxe_869/page/n140 122]–123}}
* {{en icon}} F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss (1995) ''Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter'', Wiley-Interscience Publication {{isbn|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]
** (Paper 22) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi Regular Polytopes I'', ''Mathematische Zeitschrift'' 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
** (Paper 23) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes II'', [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
** (Paper 24) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes III'', [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* {{en icon}} [[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008) ''The Symmetries of Things'', {{isbn|978-1-56881-220-5}} (Chapter 26. pp.&nbsp;409: Hemicubes: 1<sub>n1</sub>)
* {{en icon}} [[Thorold Gosset|T. Gosset]] (1900) ''On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions'', ''Messenger of Mathematics'', Macmillan.
* {{en icon}} [[T. Proctor Hall]] (1893) [https://www.jstor.org/stable/2369565 "The projection of fourfold figures on a three-flat"], ''American Journal of Mathematics'' 15:179–89.
* {{en icon}} [[Norman Johnson]] ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
** N.W. Johnson: ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. (1966)
* {{de icon}} [[Victor Schlegel]] (1886) ''Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper'', Waren.

== Legături externe ==
* {{en icon}} {{MathWorld|title=Tesseract|urlname=Tesseract}}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|polychora.htm|4D uniform polytopes (polychora)|x4o3o3o - tes}}
* {{en icon}} [http://eusebeia.dyndns.org/4d/8-cell.html The Tesseract] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220120044617/http://eusebeia.dyndns.org/4d/8-cell.html |date=2022-01-20 }} Ray traced images with hidden surface elimination. This site provides a good description of methods of visualizing 4D solids.
* {{de icon}} Marco Möller, ''[http://www.polytope.de/c8.html Der 8-Zeller]'': Politopuri regulate în ℝ<sup>4</sup>
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20070928165237/http://www.polychora.de/wiki/index.php?title=TES WikiChoron: Tesseract]
* {{en icon}} [http://uoregon.edu/~koch/hypersolids/hypersolids.html HyperSolids] is an open source program for the Apple Macintosh (Mac OS X and higher) which generates the five regular solids of three-dimensional space and the six regular hypersolids of four-dimensional space.
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20130326090312/http://www.cs.sjsu.edu/~rucker/hypercube.htm Hypercube 98] A [[Microsoft Windows|Windows]] program that displays animated hypercubes, by [[Rudy Rucker]]
* {{en icon}} [http://mrl.nyu.edu/~perlin/demox/Hyper.html ken perlin's home page] A way to visualize hypercubes, by Ken Perlin
* {{en icon}} [http://www.math.union.edu/~dpvc/math/4D/ Some Notes on the Fourth Dimension] includes animated tutorials on several different aspects of the tesseract, by [http://www.math.union.edu/~dpvc/ Davide P. Cervone]
* {{en icon}} [http://www.fano.co.uk/hypermodel/tesseract.html Tesseract animation with hidden volume elimination]

{{Portal|Matematică}}
{{Politopuri}}

[[Categorie:4-politopuri|008]]