Vizualizare sursă pentru „Teoria grupurilor”

[[Fișier:Rubik's_cube.svg|miniatura| Popularul [[Cubul Rubik|cub al lui Rubik]], inventat în 1974 de [[Ernő Rubik|Ernő Rubik,]] a fost folosit ca o ilustrare a {{Ill-wd|Q1412905|3=grupurilor de permutare}}.]]
În [[matematică]] și [[Algebră abstractă|algebra abstractă]], '''teoria grupurilor''' studiază [[structură algebrică |structurile algebrice]] cunoscute sub denumirea de [[Grup (matematică)|grupuri]]. Conceptul de grup este unul central în algebra abstractă: alte structuri algebrice bine cunoscute, cum ar fi [[Inel (matematică)|inelele]], [[Corp (matematică)|corpurile]] și [[Spațiu vectorial|spațiile vectoriale]], pot fi văzute ca grupuri înzestrate cu [[Operație (matematică)|operații]] și [[Axiomă|axiome]] suplimentare. Grupurile sunt recurente în toată matematica, iar metodele teoriei grupurilor au influențat multe părți din algebră. {{Ill-wd|Q6553407|3=Grupurile algebrice liniare}} și [[Grup Lie|grupurile Lie]] sunt două ramuri ale teoriei grupurilor, în care s-au înregistrat progrese și care au devenit ele însele subiecte de subdomenii. 

Matematicienii fondatori ai teoriei grupurilor sunt [[Augustin Louis Cauchy]], [[Evariste Galois]], [[Lagrange]], [[Camille Jordan]], [[Arthur Cayley]].{{nc}}

Diferite sisteme fizice, cum ar fi [[Cristal|cristalele]] și [[atomul de hidrogen]], pot fi modelate prin [[Grup de simetrie|grupuri de simetrie]]. Astfel, teoria grupurilor și [[Teoria reprezentării|teoria reprezentării]], strâns legată de ea, au multe aplicații importante în [[fizică]], [[chimie]] și [[știința materialelor]]. Teoria grupurilor este de asemenea centrală pentru [[Criptografie asimetrică|criptografia cu chei publice]]. 

Una dintre cele mai importante realizări matematice ale secolului al XX-lea<ref> <span data-segmentid="524" class="cx-segment">Elwes, Richard, " [http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html O teoremă enormă: clasificarea grupurilor simple simple] ", ''revista Plus'', ediția 41, decembrie 2006.</span> </ref> a fost efortul colaborativ, constând în peste 10.000 de pagini de reviste științifice, publicate mai ales între 1960 și 1980, care au culminat cu o [[Clasificarea grupurilor simple finite|clasificare completă a grupurilor simple finite]].

== Principalele clase de grupuri ==
Gama de grupuri examinate s-a extins treptat de la {{Ill-wd|Q1412905|3=grupurile de permutări}}, [[Mulțime finită|finite]], și exemple speciale de {{Ill-wd|Q1050120|3=grupuri de matrice}} până la grupuri abstracte care pot fi specificate printr-o {{Ill-wd|Q915906|3=prezentare}} prin {{Ill-wd|Q734209|3=generatori}} și [[Relație binară|relații]]. 

=== Grupuri de permutare ===
Prima [[Clasă (matematică)|clasă]] de grupuri care au fost supuse unui studiu sistematic a fost {{Ill-wd|Q1412905|3=grupurile de permutare}}. Având în vedere orice mulțime ''X'' și o colecție ''G'' de [[Corespondență biunivocă|bijecții]] între ''X'' și ea însăși (cunoscute ca ''permutări'') care este închisă în raport cu compoziția și inversarea ei, ''G'' este un grup {{Ill-wd|Q288465|3=care acționează}} asupra lui ''X.'' Dacă ''X'' constă din ''n'' elemente și ''G'' constă din ''toate'' permutările, atunci ''G'' este {{Ill-wd|Q849512|3=grupul simetric}} S<sub>''n''</sub>; în general, orice grup de permutare ''G'' este un [[subgrup]] al grupului simetric al lui ''X.'' Una din primele construcții, datorată lui [[Arthur Cayley|Cayley]], a expus orice grup ca grup de permutare, acționând asupra lui însuși ({{Nowrap|1=''X'' = ''G''}}) prin {{Ill-wd|Q1555242|3=reprezentarea regulată}} la stânga. 

În multe cazuri, structura unui grup de permutare poate fi studiată utilizând proprietățile acțiunii sale asupra mulțimii corespunzătoare. De exemplu, în acest fel se dovedește că pentru {{Nowrap|''n'' ≥ 5}}, [[Grup altern|grupul altern]] A<sub>''n''</sub> este [[Grup simplu|simplu]], adică nu admite niciun {{Ill-wd|Q743179|3=subgrup normal}} propriu. Acest fapt joacă un rol cheie în [[Teorema lui Abel-Ruffini|imposibilitatea de a rezolva o ecuație algebrică generală de grad {{Nowrap|''n'' ≥ 5}} în radicali]].

=== Grupuri de matrice ===
Următoarea clasă importantă de grupuri este dată de ''grupuri'' de ''matrice'' sau de {{Ill-wd|Q1050120|3=grupuri liniare}}. Aici ''G'' este o mulțime formată din [[Matrice|matrici]] inversabile de ordin ''n'' dat peste un [[Corp (matematică)|corp]] ''K'' care este închis în raport cu produsul și inversa. Un astfel de grup acționează asupra spațiului vectorial ''n''-dimensional ''K''<sup>''n''</sup> prin [[Transformare liniară|transformări liniare]]. Această acțiune face ca grupurile de matrice să fie conceptual similare cu grupurile de permutare, iar geometria acțiunii să poată fi exploatată în mod util pentru a stabili proprietățile grupului ''G.'' 

=== Grupuri de transformare ===
Grupurile de permutare și grupurile de matrice sunt cazuri speciale de [[Grup de automorfisme|grupuri de transformare]]: grupuri care acționează pe un anumit spațiu ''X'' păstrându-i structura inerentă. În cazul grupelor de permutare, ''X'' este o mulțime; pentru grupurile de matrice, ''X'' este un [[spațiu vectorial]]. Conceptul de grup de transformare este strâns legat de conceptul de [[grup de simetrie]]: grupurile de transformare se compun frecvent din ''toate'' transformările care păstrează o anumită structură. 

Teoria grupurilor de transformare formează o punte care leagă teoria grupurilor cu [[Geometrie diferențială|geometria diferențială]]. O lungă linie de cercetare, care provine de la [[Sophus Lie|Lie]] și [[Felix Klein|Klein]], consideră acțiunile de grup pe [[Varietate (geometrie)|varietăți]] prin {{Ill-wd|Q202906|3=homeomorfisme}} sau [[Difeomorfism|difeomorfisme]]. Grupurile în sine pot fi [[Grup discret|discrete]] sau {{Ill-wd|Q1046291|3=continue}}. 

=== Grupuri abstracte ===
Cele mai multe grupuri considerate în prima etapă a dezvoltării teoriei grupurilor erau „concrete”, fiind realizate prin numere, permutări sau matrice. Abia la sfârșitul secolului al XIX-lea, a început să prindă rădăcini ideea unui grup abstract ca mulțime cu operații care să satisfacă un anumit sistem de axiome. O modalitate tipică de a specifica un grup abstract este printr-o {{Ill-wd|Q915906|3=prezentare}} prin ''generatori și relații'', 

: <math> G = \langle S|R\rangle. </math>

O sursă importantă de grupuri abstracte este dată de construirea unui [[Grup factor|''grup factor'']] ''G''/''H'' al unui grup ''G'' printr-un {{Ill-wd|Q743179|3=subgrup normal}} ''H.'' {{Ill-wd|Q912083|3=Grupurile de clase}} de {{Ill-wd|Q616608|3=corpuri numerice algebrice}} au fost printre primele exemple de grupuri factor, de mare interes în [[teoria numerelor]]. Dacă un grup ''G'' este un grup de permutare pe o mulțime ''X'', grupul factor ''G'' / ''H'' nu mai acționează asupra lui ''X'' ; dar ideea de grup abstract ne permite să nu ne deranjeze această discrepanță. 

Schimbarea de perspectivă de la grupuri concrete la grupuri abstracte face naturală considerarea proprietăților grupurilor care sunt independente de o realizare particulară sau, în limbajul modern, să fie invariante în raport cu [[Izomorfism|izomorfismele]], precum și clase de grupuri cu o astfel de proprietate: [[Grup finit|grupuri finite]], {{Ill-wd|Q1551033|3=grupuri periodice}}, [[Grup simplu|grupuri simple]], {{Ill-wd|Q759832|3=grupuri rezolvabile}} și așa mai departe. În loc să exploreze proprietățile unui grup individual, se dorește să se stabilească rezultate care se aplică unei întregi clase de grupuri. Noua paradigmă a fost de o importanță capitală pentru dezvoltarea matematicii: a prefigurat crearea [[Algebră abstractă|algebrei abstractă]] în lucrările lui [[David Hilbert|Hilbert]], [[Emil Artin]], [[Emmy Noether]] și matematicienii școlii lor.

=== Grupuri cu structură suplimentară ===
O elaborare importantă a conceptului de grup apare dacă ''G'' este dotat cu o structură suplimentară, în special, una de [[spațiu topologic]], {{Ill-wd|Q3552958|3=varietate diferențiabilă}} sau {{Ill-wd|Q648995|3=varietate algebrică}}. Dacă operațiile de grup ''m'' ([[înmulțire (matematică) |înmulțirea]]) și ''i'' (inversiunea) 

: <math>m: G\times G\to G, (g,h)\mapsto gh, \quad i:G\to G, g\mapsto g^{-1},</math> 

sunt compatibile cu această structură, adică sunt [[aplicație|aplicații]] [[Funcție continuă|continue]], {{Ill-wd|Q868473|3=netede}} sau {{Ill-wd|Q7309604|3=regulate}} (în sensul geometriei algebrice), atunci ''G'' este {{Ill-wd|Q1046291|3=grup topologic}}, [[grup Lie]] sau {{Ill-wd|Q1695400|3=grup algebric}}.<ref group="lower-alpha">Acest proces de impunere a structurii suplimentare a fost formalizat prin noțiunea de {{Ill-wd|Q765994|3=obiect de grup}} într-o [[Categorie (matematică)|categorie]] adecvată.</ref> 

Prezența unei structuri suplimentare pune în legătură aceste tipuri de grupuri cu alte discipline matematice și astfel înseamnă că sunt disponibile mai multe instrumente pentru studiul lor. Grupurile topologice formează un domeniu natural pentru [[Analiză armonică|analiza armonică abstractă]], în timp ce [[Grup Lie|grupurile Lie]] (adesea realizate ca grupuri de transformare) reprezintă pilonii [[Geometrie diferențială|geometriei diferențiale]] și ai [[Teoria reprezentării|teoriei reprezentării]] unitare. Anumite întrebări de clasificare care nu pot fi rezolvate în general pot fi abordate și rezolvate pentru subclasele speciale ale grupurilor. Astfel, {{Ill-wd|Q1887083|3=grupurile Lie compacte conexe}} au fost complet clasificate. Există o relație fructuoasă între grupurile abstracte infinite și grupurile topologice: ori de câte ori un grup ''Γ'' poate fi realizat ca o {{Ill-wd|Q6497088|3=latice}} într-un grup topologic ''G'', geometria și analiza referitoare la ''G'' dau rezultate importante despre ''Γ''. O tendință relativ recentă în teoria grupurilor finite exploatează legăturile lor cu grupurile topologice compacte (grupuri {{Ill-wd|Q1428923|3=profinite}}): de exemplu, un singur {{Ill-wd|Q7236705|3=grup analitic ''p-''adic}} ''G'' are o familie de coeficienți care sunt {{Ill-wd|Q286972|3=''p''-grupuri}} finite de diverse ordine, și proprietățile lui ''G'' au corespondent în proprietățile coeficienților săi finiți.

== Ramurile teoriei grupurilor ==

=== Teoria grupurilor finite ===
În secolul al XX-lea, matematicienii au cercetat în profunzime unele aspecte ale teoriei grupurilor finite, în special {{Ill-wd|Q865899|3=teoria locală}} a grupurilor finite și teoria {{Ill-wd|Q759832|3=grupurilor solvabile}} și {{Ill-wd|Q1755242|3=nilpotente}}. În consecință, s-a reușit [[Clasificarea grupurilor simple finite|clasificarea completă a grupurilor finite simple]], ceea ce înseamnă că toate acele [[Grup simplu|grupuri simple]], din care pot fi construite toate grupurile finite sunt acum cunoscute. 

În a doua jumătate a secolului al XX-lea, matematicieni precum [[Claude Chevalley|Chevalley]] și [[Robert Steinberg|Steinberg]] au îmbunătățit și înțelegerea analoagelor finite ale {{Ill-wd|Q2285809|3=grupurilor clasice}} și ale altor grupuri asociate. O astfel de familie de grupuri este familia {{Ill-wd|Q524607|3=grupurilor liniare generale}} peste [[Corp finit|corpuri finite]]. Grupurile finite apar adesea atunci când se ia în considerare [[Simetrie|simetria]] [[obiect matematic |obiectelor matematice]] sau fizice, atunci când acele obiecte admit doar un număr finit de transformări ce conservă structura. Teoria [[Grup Lie|grupurilor Lie]], care poate fi privită ca având în vedere „[[Simetrie continuă|simetria continuă]]”, este puternic influențată de {{Ill-wd|Q768074|3=grupurile Weyl}} asociate. Acestea sunt grupuri finite generate de reflecții care acționează asupra unui [[spațiu euclidian]] finit-dimensional. Proprietățile grupurilor finite pot juca astfel un rol în domenii precum [[Fizică teoretică|fizica]] și [[Chimie|chimia]] [[Fizică teoretică|teoretică]].

=== Reprezentarea grupurilor ===
A spune că un grup ''G'' ''{{Ill-wd|Q288465|3=acționează}}'' asupra unei mulțimi ''X'' înseamnă că orice element din ''G'' definește o aplicație bijectivă pe mulțimea ''X'' într-un mod compatibil cu structura grupului. Când ''X'' are mai multă structură, este util să se restricționeze mai mult această noțiune: o reprezentare a lui ''G'' pe un [[spațiu vectorial]] ''V'' este un [[Morfism de grupuri|omomorfism de grup]]: 

: <math>\rho \colon G \rightarrow \operatorname{GL}(V),</math> 

unde {{Ill-wd|Q524607|3=GL}}(''V'') constă din [[Transformare liniară|transformările liniare]] inversabile ale lui ''V.'' Cu alte cuvinte, fiecărui element din grupul ''g'' i se atribuie un [[automorfism]] ''ρ''(''g'') astfel încât {{Nowrap|1=''ρ''(''g'') ∘ ''ρ''(''h'') = ''ρ''(''gh'')}} pentru orice ''h'' din ''G.'' 

Această definiție poate fi înțeleasă în două direcții, ambele generând întregi noi domenii ale matematicii.<ref group="lower-alpha"> Cum ar fi {{Ill-wd|Q1408937|3=coomologia de grup}} sau {{Ill-wd|Q17012383|3=K-teoria echivariantă}}.</ref> Pe de o parte, poate genera noi informații despre grupul ''G'': adesea, operația de grup din ''G'' este dată în mod abstract, dar prin ''ρ'', aceasta corespunde [[înmulțirea matricilor |înmulțirii matricilor]], care este foarte explicită.<ref group="lower-alpha">În special, dacă reprezentarea este {{Ill-wd|Q5431294|3=fidelă}}.</ref> Pe de altă parte, având în vedere un grup bine înțeles care acționează pe un obiect complicat, acest lucru simplifică studiul obiectului în cauză. De exemplu, dacă ''G'' este finit, {{Ill-wd|Q656198|3=se știe}} că ''V'' de mai sus se descompune în {{Ill-wd|Q13690522|3=părți ireductibile}}. Aceste părți, la rândul lor, sunt mult mai ușor de gestionat decât întregul ''V'' (conform {{Ill-wd|Q1816952|3=lemei lui Schur}} ). 

Dat fiind un grup ''G'', [[Teoria reprezentării|teoria reprezentării]] pune apoi întrebarea ce reprezentări ale lui ''G'' există. Există mai multe contexte, iar metodele utilizate și rezultatele obținute sunt destul de diferite în fiecare caz: {{Ill-wd|Q3526854|3=teoria reprezentării grupurilor finite}} și reprezentările [[Grup Lie|grupurilor Lie]] sunt două subdomenii principale ale teoriei. Totalitatea reprezentărilor este guvernată de {{Ill-wd|Q600043|3=caracterele}} grupului. De exemplu, [[Serie Fourier|polinoamele Fourier]] pot fi interpretate drept caracterele lui U(1), grupul  [[Număr complex|numerelor complexe]] de [[Modul|valoare absolută]] ''1'', care acționează asupra [[Funcții p-sumabile și funcții local p-sumabile|''L<sup>2</sup>'']]-spațiului funcțiilor periodice.

=== Teoria Lie ===
{{Main|Grup Lie}}
Un [[grup Lie]] este un [[Grup (matematică)|grup]] care este și {{Ill-wd|Q3552958|3=varietate diferențiabilă}}, cu proprietatea că operațiunile grupului sunt compatibile cu {{Ill-wd|Q1957365|3=structura lui netedă}}. Grupurile Lie sunt numite după [[Sophus Lie]], care a pus bazele teoriei [[Grup de automorfisme|grupurilor de transformare]] continue. Termenul ''grupuri Lie'' a apărut pentru prima oară în franceză în 1893 în teza studentului lui Lie, [[Arthur Tresse]], la pagina 3.<ref>{{Citat revistă|nume=Arthur Tresse|an=1893|titlu=Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations|journal=Acta Mathematica|volum=18|pagini=1–88|doi=10.1007/bf02418270}}</ref> 

Grupurile Lie reprezintă teoria cea mai bine dezvoltată a [[Simetrie continuă|simetriei continue]] a [[Obiect matematic|obiectelor]] și [[Structură matematică|structurilor matematice]], ceea ce le face instrumente indispensabile pentru multe părți ale matematicii contemporane, precum și pentru [[Fizică teoretică|fizica teoretică]] modernă. Ele oferă un cadru natural pentru analiza simetriilor continue ale [[Ecuație diferențială|ecuațiilor diferențiale]] ({{Ill-wd|Q2383624|3=teoria diferențială Galois}}), în același mod în care {{Ill-wd|Q1412905|3=grupurile de permutare}} sunt folosite în [[teoria lui Galois]] pentru analiza simetriei discrete a [[Ecuație polinomială|ecuațiilor algebrice]]. O extindere a teoriei Galois în cazul grupurilor de simetrie continuă a fost una dintre motivațiile principale ale lui Lie. 

=== Teoria grupurilor combinatorice și geometrice ===
Grupurile pot fi descrise în moduri diferite. Grupurile finite pot fi descrise prin scrierea {{Ill-wd|Q1546924|3=tabelei grupului}} alcătuită din toate înmulțirile posibile {{Nowrap|''g'' • ''h''}}. O modalitate mai compactă de a defini un grup este prin ''generatori și relații'', numită și ''prezentarea'' unui grup. Dată fiind orice mulțime ''F'' de generatoare <math>\{g_i\}_{i \in I}</math>, {{Ill-wd|Q431078|3=grupul liber}} generat de ''F'' surjectează asupra grupului ''G.'' Nucleul acestei aplicații este numit subgrupul de relații generat de o submulțime ''D.'' Prezentarea este de obicei indicată prin <math>\langle F \mid D\rangle. </math> De exemplu, prezentarea de grup <math>\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle </math> descrie un grup care este izomorf cu <math>\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}. </math>Un șir constând din simbolurile generatorului și inversele lor se numește ''cuvânt''. 

{{Ill-wd|Q3526736|3=Teoria grupurilor combinatorice}} studiază grupurile din perspectiva generatorilor și a relațiilor.<ref>{{Harvnb|Schupp|Lyndon|2001}}</ref> Este deosebit de utilă atunci când ipotezele finitudinii sunt îndeplinite, de exemplu grupuri finit generate sau grupuri finit prezentate (adică relațiile sunt finite). Domeniul utilizează conexiunea cu [[Graf|grafurile]] prin {{Ill-wd|Q662830|3=grupurile lor fundamentale}}. De exemplu, se poate demonstra că orice subgrup al unui grup liber este liber. 

Există mai multe întrebări firești care decurg din prezentarea unui grup. ''{{Ill-wd|Q8034369|3=Problema cuvântului}}'' pune întrebarea dacă două cuvinte sunt în mod efectiv același element de grup. Prin relaționarea problemei cu [[Mașină Turing|mașinile Turing]], se poate arăta că, în general, nu există un [[algoritm]] care să rezolve această sarcină. O altă problemă insolubilă din punct de vedere algoritmic, în general, este {{Ill-wd|Q5611242|3=problema izomorfismelor de grup}}, care întreabă dacă două grupuri date de prezentări diferite sunt de fapt izomorfe. De exemplu, grupul cu prezentarea <math>\langle x,y \mid xyxyx = e \rangle, </math> este izomorf la grupul aditiv al numerelor întregi <math>\Z</math>, deși acest lucru poate să nu fie imediat evident.<ref group="lower-alpha">Scriind <math>z=xy</math>, rezultă <math>G \cong \langle z,y \mid z^3 = y\rangle \cong \langle z\rangle.</math></ref>
[[Fișier:Cayley_graph_of_F2.svg|dreapta|miniatura|Graful Cayley al lui &lang; x, y ∣ &rang;, grupul liber de rang 2. ]]
[[Teoria geometrică a grupurilor]] abordează aceste probleme dintr-un punct de vedere geometric, fie prin vizualizarea grupurilor ca obiecte geometrice, fie prin găsirea de obiecte geometrice potrivite asupra cărora acționează un grup.<ref>{{Harvnb|La Harpe|2000}}</ref> Prima idee este precizată prin intermediul {{Ill-wd|Q859174|3=grafului Cayley}}, ale cărui noduri corespund elementelor grupului și ale cărui muchii corespund înmulțirilor corecte din grup. Date fiind două elemente, se construiește {{Ill-wd|Q4423782|3=metrica de cuvânt}} dată de lungimea căii minime dintre elemente. O teoremă a lui [[John Milnor|Milnor]] și a Svarc spune apoi că, dat fiind un grup ''G'' care acționează într-o manieră rezonabilă asupra unui [[spațiu metric]] ''X'', de exemplu o {{Ill-wd|Q1517914|3=varietate compactă}}, atunci ''G'' este {{Ill-wd|Q614527|3=cvasi-izometric}} (adică pare similar de la distanță) cu spațiul ''X.''

== Legătura între grupuri și simetrie ==
Dat fiind un obiect structurat ''X'' de orice fel, o [[simetrie]] este o aplicație definită pe obiect cu valori în el însuși, care-i păstrează structura. Aceasta se întâmplă în multe cazuri, de exemplu 

# Dacă ''X'' este o mulțime fără structură suplimentară, o simetrie este o aplicație [[Corespondență biunivocă|bijectivă]] definită pe mulțime cu valori în ea însăși, dând naștere unor {{Ill-wd|Q1412905|3=grupuri de permutări}}. 
# Dacă obiectul ''X'' este o mulțime de puncte în plan cu structura sa [[metrică]] sau în orice alt [[spațiu metric]], o simetrie este o [[Corespondență biunivocă|bijecție]] între mulțime și ea însăși, care păstrează distanța între fiecare pereche de puncte (o [[izometrie]]). Grupul corespunzător se numește [[Grup de izometrie|grupul izometric]] al lui ''X.'' 
# Dacă se păstrează [[Unghi|unghiurile]], se vorbește de [[Transformare conformă|transformări conforme]]. Transformări conforme dau naștere unor {{Ill-wd|Q4116484|3=grupuri kleiniene}}, de exemplu. 
# Simetria nu se limitează la obiecte geometrice, ci include și obiecte algebrice. De exemplu, ecuația {{Math|1=''x''<sup>2</sup>&minus;3 = 0}} are cele două soluții <math>\sqrt{3} </math> și <math>-\sqrt3</math>. În acest caz, grupul care schimbă cele două rădăcini între ele este {{Ill-wd|Q730384|3=grupul Galois}} aparținând ecuației. Orice ecuație polinomială cu o singură variabilă are un grup Galois, care este un anumit grup de permutare pe rădăcinile sale. 

Axiomele unui grup formalizează aspectele esențiale ale [[Simetrie|simetriei]]. Simetriile formează un grup: sunt [[Închidere (matematică)|închise]], deoarece dacă se ia o simetrie a unui obiect și apoi se aplică o altă simetrie, rezultatul va fi tot o simetrie. Identitatea care păstrează obiectul fix este întotdeauna o simetrie a unui obiect. Existența inverselor este garantată prin anularea simetriei, iar [[asociativitate]]a rezultă din faptul că simetriile sunt funcții pe un spațiu, iar compoziția funcțiilor este asociativă. 

{{Ill-wd|Q1424481|3=Teorema lui Frucht}} spune că orice grup este grupul de simetrie al unui [[graf]]. Deci, orice grup abstract este de fapt simetria unui obiect explicit. 

Sintagma „conservarea structurii” unui obiect poate fi precizată prin lucrul cu o [[Categorie (matematică)|categorie]]. Aplicațiile care păstrează structura sunt atunci [[Morfism|morfismele]], iar grupul de simetrie este [[grup de automorfisme|grupul de automorfisme]] al obiectului în cauză.

== Aplicații ale teoriei grupurilor ==
Aplicațiile teoriei grupurilor abundă. Aproape toate structurile din [[Algebră abstractă|algebra abstractă]] sunt cazuri speciale de grupuri. [[Inel (matematică)|Inelele]], de exemplu, pot fi văzute ca [[Grup abelian|grupuri abeliene]] (corespunzătoare adunării) împreună cu o a doua operație (corespunzătoare înmulțirii). Prin urmare, argumentele teoretice de grup subliniază părți importante ale teoriei acestor entități. 

=== Teoria lui Galois ===
[[Teoria lui Galois]] folosește grupuri pentru a descrie simetria rădăcinilor unui polinom (sau mai precis automorfismele algebrelor generate de aceste rădăcini). {{Ill-wd|Q766522|3=Teorema fundamentală a teoriei Galois}} oferă o legătură între [[extindere algebrică|extinderiile corpurilor algebrice]] și teoria grupurilor. Acesta oferă un criteriu eficient pentru rezolvabilitatea ecuațiilor polinomiale în termenii rezolvabilității {{Ill-wd|Q730384|3=grupului Galois}} corespunzător. De exemplu, ''S''<sub>5</sub>, {{Ill-wd|Q849512|3=grupul simetric}} de 5 elemente, nu este rezolvabil, ceea ce implică faptul că [[Funcție algebrică de gradul al cincilea|ecuațiile de gradul 5]] în general nu pot fi rezolvată prin radicali în felul în care pot fi rezolvate ecuațiile de grad inferior. Teoria, fiind una dintre rădăcinile istorice ale teoriei grupurilor, este încă utilizată în mod fructuos pentru a genera noi rezultate în domenii precum {{Ill-wd|Q1744580|3=teoria corpurilor de clase}}.

=== Topologia algebrică ===
{{Ill-wd|Q212803|3=Topologia algebrică}} este un alt domeniu care [[Functor|asociază]] proeminent grupurile cu obiecte de care este interesată teoria. Acolo, grupurile sunt folosite pentru a descrie anumiți invarianți ai [[Spațiu topologic|spațiilor topologice]]. Ei sunt numiți „invarianți” deoarece sunt definiți astfel încât să nu se schimbe dacă spațiul este supus unor {{Ill-wd|Q202906|3=deformări}}. De exemplu, {{Ill-wd|Q662830|3=grupul fundamental}} „numără” câte căi prin spațiu sunt în esență diferite. [[Conjectura lui Poincaré|Conjectura Poincaré]], demonstrată în 2002/2003 de [[Grigori Perelman]], este o cunoscută aplicație a acestei idei. Influența nu este însă unidirecțională. De exemplu, topologia algebrică utilizează {{Ill-wd|Q5349490|3=spațiile Eilenberg-MacLane}} care sunt spații cu {{Ill-wd|Q1626416|3=grupuri de homotopie}} prescrise. Similar, {{Ill-wd|Q2553675|3=K-teoria algebrică}} se bazează într-un fel pe {{Ill-wd|Q5128445|3=spațiile de clasificări}} ale grupuri. În cele din urmă, numele {{Ill-wd|Q2293759|3=subgrupului de torsiune}} al unui grup infinit evidențiază moștenirea topologiei din teoria grupurilor. 
[[Fișier:Torus.png|dreapta|miniatura|200x200px| Un tor. Structura grupului său abelian este indusă din aplicația {{Nowrap|'''C''' → '''C'''/'''Z''' + ''τ'''''Z'''}}, unde ''τ'' este un parametru din [[semiplanul superior]]. ]]
[[Fișier:Caesar3.svg|stanga|miniatura|150x150px| {{Ill-wd|Q245462|3=Grupul ciclic}} '''Z'''<sub>26</sub> stă la baza [[Cifrul Cezar|cifrului lui Cezar]]. ]]

=== Geometria algebrică și criptografia ===
[[Geometrie algebrică|Geometria algebrică]] și [[Criptografie|criptografia]] utilizează și ele teoria grupurilor în mai multe moduri. {{Ill-wd|Q318751|3=Varietățile abeliene}} au fost introduse mai sus. Prezența operației de grup oferă informații suplimentare care fac aceste varietăți deosebit de accesibile. De asemenea, ele servesc de multe ori ca test pentru noi conjecturi.<ref group="lower-alpha">De exemplu, {{Ill-wd|Q1143138|3=ipoteza lui Hodge}} (în anumite cazuri).</ref> Cazul [[unidimensional]], și anume [[Curbe eliptice|curbele eliptice,]] este studiat în detaliu. Ele sunt interesante atât din punct de vedere teoretic, cât și practic.<ref group="lower-alpha">Vezi {{Ill-wd|Q527863|3=conjecturile lui Birch și Swinnerton-Dyer}}, una dintre {{Ill-wd|Q727000|3=problemele mileniului}}</ref> Grupurile foarte mari de prim ordin construite în {{Ill-wd|Q1048911|3=criptografia cu curbe eliptice}} servesc în [[Criptografie asimetrică|criptografia cu chei publice]]. Metodele criptografice de acest fel beneficiază de flexibilitatea obiectelor geometrice, de aici structurile lor de grup, împreună cu structura complicată a acestor grupuri, care fac ca [[Logaritm discret|logaritmul discret]] să fie foarte greu de calculat. Unul dintre cele mai vechi protocoale de criptare, [[Cifrul Cezar|cifrul lui Caesar]], poate fi de asemenea interpretat ca o operație (foarte ușoară) de grup. În altă direcție, {{Ill-wd|Q1528306|3=varietățile torice}} sunt {{Ill-wd|Q648995|3=varietăți algebrice}} care acționează pe un [[tor]]. Inserțiile toroidale au condus recent la progrese în [[Geometrie algebrică|geometria algebrică]], în special la {{Ill-wd|Q10942247|3=rezolvarea singularităților}}. <ref>{{Citation|last=Abramovich|first=Dan|title=Torification and factorization of birational maps|work={{Ill-wd|Q2404489}}|volume=15|issue=3|pages=531–572|year=2002|arxiv=math/9904135|doi=10.1090/S0894-0347-02-00396-X|mr=1896232|last2=Karu|first2=Kalle|last3=Matsuki|first3=Kenji|last4=Wlodarczyk|first4=Jaroslaw}}</ref>

=== Teoria algebrică a numerelor ===
{{Ill-wd|Q613048|3=Teoria algebrică a numerelor}} este un caz special al teoriei grupurilor, urmând astfel regulile acesteia din urmă. De exemplu, {{Ill-wd|Q1194667|3=formula lui Euler}} 

:<math>
\begin{align}
\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}& = \prod_{p \text{ primi}} \frac{1}{1-p^{-s}} \\
\end{align}
\!</math>

surprinde [[Teorema fundamentală a aritmeticii|faptul]] că orice număr întreg se descompune într-un mod unic în [[Număr prim|factori primi]]. Nevalabilitatea acestei afirmații pentru {{Ill-wd|Q254347|3=inelele mai generale}} dă naștere {{Ill-wd|Q912083|3=grupurilor de clase}} și [[Criteriul Kummer|numerelor prime regulate]], care apar în tratarea de către [[Ernst Kummer|Kummer]] a [[Marea teoremă a lui Fermat|ultimei teoreme a lui Fermat]]. 

=== Analiza armonică ===
Analiza grupurilor Lie și a altor grupuri se numește [[analiză armonică]]. {{Ill-wd|Q1162676|3=Măsurile Haar}}, adică integrale invariante în raport cu translația într-un grup Lie, sunt folosite pentru {{Ill-wd|Q378859|3=recunoașterea formelor}} și în alte tehnici de {{Ill-wd|Q1070689|3=procesare a imaginilor}}.<ref>{{Citation|last=Lenz|first=Reiner|title=Group theoretical methods in image processing|url=http://webstaff.itn.liu.se/~reile/LNCS413/index.htm|volume=413|year=1990|series=Lecture Notes in Computer Science|place=Berlin, New York|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|doi=10.1007/3-540-52290-5|isbn=978-0-387-52290-6|access-date=2019-04-24|archive-date=2020-10-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20201025100329/http://webstaff.itn.liu.se/~reile/LNCS413/index.htm|dead-url=yes}}</ref> 

=== Combinatorică ===
În [[Combinatorică|combinatorie]], noțiunea de grup de [[permutare]] și conceptul de acțiune de grup sunt adesea folosite pentru a simplifica numărarea unei mulțimi de obiecte; vezi în special [[lema lui Burnside]]. 
[[Fișier:Fifths.png|dreapta|miniatura|163x163px| Cercul cincimilor poate fi înzestrat cu o structură de grup ciclică ]]

=== Muzică ===
Prezența {{Ill-wd|Q1551033|3=periodicității}} de 12 în [[Ciclul cincimilor|cercul cincimilor]] oferă aplicații ale [[Grup (matematică)|teoriei grupurilor elementare]] în {{Ill-wd|Q7456314|3=teoria mulțimilor muzicale}}. 

=== Fizică ===
În [[fizică]], grupurile sunt importante deoarece descriu simetria pe care legile fizicii par să o respecte. Conform {{Ill-wd|Q578555|3=teoremei lui Noether}}, fiecare simetrie continuă a unui sistem fizic corespunde unei [[Lege de conservare|legi de conservare]] a sistemului. Fizicienii sunt foarte interesați de reprezentările de grup, în special de grupurile Lie, deoarece aceste reprezentări indică adesea calea către „posibilele” teorii fizice. Exemple de utilizare a grupurilor în fizică sunt [[modelul standard]], [[teoria gauge]], {{Ill-wd|Q1334417|3=grupul Lorentz}} și [[Grup Poincaré|grupul Poincaré]]. 

=== Chimie și știința materialelor ===
În [[chimie]] și [[știința materialelor]], grupurile sunt folosite pentru a clasifica [[Structură cristalină|structurile cristaline]], poliedrele regulate și [[Simetrie moleculară|simetriile moleculelor]]. Grupele de puncte atribuite pot fi apoi utilizate pentru a determina proprietățile fizice (cum ar fi [[Polaritate (chimie)|polaritatea]] și [[Chiralitate (chimie)|chiralitatea]] substanțelor chimice), proprietățile spectroscopice (deosebit de utile pentru [[Spectroscopie Raman|spectroscopia Raman]], [[Spectroscopie în infraroșu|spectroscopia în infraroșu]], [[Spectroscopie în infraroșu|spectroscopia]] cu dicroism circular, spectroscopia cu dicroism circular magnetic, spectroscopia UV/Vis și spectroscopia cu fluorescență) și pentru a construi [[Orbital molecular|orbitali moleculari]]. 

Simetria moleculară este responsabilă pentru multe proprietăți fizice și spectroscopice ale compușilor și oferă informații relevante despre modul în care au loc reacțiile chimice. Pentru a atribui un grup de puncte unei anumite molecule, este necesar să se găsească mulțimea de [[operație de simetrie|operații de simetrie]] prezente pe ea. Operația de simetrie este o acțiune, cum ar fi o [[rotație (matematică)|rotație]] în jurul unei axe sau o [[reflexie (matematică)|reflexie]] față de un plan. Cu alte cuvinte, este o operație care mută molecula astfel încât să nu se distingă de configurația inițială. În teoria grupurilor, axele de rotație și planele de reflexie sunt numite „elemente de simetrie”. Aceste elemente pot fi un punct, o dreaptă sau un plan în raport cu care se efectuează operația de simetrie. Operațiile de simetrie ale unei molecule determină grupul specific de puncte pentru această moleculă. 
[[Fișier:Miri2.jpg|miniatura|100x100px| Molecula de apă cu axa ei de simetrie ]]
În [[chimie]], există cinci operații importante de simetrie. Operația de identitate (E) constă în lăsarea moleculei așa cum este ea. Aceasta este echivalentă cu orice număr de rotații complete în jurul oricărei axe. Aceasta este o simetrie a tuturor moleculelor, în timp ce grupul de simetrie al unei molecule [[chiralitate (chimie)|chirale]] constă doar în operațiunea de identitate. Rotația în jurul unei axe (''C<sub>n</sub>'') constă în rotirea moleculei în jurul unei anumite axe cu un anume unghi. De exemplu, dacă o moleculă de [[apă]] se rotește la 180 ° în jurul axei care trece prin atomul de [[oxigen]] și printre atomii de hidrogen, aceasta se află în aceeași configurație ca cea inițiată. În acest caz, {{Nowrap|1=''n'' = 2}}, deoarece aplicarea ei de două ori produce operația de identitate. Alte operații de simetrie sunt: reflexia, inversiunea și [[rotație improprie|rotația improprie]] (rotație urmată de reflexie).<ref>{{Citat carte|nume=Shriver|prenume=Duward|nume2=Atkins|prenume2=Peter|dată=2009|titlu=Inorganic Chemistry|ediție=5th|editură=Freeman, W.H. & Company|isbn=9781429218207}}</ref>

=== Mecanica statistică ===
Teoria grupurilor poate fi utilizată pentru a rezolva incompletitudinea interpretărilor statistice ale mecanicii dezvoltate de [[Josiah Willard Gibbs|Willard Gibbs]], referitoare la însumarea unui număr infinit de probabilități pentru a obține o soluție semnificativă.<ref>[[Norbert Wiener]], Cybernetics: Or Control and Communication in the Animal and the Machine, {{ISBN|978-0262730099}}, Ch 2</ref> 

== Istorie ==
Teoria grupurilor are trei principale surse istorice: [[teoria numerelor]], teoria [[Ecuație polinomială|ecuațiilor algebrice]] și [[Geometrie|geometria]]. Linia de studiu pornită de teoria numerelor a fost începută de [[Leonhard Euler]] și dezvoltată de lucrările lui [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] în domeniul grupurilor {{Ill-wd|Q319400|3=modulare aritmetice}} și grupurilor aditive și multiplicative legate de {{Ill-wd|Q625519|3=corpurile pătratice}}. Primele rezultate despre {{Ill-wd|Q1412905|3=grupurile de permutare}} au fost obținute de [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]], [[Paolo Ruffini|Ruffini]] și [[Niels Henrik Abel|Abel]] în căutarea soluțiilor generale ale ecuațiilor polinomiale de grad mare. Termenul de „grup” este datorat lui [[Évariste Galois]] (1830). El a stabilit o legătură, acum cunoscută sub numele de [[Teoria lui Galois|teoria Galois]], între teoria grupurilor și [[Corp (matematică)|teoria corpurilor]]. În geometrie, grupurile au devenit mai întâi importante în [[Geometrie proiectivă|geometria proiectivă]] și, ulterior, în [[Geometrii neeuclidiene|geometria neeuclidiană]]. {{Ill-wd|Q315296|3=Programul Erlangen}} al lui [[Felix Klein]] a proclamat teoria grupurilor ca fiind principiul organizator al geometriei. 

În anii 1830, [[Évariste Galois|Galois]] a fost primul care a folosit grupurile de permutări studiate de [[Augustin Louis Cauchy]] (1815)<ref> N. Mihăileanu, ''Istoria matematicii'', volumul  II, p.211</ref> pentru a determina rezolvabilitatea [[Ecuație polinomială|ecuațiilor polinomiale]]. [[Arthur Cayley]] a continuat aceste cercetări în teoria {{Ill-wd|Q1412905|3=grupurilor de permutări}}. Cea de-a doua sursă istorică pentru grupuri provine din situațiile [[Geometrie|geometrice]]. Într-o încercare de a aborda geometriile posibile (cum ar fi geometria [[Geometrie euclidiană|euclidiană]], [[Geometrie hiperbolică|hiperbolică]] sau [[Geometrie proiectivă|proiectivă]]) folosind teoria grupurilor, [[Felix Klein]] a inițiat {{Ill-wd|Q315296|3=programul Erlangen}}. În 1884, [[Sophus Lie]] a început să folosească grupuri (acum numite [[Grup Lie|grupuri Lie]]) atașate problemelor [[Analiza matematică|analitice]]. În al treilea rând, grupurile au fost, la început implicit și ulterior explicit, utilizate în {{Ill-wd|Q613048|3=teoria algebrică a numerelor}}. 

Sfera diferită a acestor surse timpurii a dus la noțiuni diferite despre grupuri. Teoria grupurilor a fost unificată începând din jurul anului 1880. De atunci, impactul teoriei grupurilor a fost în continuă creștere, dând naștere la [[Algebră abstractă|algebra abstractă]] la începutul secolului al XX-lea, [[Teoria reprezentării|teoria reprezentării]] și multor domenii derivate mai influente. [[Clasificarea grupurilor simple finite]] este un vast corp de lucru de la mijlocul secolului al XX-lea, care a realizat clasificarea tuturor [[Grup simplu|grupurilor simple]] [[Mulțime finită|finite]].

== Note de completare ==
{{Reflist|group=lower-alpha}}

== Note bibliografice ==
<references />

== Bibliografie ==

* {{Citation|last=Borel|first=Armand|title=Linear algebraic groups|volume=126|year=1991|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|edition=2nd|place=Berlin, New York|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|doi=10.1007/978-1-4612-0941-6|isbn=978-0-387-97370-8|mr=1102012|author-link=Armand Borel}}  
* {{Citation|last=Carter|first=Nathan C.|title=Visual group theory|url=http://web.bentley.edu/empl/c/ncarter/vgt/|year=2009|series=Classroom Resource Materials Series|publisher=[[Mathematical Association of America]]|isbn=978-0-88385-757-1|mr=2504193}} <bdi> </bdi> 
* {{Citation|last=Cannon|first=John J.|title=Computers in group theory: A survey|work=Communications of the ACM|volume=12|pages=3–12|year=1969|doi=10.1145/362835.362837|mr=0290613}} 
* {{Citation|last=Frucht|first=R.|title=Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe|url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0|work=Compositio Mathematica|volume=6|pages=239–50|df=|year=1939|archive-url=https://web.archive.org/web/20081201083831/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0|dead-url=yes|issn=0010-437X|archive-date=2008-12-01}} 
* {{Citation|last=Golubitsky|first=Martin|title=Nonlinear dynamics of networks: the groupoid formalism|work=Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)|volume=43|issue=03|pages=305–364|year=2006|doi=10.1090/S0273-0979-06-01108-6|mr=2223010|last2=Stewart|first2=Ian|author-link=Ian Stewart (mathematician)}}  Prezintă avantajul generalizării de la grup la {{Ill-wd|Q1196038|3=grupoid}}. 
* {{Citation|last=Judson|first=Thomas W.|title=Abstract Algebra: Theory and Applications|url=http://abstract.ups.edu|year=1997}}  Un text introductiv pentru studenții ciclului de licență în spiritul textelor lui Gallian sau Herstein, care acoperă grupurile, inelele, domeniile integrale, corpurile și teoria lui Galois. Se poate descărca gratuit un PDF cu licență [[Licența GNU pentru Documentație Liberă|GFDL]] open-source. 
* {{Citation|last=Kleiner|first=Israel|title=The evolution of group theory: a brief survey|work={{Ill-wd|Q3298519}}|volume=59|issue=4|pages=195–215|year=1986|doi=10.2307/2690312|issn=0025-570X|jstor=2690312|mr=863090}} 
* {{Citation|last=La Harpe|first=Pierre de|title=Topics in geometric group theory|year=2000|publisher={{Ill-wd|Q1814982}}|isbn=978-0-226-31721-2}} <bdi>  </bdi>
* {{Citation|last=Livio, M.|title=The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry|year=2005|publisher=Simon & Schuster|isbn=0-7432-5820-7|author-link=Mario Livio}} <bdi> </bdi>Transmite valoarea practică a teoriei grupurilor prin explicarea modului în care aceasta indică [[Simetrie|simetria]] în [[fizică]] și în alte științe. 
* {{Citation|last=Mumford|first=David|title=Abelian varieties|year=1970|publisher=[[Oxford University Press]]|isbn=978-0-19-560528-0|oclc=138290|author-link=David Mumford}} <bdi>  </bdi>  
* Ronan M., 2006. ''Simetria și monstrul'' . Presa Universitatii Oxford. {{ISBN|0-19-280722-6}}. Pentru cititorii nespecialiști. Descrie activitatea de căutare a blocurilor de bază pentru grupurile finite. 
* {{Citation|last=Rotman, Joseph|title=An introduction to the theory of groups|year=1994|place=New York|publisher=Springer-Verlag|isbn=0-387-94285-8}} Lucrare de referință standard contemporană. 
* {{Citation|last=Schupp|first=Paul E.|title=Combinatorial group theory|year=2001|place=Berlin, New York|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|isbn=978-3-540-41158-1|last2=Lyndon|first2=Roger C.|author-link=Paul Schupp|author-link2=Roger Lyndon}} <bdi>  </bdi>
* {{Citation|last=Scott, W. R.|title=Group Theory|year=1987|orig-year=1964|place=New York|publisher=Dover|isbn=0-486-65377-3}} <bdi>  </bdi> Ieftină și destul de citibilă, dar oarecum învechită în accent, stil și notație. 
* {{Citation|last=Shatz|first=Stephen S.|title=Profinite groups, arithmetic, and geometry|year=1972|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-08017-8|mr=0347778}} <bdi>  </bdi>  
* {{Weibel IHA}}
{{Portal|Matematică}}
{{Matematică}}

[[Categorie:Teoria grupurilor]]