Vizualizare sursă pentru „Teoria gauge”

{{referințe|date=iulie 2024}}
{{Hatnote|Acest articol discută despre fizica teoriilor gauge. Pentru domeniul matematic al teoriei gauge, vezi [[Teoria gauge (matematică)]].}}
{{Format:Teoria cuantică a câmpurilor}}

'''Teoria gauge''' ('''teoria de calibrare''' sau '''teoria de recalibrare''') este un tip de [[Câmp (fizică)|teorie a câmpului]] în care [[lagrangian|Lagrangianul]] – și implicit dinamica sistemului – rămâne nemodificat sub [[Simetrie (fizică)|transformări locale]] conform anumitor familii netede de operații ([[Grup Lie|grupuri Lie]]). Formal, Lagrangianul este [[invarianță|invariant]] sub aceste transformări.

Termenul ''gauge'' se referă la orice formalism matematic utilizat pentru a regla [[Grad de libertate|gradele de libertate redundante]] din Lagrangianul unui sistem fizic. Transformările dintre diferitele ''gauge''-uri se numesc ''transformări gauge'' și formează un grup Lie - numit ''[[grup de simetrie]]'' sau ''grup gauge'' al teoriei. Oricărui grup Lie îi este asociată [[algebră Lie|algebra Lie]] a [[sistem de generatori al unui grup|generatorilor grupului]]. Fiecărui generator îi corespunde un ''câmp gauge'' (de obicei, un [[câmp vectorial]]), inclus în Lagrangian pentru a asigura ''invarianța gauge'' – proprietatea prin care teoria rămâne invariabilă sub transformările locale ale grupului. La [[Cuantificare canonică|cuantificare]], [[Cuantă|cuantele]] câmpurilor gauge se numesc ''[[Boson gauge|bosoni gauge]]''. Dacă grupul de simetrie este necomutativ, teoria se numește ''teorie gauge [[Grup non-abelian|non-abeliană]]'', un exemplu clasic fiind [[Teoria Yang–Mills|teoria Yang-Mills]].

Multe teorii fizice sunt descrise de [[lagrangian|Lagrangieni]] [[invarianță|invarianți]] sub anumite grupuri de transformări de simetrie. Dacă invarianța se aplică unei transformări identice în ''fiecare'' [[Punct (geometrie)|punct]] din [[spațiu-timp]], se spune că teoria are o [[Simetrie (fizică)|simetrie globală]]. În schimb, [[Simetrie (fizică)|simetria locală]] – piatra de temelie a teoriilor gauge – este o constrângere mai puternică. O simetrie globală poate fi văzută ca un caz particular al unei simetrii locale, în care parametrii grupului sunt fixați în spațiu-timp (așa cum o valoare constantă poate fi interpretată drept o funcție care produce același rezultat pentru orice parametru).

Teoriile gauge sunt esențiale pentru descrierea interacțiunilor fundamentale din [[Fizica particulelor elementare|fizica particulelor]]. De exemplu:

* [[Electrodinamică cuantică|Electrodinamica cuantică]] (''Quantum Electrodynamics – QED'') este o teorie gauge [[Grup abelian|abeliană]] cu grupul de simetrie [[grup unitar|U(1)]] și un singur câmp gauge, [[Cu patru potențial electromagnetic|potențialul electromagnetic cu patru componente]]. Bosonul gauge asociat este [[Foton|fotonul]]. 

* [[Modelul standard]] al particulelor elementare este o teorie gauge non-abeliană cu grupul de simetrie U(1) × [[Grup unitar special|SU(2)]] × [[Grup unitar special|SU(3)]], având în total 12 bosoni gauge: [[Foton|fotonul]], trei [[Boson slab|bosoni slabi]] și opt [[Gluon|gluoni]].

Teoriile gauge joacă, de asemenea, un rol important în descrierea [[Gravitație|gravitației]], în special în teoria [[Teoria relativității generale|relativității generale]]. Totuși, gravitația este un caz special, deoarece câmpul gauge corespunzător este un tensor – [[tensorul Lanczos]]. În teoriile [[Gravitație cuantică|gravitației cuantice]], cum ar fi [[teoria gravitației gauge]] (în {{Lang-en|gauge gravitation theory}}), se postulează existența unui boson gauge numit [[graviton]]. Simetriile gauge pot fi interpretate ca analogii ale [[Principiul covarianței generale|principiului covarianței generale]] din relativitatea generală, prin care sistemul de coordonate poate fi ales liber, sub [[Difeomorfism|difeomorfisme]] arbitrare ale spațiu-timpului. Ambele tipuri de invarianță (gauge și față de difeomorfisme) reflectă redundanța în descrierea sistemului. 

O abordare alternativă este [[teoria gravitației în formulare gauge]] (în {{Lang-en|gauge theory gravity}}), care înlocuiește principiul covarianței generale cu un principiu gauge autentic, introducând noi câmpuri gauge.

Aceste concepte au fost formulate pentru prima dată în contextul [[Electrodinamică|electromagnetismului clasic]] și ulterior în [[Teoria relativității generale|relativitatea generală]]. Totuși, semnificația modernă a simetriilor gauge a apărut inițial în [[mecanica cuantică relativistă]] a [[Electron|electronilor]], în cadrul [[Electrodinamică cuantică|electrodinamicii cuantice]] (''QED''). Astăzi, teoriile gauge sunt utilizate nu doar în [[Fizica particulelor elementare|fizica energiilor înalte]], ci și în [[fizica materiei condensate]], [[Fizică nucleară|fizica nucleară]] și alte domenii.

== Istoric ==
Conceptul și numele de teorie gauge derivă din lucrarea lui [[Hermann Weyl]] în 1918.<ref name="Brading">{{Citat revistă|nume=Brading|prenume=Katherine|an=1941|titlu=Which Symmetry? Noether, Weyl, and Conservation of Electric Charge|url=https://citeseerx.ist.psu.edu/document?repid=rep1&type=pdf&doi=1c6e78e69b177018a8b3013b69d8fe5fb109c1b7|journal=Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics|volum=33|număr=1|pagini=3–22|bibcode=2002SHPMP..33....3B|doi=10.1016/S1355-2198(01)00033-8}}</ref> Weyl, într-o încercare de a generaliza ideile geometrice ale [[Teoria relativității generale|relativității generale]] pentru a include [[Electromagnetism|electromagnetismul]], a presupus că ''Eichinvarianz'' sau invarianța sub schimbarea de [[Scară a valorilor mărimii|scară]] (sau „gauge”) ar putea fi, de asemenea, o simetrie locală a relativității generale. După dezvoltarea [[Mecanică cuantică|mecanicii cuantice]], Weyl, [[Vladimir Aleksandrovici Fock|Vladimir Fock]]<ref>{{Citat revistă|nume=Jackson|nume2=Okun|prenume=J. D.|prenume2=L. B.|dată=2001-09-14|titlu=Historical roots of gauge invariance|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.73.663|journal=Reviews of Modern Physics|volum=73|număr=3|pagini=663–680|language=en|issn=0034-6861|doi=10.1103/RevModPhys.73.663|quote=The discovery of the symmetry under gauge transformations (1 a,b,c) of the quantum mechanical system of a charged particle interacting with electromagnetic fields is due to Fock (1926b)}}</ref> și [[Fritz Londra|Fritz London]] au înlocuit factorul simplu de scară cu o cantitate [[Număr complex|complexă]] și au transformat transformarea de scară într-o schimbare de [[fază]], care este o simetrie gauge U(1). Acest lucru a explicat efectul [[Câmp electromagnetic|câmpului electromagnetic]] asupra [[Funcție de undă|funcției de undă]] a unei [[Particulă elementară|particule]] cuantice [[Sarcină electrică|încărcate]]. Lucrarea lui Weyl din 1929 a introdus conceptul modern de invarianță gauge,<ref name="O’Raifeartaigh">{{Citat revistă|nume=O’Raifeartaigh|nume2=Straumann|prenume=Lochlainn|prenume2=Norbert|dată=2000-01-01|titlu=Gauge theory: Historical origins and some modern developments|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.72.1|journal=Reviews of Modern Physics|volum=72|număr=1|pagini=1–23|language=en|issn=0034-6861|doi=10.1103/RevModPhys.72.1}}</ref> ulterior popularizat de [[Wolfgang Pauli|Pauli]] în recenzia sa din 1941.<ref>{{Citat revistă|nume=Pauli|prenume=Wolfgang|legătură-autor=Wolfgang Pauli|an=1941|titlu=Relativistic Field Theories of Elementary Particles|url=http://prola.aps.org/abstract/RMP/v13/i3/p203_1|journal=Rev. Mod. Phys.|volum=13|număr=3|pagini=203–32|bibcode=1941RvMP...13..203P|doi=10.1103/revmodphys.13.203}}</ref> Retrospectiv, formularea lui [[James Clerk Maxwell|Maxwell]] din 1864–65, a [[Electrodinamică|electrodinamicii]] („[[O teorie dinamica a câmpului electromagnetic|O teorie dinamică a câmpului electromagnetic]]”) a sugerat posibilitatea invarianței atunci când a afirmat că orice câmp vectorial a cărui rotire dispare — și poate fi, prin urmare, exprimat ca [[gradient]] al unei funcții — ar putea fi adăugat potențialului vectorial fără a afecta [[Câmp magnetic|câmpul magnetic]]. În mod similar, [[David Hilbert|Hilbert]] derivase [[ecuațiile lui Einstein]] postulând invarianța [[Acțiune (fizică)|acțiunii]] sub o transformare generală a coordonatelor. Importanța acestor invarianțe de simetrie a rămas neobservată până la lucrarea lui Weyl.

Inspirat de descrierile lui Pauli despre legătura dintre conservarea sarcinii și teoria câmpului determinată de invarianță, [[Chen Ning Yang]] a căutat o teorie a câmpului pentru legarea [[Nucleu atomic|nucleelor atomice]], bazată pe conservarea [[izospin|izospinului]] nuclear.<ref name="Baggott40">{{Citat carte|nume=Baggott|prenume=J. E.|titlu=The quantum story: a history in 40 moments|dată=2013|editură=Oxford Univ. Press|isbn=978-0-19-956684-6|ediție=Impression: 3|locul-publicării=Oxford}}</ref>{{Rp|202}} În 1954, Yang și [[Robert Mills (fizician)|Robert Mills]] au generalizat invarianța gauge a electromagnetismului, construind o teorie bazată pe acțiunea [[Grup (matematică)|grupului]] de simetrie (non-abelian) SU(2) asupra dubletului de [[izospin]] al [[Proton|protonilor]] și [[Neutron|neutronilor]].<ref>{{Citat revistă|nume=Yang C. N., Mills R. L.|an=1954|titlu=Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance|journal=[[Phys. Rev.]]|volum=96|număr=1|pagini=191–195|bibcode=1954PhRv...96..191Y|doi=10.1103/PhysRev.96.191}}</ref> Aceasta este similară cu acțiunea grupului [[grupul cercului|U(1)]] asupra [[Câmp (fizică)|câmpurilor]] [[Spinor|spinoriale]] din [[Electrodinamică cuantică|electrodinamica cuantică]].

[[Teoria Yang-Mills]] a devenit teoria prototip pentru rezolvarea unor aspecte majore din confuzia legată de [[fizica particulelor elementare]]. Această idee și-a găsit ulterior aplicarea în [[teoria cuantică a câmpurilor|teoria cuantică a câmpului]] [[Interacțiune slabă|forței slabe]] și în unificarea sa cu electromagnetismul în teoria [[Interacțiunea electroslabă|electroslabă]]. Teoriile gauge au devenit și mai atractive atunci când s-a realizat că teoriile gauge non-abeliene reproduceau o caracteristică numită [[libertate asimptotică]]. Libertatea asimptotică era considerată o trăsătură importantă a interacțiunilor tari. Acest lucru a motivat căutarea unei teorii gauge pentru forța tare. Această teorie, cunoscută acum sub numele de [[cromodinamică cuantică]], este o teorie gauge cu acțiunea grupului SU(3) asupra tripletului [[Sarcină de culoare|de culoare]] al [[Quark|quarcurilor]]. [[Modelul standard]] unifică descrierea electromagnetismului, interacțiunilor slabe și interacțiunilor tari în limbajul teoriei gauge.

În anii 1970, [[Michael Atiyah]] a început să studieze matematica soluțiilor ecuațiilor Yang–Mills clasice. În 1983, studentul lui Atiyah, [[Simon Donaldson]], a dezvoltat această lucrare și a demonstrat că clasificarea [[varietate diferențiabilă|diferențiabilă]] a [[Varietate (geometrie)|varietăților]] [[funcție netedă|netede]] cvadridimensionale este foarte diferită de clasificarea lor [[până la]] [[homeomorfism]].<ref>{{Citat revistă|nume=Donaldson|prenume=Simon K.|an=1983|titlu=Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds|journal=[[Bull. Amer. Math. Soc.]]|volum=8|număr=1|pagini=81–83|doi=10.1090/S0273-0979-1983-15090-5}}</ref> [[Michael Freedman]] a folosit munca lui Donaldson pentru a descoperi [[Exotic R4|'''R'''<sup>4</sup> exotice]], adică [[structură diferențială|structuri diferențiabile exotice]] pe spațiul [[Spațiu euclidian|euclidian]] cvadridimensional. Acest lucru a condus la un interes crescând pentru teoria gauge de dragul său propriu, independent de succesele sale în fizica fundamentală. În 1994, [[Edward Witten]] și [[Nathan Seiberg]] au inventat tehnici de teorie gauge bazate pe [[supersimetrie]], care au permis calculul anumitor invarianți [[Topologie|topologici]]<ref>{{Citation|last=Seiberg|first=N.|title=Electric-magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory|volume=426|issue=1|pages=19–52|year=1994a|periodical=Nuclear Physics B|arxiv=hep-th/9407087|bibcode=1994NuPhB.426...19S|doi=10.1016/0550-3213(94)90124-4|mr=1293681|last2=Witten|first2=E.|author-link=Nathan Seiberg|author-link2=Edward Witten}}; {{Citation|title=Erratum|volume=430|issue=2|pages=485–486|year=1994|periodical=Nuclear Physics B|bibcode=1994NuPhB.430..485.|doi=10.1016/0550-3213(94)00449-8|mr=1303306}}</ref><ref>{{Citation|last=Seiberg|first=N.|title=Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in N=2 supersymmetric QCD|volume=431|issue=3|pages=484–550|year=1994b|periodical=Nuclear Physics B|arxiv=hep-th/9408099|bibcode=1994NuPhB.431..484S|doi=10.1016/0550-3213(94)90214-3|mr=1306869|last2=Witten|first2=E.|author-link=Nathan Seiberg|author-link2=Edward Witten}}</ref> ([[invariant Seiberg–Witten|invarianții Seiberg–Witten]]). Aceste contribuții matematice din teoria gauge au dus la un interes reînnoit în acest domeniu.

Importanța teoriilor gauge în fizică este exemplificată de succesul extraordinar al formalismului matematic în furnizarea unui cadru unificat pentru a descrie [[Teoria cuantică a câmpurilor|teoriile cuantice ale câmpurilor]] din [[electromagnetism]], [[Interacțiune slabă|forța slabă]] și [[Interacțiune tare|forța tare]]. Această teorie, cunoscută sub numele de [[modelul standard]], descrie cu exactitate predicțiile experimentale pentru trei dintre cele patru [[Interacțiune fundamentală|forțe fundamentale]] ale naturii și este o teorie gauge cu grupul gauge [[SU(3) × SU(2) × U(1)]]. Teori moderne precum [[teoria coardelor]], precum și [[Teoria relativității generale|relativitatea generală]], sunt, într-un fel sau altul, teorii gauge.

: ''Vezi Jackson și Okun''<ref name="JacksonOkun">
{{Citat revistă|nume=Jackson|nume2=Okun|prenume=JD|prenume2=LB|an=2001|titlu=Historical roots of gauge invariance|journal=Reviews of Modern Physics|volum=73|număr=3|pagini=663|bibcode=2001RvMP...73..663J|doi=10.1103/RevModPhys.73.663}}</ref> ''pentru istoria timpurie a conceptului gauge și Pickering''<ref name="Pickering">
{{Citat carte|nume=Pickering|prenume=A.|titlu=Constructing Quarks|editură=[[University of Chicago Press]]|an=1984|isbn=0-226-66799-5}}</ref> ''pentru detalii suplimentare despre istoria teoriei gauge și a teoriilor cuantice ale câmpurilor.''

== Descriere ==

=== Simetrii globale și locale ===

==== Simetrie globală ====
În [[fizică]], descrierea matematică a oricărei situații fizice conține de obicei [[Grad de libertate|grade de libertate]] suplimentare; aceeași situație fizică poate fi descrisă în mod egal prin multe configurații matematice echivalente. De exemplu, în [[dinamica newtoniană]], dacă două configurații sunt legate printr-o [[Transformarea galileană|transformare galileană]] (o schimbare [[Sistem de referință inerțial|inerțială]] a cadrului de referință), ele reprezintă aceeași situație fizică. Aceste transformări formează un [[Grup (matematică)|grup]] de „[[Simetrie (fizică)|simetrii]]” ale teoriei, iar o situație fizică corespunde nu unei configurații matematice individuale, ci unei clase de configurații legate între ele prin acest grup de simetrii.

Această idee poate fi generalizată pentru a include atât simetrii locale, cât și globale, analog cu „schimbările de coordonate” mult mai abstracte, într-o situație în care nu există un sistem de coordonate „[[Sistem de referință inerțial|inerțial]]” preferat care să acopere întregul sistem fizic. O teorie gauge este un model matematic care prezintă astfel de simetrii, împreună cu un set de tehnici pentru a face predicții fizice consistente cu simetriile modelului.

==== Exemplu de simetrie globală ====
Când o cantitate care apare într-o configurație matematică nu este doar un număr, ci are o semnificație geometrică, cum ar fi o viteză sau o axă de rotație, reprezentarea sa ca numere aranjate într-un vector sau matrice este, de asemenea, modificată de o transformare de coordonate. De exemplu, dacă o descriere a unui model de curgere a fluidului afirmă că viteza fluidului în vecinătatea punctului (''x'' =1, ''y'' =0) este de 1 m/s în direcția pozitivă a axei ''x'', atunci o descriere a aceleiași situații, în care sistemul de coordonate a fost rotit în sensul acelor de ceasornic cu 90 de grade, va afirma că viteza fluidului în vecinătatea punctului ({{Nowrap|1=''x'' = 0}}, {{Nowrap|1=''y''= −1}}) este de 1 m/s în direcția negativă a axei ''y''. Transformarea coordonatelor a afectat atât sistemul de coordonate folosit pentru identificarea ''locației'' măsurătorii, cât și baza în care este exprimată valoarea acesteia. Atâta timp cât această transformare este efectuată global (afectând baza de coordonate în același mod în fiecare punct), efectul asupra valorilor care reprezintă ''rata de schimbare'' a unei anumite cantități de-a lungul unei traiectorii în spațiu și timp, pe măsură ce aceasta trece prin punctul ''P,'' este același cu efectul asupra valorilor care sunt strict locale pentru ''P''.

==== Simetrie locală ====

===== Utilizarea fasciculelor de fibre pentru a descrie simetriile locale =====
Pentru a descrie în mod adecvat situațiile fizice în teorii mai complexe, este adesea necesar să se introducă o „bază de coordonate” pentru unele dintre obiectele teoriei care nu au o relație simplă cu coordonatele folosite pentru etichetarea punctelor din spațiu și timp. (În termeni matematici, teoria implică un [[fascicul de fibre]], în care fibra din fiecare punct al spațiului de bază constă din posibile baze de coordonate pentru utilizare atunci când se descriu valorile obiectelor din acel punct.) Pentru a descrie o configurație matematică, trebuie să alegeți o bază de coordonate particulară în fiecare punct (o ''secțiune locală'' a fasciculului de fibre) și să exprimați valorile obiectelor teoriei (de obicei „[[Câmp (fizică)|câmpuri]]” în sensul fizic) folosind această bază. Două astfel de configurații matematice sunt echivalente (descriu aceeași situație fizică) dacă sunt legate printr-o transformare a acestei baze de coordonate abstracte (o schimbare a secțiunii locale sau o ''transformare gauge'').

În majoritatea teoriilor gauge, setul de posibile transformări ale bazei gauge abstracte într-un punct individual din spațiu și timp este un grup Lie de dimensiune finită. Cel mai simplu astfel de grup este [[grupul cercului|U(1)]], care apare în formularea modernă a [[Electrodinamică cuantică|electrodinamicii cuantice (QED)]] prin utilizarea [[Număr complex|numerelor complexe]]. QED este considerată, în general, prima și cea mai simplă teorie fizică gauge. Setul de posibile transformări gauge ale întregii configurații a unei anumite teorii gauge formează, de asemenea, un grup, ''grupul gauge'' al teoriei. Un element al grupului gauge poate fi parametrizat printr-o funcție care variază neted de la punctele spațiu-timp la grupul Lie (de dimensiune finită), astfel încât valoarea funcției și derivatele sale în fiecare punct reprezintă acțiunea transformării gauge asupra fibrei de deasupra acelui punct.

O transformare gauge cu un parametru constant în fiecare punct din spațiu și timp este analogă cu o rotație rigidă a sistemului de coordonate geometric; aceasta reprezintă o [[Simetrie (fizică)|simetrie globală]] a reprezentării gauge. La fel ca în cazul unei rotații rigide, această transformare gauge afectează expresiile care reprezintă rata de schimbare de-a lungul unei traiectorii a unei anumite cantități dependente de gauge în același mod ca și expresiile care reprezintă o cantitate strict locală. O transformare gauge al cărei parametru ''nu'' este o funcție constantă se numește [[Simetrie (fizică)|simetrie locală]]; efectul său asupra expresiilor care implică o [[derivată]] este calitativ diferit de cel asupra expresiilor care nu implică o derivată. (Acest lucru este analog cu o schimbare de cadru de referință neinerțială, care poate produce un [[Forța Coriolis|efect Coriolis]].)

=== Câmpuri gauge ===
Versiunea „covariantă gauge” a unei teorii gauge ține cont de acest efect prin introducerea unui ''câmp gauge'' (în limbaj matematic, o [[conexiune Ehresmann]]) și formularea tuturor ratelor de schimbare în termeni de [[derivată covariantă]], raportată la această conexiune. Câmpul gauge devine o parte esențială a descrierii unei configurații matematice. O configurație în care câmpul gauge poate fi eliminat printr-o transformare gauge are proprietatea că [[Puterea câmpului|intensitatea câmpului]] său (în limbaj matematic, [[Curbură|curbura]] sa) este zero peste tot; o teorie gauge ''nu'' se limitează la aceste configurații. Cu alte cuvinte, trăsătura distinctivă a unei teorii gauge este că câmpul gauge nu compensează doar o alegere nepotrivită a sistemului de coordonate; în general, nu există nicio transformare gauge care să facă să dispară câmpul gauge.

Atunci când analizăm [[Mecanică clasică|dinamica]] unei teorii gauge, câmpul gauge trebuie tratat ca o variabilă dinamică, similară altor obiecte din descrierea unei situații fizice. Pe lângă [[Interacțiune fundamentală|interacțiunea]] sa cu alte obiecte prin derivata covariantă, câmpul gauge contribuie de obicei la [[energie]] sub forma unui termen de „energie proprie”. Ecuațiile teoriei gauge se pot obține prin:

* pornirea de la un [[ansatz]] naiv, fără câmpul gauge (în care derivatele apar într-o formă „goală”);
* enumerarea acelor simetrii globale ale teoriei care pot fi caracterizate printr-un parametru continuu (în general un echivalent abstract al unui unghi de rotație);
* calcularea termenilor de corecție care rezultă din permiterea variației parametrului de simetrie de la un loc la altul; și
* reinterpretarea acestor termeni de corecție ca fiind cuplaje la unul sau mai multe câmpuri gauge și adăugarea pentru aceste câmpuri a unor termeni adecvați de energie proprie și comportament dinamic.

Acesta este sensul în care o teorie gauge „extinde” o simetrie globală la o simetrie locală și seamănă îndeaproape cu dezvoltarea istorică a teoriei gauge a gravitației, cunoscută sub numele de [[Teoria relativității generale|relativitate generală]].

=== Experimente fizice ===
Teoriile gauge utilizate pentru a modela rezultatele experimentelor fizice se angajează în:

* limitarea universului de configurații posibile la cele care sunt consistente cu informațiile utilizate pentru a configura experimentul și, ulterior,
* calcularea distribuției de probabilitate a rezultatelor posibile pe care experimentul este conceput să le măsoare.

Nu putem exprima descrierile matematice ale „informațiilor de configurare” și „rezultatelor posibile de măsurare” sau „condițiilor limită” ale experimentului fără a face referire la un anumit sistem de coordonate, inclusiv la alegerea unui gauge. Se presupune că experimentul este izolat adecvat de influențele „externe”, ceea ce reprezintă, în sine, o afirmație dependentă de gauge. Manipularea incorectă a calculelor legate de dependența gauge în condițiile limită este o sursă frecventă de [[Anomalie (fizica)|anomalii]], iar abordările pentru evitarea acestora sunt utilizate pentru a clasifica teoriile gauge{{Clarificare|date=February 2014}}.

=== Teoriile continue ===
Cele două teorii gauge menționate mai sus, electrodinamica continuă și relativitatea generală, sunt teorii ale câmpurilor continue. Tehnicile de calcul dintr-o [[Mecanica mediilor continue|teorie continuă]] presupun implicit că:

* dată fiind o alegere complet fixată a gauge-ului, condițiile limită ale unei configurații individuale sunt descrise complet;
* dat fiind un gauge complet fixat și un set complet de condiții limită, principiul acțiunii minime determină o configurație matematică unică și, prin urmare, o situație fizică unică, consistentă cu aceste limite;
* fixarea gauge-ului nu introduce anomalii în calcul, fie datorită dependenței gauge în descrierea informațiilor parțiale despre condițiile limită, fie din cauza incompletitudinii teoriei.

Determinarea probabilității rezultatelor posibile de măsurare se realizează prin:

* stabilirea unei distribuții de probabilitate pentru toate situațiile fizice determinate de condițiile limită, consistente cu informațiile de configurare;
* stabilirea unei distribuții de probabilitate pentru rezultatele măsurătorilor în fiecare situație fizică posibilă;
* [[Convoluție|convoluția]] acestor două distribuții de probabilitate pentru a obține o distribuție a rezultatelor posibile de măsurare, în concordanță cu informațiile de configurare.

Aceste ipoteze sunt suficient de valabile pe o gamă largă de scări energetice și condiții experimentale, permițând acestor teorii să facă predicții precise despre aproape toate fenomenele întâlnite în viața de zi cu zi: lumină, căldură, electricitate, eclipse, zboruri spațiale etc. Ele eșuează doar la cele mai mici și cele mai mari scări din cauza omisiunilor din cadrul teoriilor în sine și atunci când tehnicile matematice devin neaplicabile, în special în cazuri precum [[Turbulență|turbulența]] și alte fenomene [[Teoria haosului|haotice]].

=== Teorii cuantice ale câmpurilor ===
{{Articol principal|Teoria cuantică a câmpurilor
}}
Pe lângă aceste teorii clasice ale câmpurilor continue, cele mai cunoscute teorii gauge sunt [[Teoria cuantică a câmpurilor|teoriile cuantice ale câmpurilor]], incluzând [[Electrodinamică cuantică|electrodinamica cuantică]] și [[modelul standard]] al fizicii particulelor elementare. Punctul de plecare al unei teorii cuantice a câmpurilor este foarte asemănător cu cel al analogului său continuu: o [[Acțiune (fizică)|integrală de acțiune]] covariantă gauge care caracterizează situațiile fizice „permise” conform [[Principiul minimei acțiuni|principiului acțiunii minime]]. Cu toate acestea, teoriile continue și cele cuantice diferă semnificativ în modul în care gestionează gradele de libertate suplimentare reprezentate de transformările gauge. Teoriile continue și majoritatea tratamentelor pedagogice ale celor mai simple teorii cuantice ale câmpurilor folosesc o prescripție de [[Fixare gabarit|fixare a gauge-ului]] pentru a reduce orbita configurațiilor matematice care reprezintă o anumită situație fizică la o orbită mai mică, asociată unui grup gauge mai mic (grupul de simetrie globală sau, poate, chiar grupul trivial).

Teoriile cuantice ale câmpurilor mai sofisticate, în special cele care implică un grup gauge non-abelian, încalcă simetria gauge în cadrul tehnicilor [[Teoria perturbației (mecanica cuantică)|teoriei perturbațiilor]] prin introducerea unor câmpuri suplimentare ([[Fantoma Faddeev–Popov|fantomele Faddeev-Popov]]) și a unor contra-termeni motivați de [[Anularea anomaliei|anularea anomaliilor]], într-o abordare cunoscută sub numele de [[cuantificare BRST]]. Deși aceste preocupări sunt, într-un sens, foarte tehnice, ele sunt, de asemenea, strâns legate de natura măsurării, limitele cunoașterii unei situații fizice și interacțiunile dintre condițiile experimentale specificate incomplet și teoria fizică incomplet înțeleasă.{{necesită citare}} Tehnicile matematice dezvoltate pentru a face teoriile gauge gestionabile au găsit multe alte aplicații, de la [[fizica stării solide]] și [[cristalografie]] la [[Topologie cu dimensiuni reduse|topologia pentru dimensiuni reduse]].

== Teoria clasică gauge ==

=== Electromagnetismul clasic ===
În [[electrostatică]], se poate discuta fie despre câmpul electric '''E''', fie despre [[Potențial electric|potențialul electric]] corespunzător ''V.'' Cunoașterea unuia permite găsirea celuilalt, cu excepția cazului în care potențialele care diferă printr-o constantă, <math>V \mapsto V+C</math>, corespund aceluiași câmp electric. Acest lucru se întâmplă deoarece câmpul electric reflectă modificările potențialului de la un punct la altul, iar constanta ''C'' se anulează în timpul scăderii pentru a determina variația potențialului. În termeni de [[calcul vectorial]], câmpul electric este [[Gradient|gradientul]] potențialului, <math>\mathbf{E} = -\nabla V</math>. Generalizând de la electrostatică la electromagnetism, apare un al doilea potențial, [[Potențial vectorial magnetic|potențialul vectorial]] '''A''', astfel încât:

: <math>\begin{align}
 \mathbf{E} &= -\nabla V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\\
 \mathbf{B} &= \nabla \times \mathbf{A}
\end{align}</math>

Transformările gauge generale devin acum nu doar <math>V \mapsto V+C</math>, ci

: <math>\begin{align}
 \mathbf{A} &\mapsto \mathbf{A} + \nabla f\\
      V &\mapsto V - \frac{\partial f}{\partial t}
\end{align}</math>

unde ''f'' este orice funcție de două ori continuu diferențiabilă, dependentă de poziție și timp. Câmpurile electromagnetice rămân neschimbate sub această transformare gauge.

=== Un exemplu: Teoria gauge scalară O(''n''). ===

: ''Restul acestei secțiuni necesită o anumită familiaritate cu [[Teoria clasică a câmpurilor|teoria clasică]] sau cuantică a [[Teoria cuantică a câmpurilor|câmpurilor]] și utilizarea [[lagrangian|Lagrangienilor]].'' ''Definițiile din această secțiune includ: [[Grup de gabarit|grupul gauge]], [[teoria gauge|câmpul gauge]], [[lagrangian|Lagrangianul de interacțiune]], [[boson gauge|bosonul gauge]].''

Următorul exemplu ilustrează modul în care invarianța gauge locală poate fi „motivată” euristic, pornind de la proprietățile de simetrie globală, și cum aceasta conduce la o interacțiune între câmpuri inițial neinteracționante.

Să considerăm un set de <math>n</math> [[Câmp (fizică)|câmpuri scalare]] reale neinteracționante, cu mase egale ''m''. Acest sistem este descris de o [[Acțiune (fizică)|acțiune]] care este suma acțiunilor (obișnuite) pentru fiecare câmp scalar <math>\varphi_i</math>:

: <math> \mathcal{S} = \int \, \mathrm{d}^4 x \sum_{i=1}^n \left[ \frac{1}{2} \partial_\mu \varphi_i \partial^\mu \varphi_i - \frac{1}{2}m^2 \varphi_i^2 \right]</math>

Lagrangianul (densitatea) poate fi scris compact astfel:

: <math>\ \mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \Phi)^\mathsf{T} \partial^\mu \Phi - \frac{1}{2}m^2 \Phi^\mathsf{T} \Phi </math>

prin introducerea unui [[Vector euclidian|vector]] de câmpuri:

: <math>\ \Phi^\mathsf{T} = ( \varphi_1, \varphi_2,\ldots, \varphi_n) </math>

Termenul <math>\partial_\mu\Phi</math> reprezintă [[Derivată parțială|derivata parțială]] a <math>\Phi</math> în direcția dimensiunii <math>\mu</math>.

Se poate observa acum că Lagrangianul este invariant sub transformarea:

: <math>\ \Phi \mapsto \Phi' = G \Phi </math>

ori de câte ori ''G'' este o [[matrice]] ''constantă'' aparținând [[Grup ortogonal|grupului ortogonal]] O(''n''). Aceasta păstrează Lagrangianul deoarece derivata lui <math>\Phi'</math> se transformă identic cu <math>\Phi</math>, iar ambele apar în [[Produs scalar|produsele scalare]] din Lagrangian (transformările ortogonale păstrează produsul scalar):

: <math>\ (\partial_\mu \Phi) \mapsto (\partial_\mu \Phi)' = G \partial_\mu \Phi </math>

Aceasta caracterizează simetria globală a acestui Lagrangian particular, iar grupul de simetrie este adesea numit '''grup gauge'''; termenul matematic corect este '''[[fibrat|grup de structură]]''', mai ales în teoria [[Structura G|structurilor G]]. În mod incidental, [[teorema lui Noether]] implică faptul că invarianța sub acest grup de transformări conduce la conservarea ''curenților'':

: <math>\ J^{a}_{\mu} = i\partial_\mu \Phi^\mathsf{T} T^{a} \Phi</math>

unde matricile ''T<sup>a</sup>'' sunt [[sistem de generatori al unui grup|generatori]] ai grupului SO(''n''). Există un curent conservat pentru fiecare generator.

Acum, dacă cerem ca acest Lagrangian să aibă invarianță locală O(''n'') trebuie să permitem ca matricile ''G'', care anterior erau constante, să devină funcții ale [[Sistem de coordonate|coordonatelor]] [[spațiu-timp]] ''x''.

În acest caz, matricele ''G'' nu mai „trec” prin derivate, adică atunci când ''G'' = ''G'' (''x''):

: <math>\ \partial_\mu (G \Phi) \neq G (\partial_\mu \Phi) </math>

Eșecul derivatei de a comuta cu ''G'' introduce un termen suplimentar (conform regulii produsului), care strică invarianța Lagrangianului. Pentru a rectifica acest lucru, definim un nou operator derivat astfel încât derivata lui <math>\Phi'</math> să se transforme din nou identic cu <math>\Phi</math>:

: <math>\ (D_\mu \Phi)' = G D_\mu \Phi</math>

Această nouă „derivată” se numește [[Derivată covariantă gauge|derivată (gauge) covariantă]] și are forma:

: <math>\ D_\mu = \partial_\mu - i g A_\mu </math>

unde ''g'' este constanta de cuplaj, o cantitate care definește puterea unei interacțiuni. După un calcul simplu, se poate vedea că '''câmpul gauge''' ''A'' (''x'') trebuie să se transforme astfel:

: <math>\ A'_\mu = G A_\mu G^{-1} - \frac{i}{g} (\partial_\mu G)G^{-1}</math>

Câmpul gauge este un element al algebrei Lie și poate fi extins astfel:

: <math>\ A_{\mu} = \sum_a A_{\mu}^a T^a </math>

Prin urmare, există tot atâtea câmpuri gauge câți generatori ai algebrei Lie.

În cele din urmă, avem un Lagrangian ''invariant local gauge'':

: <math>\ \mathcal{L}_\mathrm{loc} = \frac{1}{2} (D_\mu \Phi)^\mathsf{T} D^\mu \Phi -\frac{1}{2}m^2 \Phi^\mathsf{T} \Phi</math>

Pauli folosește termenul de ''transformare gauge de primul tip'' pentru a însemna transformarea lui <math>\Phi</math>, în timp ce transformarea compensatorie a lui <math>A</math> este numită ''transformare gauge de al doilea tip''.
[[Fișier:Feynman-Diagram.svg|dreapta|miniatura|200x200px| [[Diagrama Feynman]] a bosonilor scalari care interacționează printr-un boson gauge]]
Diferența dintre acest Lagrangian și Lagrangianul inițial, ''invariant gauge global,'' este '''Lagrangianul de interacțiune'''

: <math>\ \mathcal{L}_\mathrm{int} = i\frac{g}{2} \Phi^\mathsf{T} A_{\mu}^\mathsf{T} \partial^\mu \Phi + i\frac{g}{2} (\partial_\mu \Phi)^\mathsf{T} A^{\mu} \Phi - \frac{g^2}{2} (A_\mu \Phi)^\mathsf{T} A^\mu \Phi</math>

Acest termen introduce [[Interacțiune fundamentală|interacțiuni]] între cele ''n'' câmpuri scalare doar ca o consecință a cererii de invarianță gauge locală. Totuși, pentru a face această interacțiune fizică și nu complet arbitrară, mediatorul ''A''(''x'') trebuie să se propage în spațiu. Aceasta se tratează în secțiunea următoare prin adăugarea unui alt termen, <math>\mathcal{L}_{\mathrm{gf}}</math>, la Lagrangian. În versiunea [[Cuantificare (fizică)|cuantificată]] a [[Teoria clasică a câmpurilor|teoriei clasice a câmpurilor]], [[Cuantă|cuantele]] câmpului gauge ''A''(''x'') se numesc [[Boson gauge|bosoni gauge]]. Interpretarea Lagrangianului de interacțiune în teoria cuantică a câmpurilor este că [[Boson|bosonii]] [[mărime fizică scalară|scalari]] interacționează prin schimbul acestor bosoni gauge.

=== Lagrangianul Yang–Mills pentru câmpul gauge ===
Imaginea unei teorii gauge clasice dezvoltată în secțiunea anterioară este aproape completă, cu excepția faptului că pentru a defini derivatele covariante ''D'', este necesar să se cunoască valoarea câmpului gauge <math>A(x)</math> în toate punctele din spațiu-timp. În loc să specifici manual valorile acestui câmp, acestea pot fi date ca soluții ale unei ecuații de câmp. Cerând suplimentar ca Lagrangianul care generează această ecuație de câmp să fie de asemenea invariant gauge local, o formă posibilă pentru Lagrangianul câmpului gauge este:

: <math>\mathcal{L}_\text{gf} = -\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}\right) = -\frac{1}{4} F^{a \mu \nu} F^a_{\mu \nu}</math>

unde <math>F^a_{\mu \nu}</math> sunt obținute din potențialele <math>A^a_\mu</math>, care sunt componentele lui <math>A(x)</math>, după:

: <math>F_{\mu \nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a + g\sum_{b,c} f^{abc} A_\mu^b A_\nu^c</math>

unde <math>f^{abc}</math> sunt [[Constante de structură|constantele de structură]] ale algebrei Lie a generatorilor grupului gauge. Această formulare a Lagrangianului se numește '''acțiunea Yang-Mills'''. Există și alte acțiuni invariante gauge (de exemplu, [[Electrodinamică neliniară|electrodinamica neliniară]], [[Acțiune Born–Infeld|acțiunea Born–Infeld]], [[modelul Chern–Simons]], [[Problemă CP puternică|termenul theta]] etc.).

În acest termen Lagrangian nu există niciun câmp a cărui transformare să compenseze pe cea a lui <math>A</math>. Invarianța acestui termen sub transformările gauge este un caz particular al unei simetrii clasice (geometrice) ''a priori''. Această simetrie trebuie restricționată pentru a efectua cuantificarea, procedura fiind denumită „[[Fixare gabarit|fixarea gauge]]”, dar chiar și după restricție, pot fi posibile anumite transformări gauge.<ref>J. J. Sakurai, ''Advanced Quantum Mechanics'', Addison-Wesley, 1967, sect. 1–4.</ref>

Lagrangianul complet pentru teoria gauge este acum:

: <math>\mathcal{L} = \mathcal{L}_\text{loc} + \mathcal{L}_\text{gf} = \mathcal{L}_\text{global} + \mathcal{L}_\text{int} + \mathcal{L}_\text{gf}</math>

=== Un exemplu: electrodinamica ===
Ca o aplicație simplă a formalismului dezvoltat în secțiunile anterioare, considerați cazul [[Electromagnetism|electrodinamicii]], cu doar câmpul [[Electron|electronic]]. Acțiunea de bază care generează [[ecuația lui Dirac]] pentru câmpul electronic este:

: <math>\mathcal{S} = \int \bar{\psi}\left(i \hbar c \, \gamma^\mu \partial_\mu - mc^2\right) \psi \, \mathrm{d}^4 x</math>

Simetria globală pentru acest sistem este:

: <math>\psi \mapsto e^{i \theta} \psi</math>

Grupul gauge aici este [[grupul cercului|U(1)]], adică rotații ale [[Număr complex|unghiului de fază]] al câmpului, cu rotația determinată de constanta {{Math|''θ''}}.

„Localizarea” acestei simetrii implică înlocuirea lui {{Math|''θ''}} cu {{Math|''θ''(''x'')}}. O derivată covariantă adecvată este atunci:

: <math>D_\mu = \partial_\mu - i \frac{e}{\hbar} A_\mu</math>

Identificând „sarcina” {{Math|''e''}} (să nu fie confundată cu constanta matematică [[E (constantă matematică)|e]]) cu [[Sarcină electrică|sarcina electrică]] obișnuită și câmpul gauge {{Math|''A''(''x'')}} cu [[Potențialul vectorial|potențialul cvadrivectorial]] al [[Câmp electromagnetic|câmpului electromagnetic]], rezultă un Lagrangian de interacțiune:

: <math>\mathcal{L}_\text{int} = \frac{e}{\hbar}\bar{\psi}(x) \gamma^\mu \psi(x) A_\mu(x) = J^\mu(x) A_\mu(x)</math>

unde <math>J^\mu(x) = \frac{e}{\hbar}\bar{\psi}(x) \gamma^\mu \psi(x)</math> este [[Cvadrivector|cvadrivectorul]] de curent în [[Ecuația lui Dirac|câmpul Dirac]]. Prin urmare, se vede că [[Principiul gabaritului|principiul gauge]] introduce în mod natural [[Cuplare minimă|cuplajul minim]] între câmpul electromagnetic și câmpul electronic.

Adăugând un Lagrangian pentru câmpul gauge <math>A_\mu(x)</math> în termeni de [[tensor electromagnetic|tensorul de intensitate a câmpului]], exact ca în electrodinamică, obținem Lagrangianul folosit ca punct de plecare în [[Electrodinamică cuantică|electrodinamica cuantică]]:

: <math>\mathcal{L}_\text{QED} = \bar{\psi}\left(i\hbar c \, \gamma^\mu D_\mu - mc^2\right)\psi - \frac{1}{4 \mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}</math>''Vezi și: [[Ecuația lui Dirac]], [[Ecuațiile lui Maxwell]] și [[Electrodinamică cuantică|Electrodinamica cuantică]]''

== Formalismul matematic ==
Teoriile gauge sunt discutate de obicei în limbajul [[Geometrie diferențială|geometriei diferențiale]]. Matematic, un ''gauge'' este doar o alegere a unei [[secțiunea unui fibrat|secțiuni]] (locale) a unui anumit [[Pachetul principal|fascicul principal]]. O '''transformare gauge''' este doar o transformare între două astfel de secțiuni.

Deși teoria gauge este dominată de studiul [[Formular de conectare|conexiunilor]] (în principal pentru că este studiată în mare parte de [[Fizica particulelor elementare|fizicienii energiilor înalte]]), ideea de conexiune nu este centrală în teoria gauge în general. De fapt, un rezultat în teoria gauge generală arată că [[Reprezentare afină|reprezentările afine]] (adică [[modul|modulele]] afine) ale transformărilor gauge pot fi clasificate ca secțiuni ale unui [[Pachet Jet|fascicul jet]], respectând anumite proprietăți. Există reprezentări care se transformă covariant punct cu punct (denumite de fizicieni transformări gauge de primul fel), reprezentări care se transformă ca o [[Formular de conectare|formă de conexiune]] (denumite de fizicieni transformări gauge de al doilea fel, o reprezentare afină) — și alte reprezentări mai generale, cum ar fi câmpul B în [[teoria BF]]. Există [[Realizare neliniară|reprezentări neliniare]] mai generale (realizări), dar acestea sunt extrem de complicate. Cu toate acestea, [[Model sigma neliniar|modelele sigma neliniare]] se transformă neliniar, astfel încât există aplicații.

Dacă există un [[Pachetul principal|fascicul principal]] ''P,'' al cărui [[fibrat|spațiu de bază]] este [[Spațiu|spațiul]] sau [[Spațiu-timp|spațiul-timp]] și [[fibrat|grupul de structură]] este un grup Lie, atunci secțiunile lui ''P'' formează un [[torsor|spațiu omogen principal]] al grupului de transformări gauge.

[[Formular de conectare|Conexiunile]] (conexiunea gauge) definesc acest fascicul principal, producând o [[derivată covariantă]] ∇ în fiecare [[Pachetul de vectori asociat|fascicul vectorial asociat]]. Dacă se alege un cadru local (o bază locală de secțiuni), atunci această derivată covariantă este reprezentată de [[Formular de conectare|forma de conexiune]] ''A'', o [[formă diferențială|formă 1]] cu valoare în algebra Lie, numită '''potențial gauge''' în [[fizică]]. Evident, aceasta este o cantitate dependentă de cadru, nu una intrinsecă. [[Forma de curbură]] ''F'', o [[formă diferențială|formă 2]] cu valoare în algebra Lie, care este o cantitate intrinsecă, este construită dintr-o formă de conexiune prin:

: <math>\mathbf{F} = \mathrm{d}\mathbf{A} + \mathbf{A}\wedge\mathbf{A}</math>

unde d reprezintă [[Derivat exterior|derivata exterioară]] și <math>\wedge</math> reprezintă [[Algebră Grassmann|produsul exterior]]. (<math>\mathbf{A}</math> este un element al spațiului vectorial generat de <math>T^{a}</math>, astfel încât componentele lui <math>\mathbf{A}</math> nu comută între ele. Prin urmare, produsul exterior <math>\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}</math> nu dispare.)

Transformările gauge infinitezimale formează o algebră Lie, caracterizată de un [[Scalar (matematică)|scalar]] neted cu valoare în algebra Lie, ε. Sub o astfel de transformare [[Infinitezimal|infinitezimală]],

: <math>\delta_\varepsilon \mathbf{A} = [\varepsilon,\mathbf{A}] - \mathrm{d}\varepsilon</math>

unde <math>[\cdot,\cdot]</math> este paranteza Lie.

Un aspect interesant este că, dacă <math>\delta_\varepsilon X = \varepsilon X</math>, atunci <math>\delta_\varepsilon DX = \varepsilon DX</math>, unde D este derivata covariantă:

: <math>DX\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathrm{d}X + \mathbf{A}X</math>

De asemenea, <math>\delta_\varepsilon \mathbf{F} = [\varepsilon, \mathbf{F}]</math>, ceea ce înseamnă că <math>\mathbf{F}</math> se transformă covariant.

Nu toate transformările gauge pot fi generate de transformări gauge [[Infinitezimal|infinitezimale]], în general. Un exemplu este atunci când [[fibrat|varietatea de bază]] este o [[Varietate (geometrie)|varietate]] [[Spațiu compact|compactă]] fără [[Frontieră (topologie)|frontieră]], astfel încât clasa de [[omotopie]] a aplicației de la acea [[Varietate (geometrie)|varietate]] la grupul Lie este netrivială. Vezi [[Instant pe|instanton]] pentru un exemplu.

''Acțiunea Yang–Mills'' este dată acum de:

: <math>\frac{1}{4g^2}\int \operatorname{Tr}[*F \wedge F]</math>

unde * reprezintă [[operatorul Hodge|dualul Hodge]], iar integrala este definită ca în [[formă diferențială|geometria diferențială]].

O cantitate care este '''invariantă gauge''' (adică [[invarianță|invariantă]] sub transformări gauge) este [[Wilson loop|bucla Wilson]], care este definită pe orice cale închisă γ astfel:

: <math>\chi^{(\rho)}\left(\mathcal{P}\left\{e^{\int_\gamma A}\right\}\right)</math>

unde χ este [[Reprezentare de grup|caracterul]] unei [[Reprezentare de grup|reprezentări]] complexe ρ, iar <math>\mathcal{P}</math> reprezintă operatorul ordonat pe cale.

Formalismul teoriei gauge se extinde la un cadru general. De exemplu, este suficient să cerem ca un [[fibrat vectorial|fascicul vectorial]] să aibă o [[conexiune metrică]]; când se face acest lucru, se constată că conexiunea metrică satisface ecuațiile de mișcare Yang-Mills.

== Cuantificarea teoriilor gauge ==
Teoriile gauge pot fi cuantificate prin specializarea metodelor aplicabile oricărei [[Teoria cuantică a câmpurilor|teorii cuantice a câmpurilor]]. Cu toate acestea, din cauza subtilităților impuse de constrângerile gauge (vezi secțiunea despre formalismul matematic, de mai sus), există multe probleme tehnice care trebuie rezolvate și care nu apar în alte teorii ale câmpurilor. În același timp, structura mai bogată a teoriilor gauge permite simplificarea unor calcule: de exemplu, [[Identități de secție|identitățile Ward]] conectează diferite constante de [[renormalizare]].

=== Metode și scopuri ===
Prima teorie gauge cuantificată a fost [[Electrodinamică cuantică|electrodinamica cuantică]] (QED). Primele metode dezvoltate pentru aceasta au implicat fixarea gauge-ului și apoi aplicarea [[Cuantificare canonică|cuantificării canonice]]. Metoda [[Gupta–Bleuler]] a fost, de asemenea, dezvoltată pentru a rezolva această problemă. Teoriile gauge non-abeliene sunt tratate în prezent printr-o varietate de mijloace. Metodele de cuantificare sunt abordate în articolul despre [[Cuantificare (fizică)|cuantificare]].

Scopul principal al cuantificării este acela de a calcula [[amplitudine de probabilitate|amplitudinile cuantice]] pentru diferite procese permise de teorie. Din punct de vedere tehnic, acestea se reduc la calcularea anumitor [[Funcții de corelare|funcții de corelație]] în [[Stare de vid|starea de vid]]. Aceasta implică [[renormalizare|renormalizarea]] teoriei.

Atunci când [[Constantă de cuplaj|constanta de cuplaj efectivă dependentă de energie]] este suficient de mică, toate cantitățile necesare pot fi calculate în cadrul [[teoria perturbațiilor|teoriei perturbațiilor]]. Schemele de cuantificare destinate simplificării acestor calcule (cum ar fi [[Cuantificare (fizică)|cuantificarea canonică]]) pot fi numite '''scheme de cuantificare perturbative'''. În prezent, unele dintre aceste metode oferă cele mai precise teste experimentale ale teoriilor gauge.

Totuși, în majoritatea teoriilor gauge există multe întrebări interesante care sunt neperturbative. Schemele de cuantificare potrivite pentru aceste probleme (cum ar fi [[Teoria gabaritului latice|teoria gauge pe rețea]]) pot fi numite '''scheme de cuantificare neperturbative'''. Calculele precise în astfel de scheme necesită adesea [[Supercalculator|supercalculatoare]] și, prin urmare, sunt mai puțin dezvoltate în comparație cu alte scheme.

=== Anomalii ===
Unele dintre simetriile teoriei clasice nu se păstrează în teoria cuantică, fenomen numit '''[[Anomalie (fizica)|anomalie]]'''. Printre cele mai cunoscute se numără:

* [[Anomalie de scară|Anomalia de scară]], care generează o ''constantă de cuplaj efectivă dependentă de energie''. În QED, aceasta dă naștere fenomenului [[stâlp Landau|polului Landau]]. În [[Cromodinamică cuantică|cromodinamica cuantică]] (QCD), duce la [[Libertate asimptotică|libertatea asimptotică]].
* [[Anomalia chirală]], în teoriile câmpurilor chirale sau vectoriale cu fermioni. Aceasta este strâns legată de [[topologie]] prin noțiunea de [[Instant pe|instantoni]]. În QCD, această anomalie provoacă dezintegrarea unui [[pion]] în doi [[Foton|fotoni]].
* [[Anomalie de gabarit|Anomalia gauge]], care trebuie să fie anulată în orice teorie fizică consistentă. În [[Interacțiunea electroslabă|teoria electroslabă]], această anulare necesită un număr egal de [[Quark|quarcuri]] și [[Lepton|leptoni]].

== Gauge pur ==
Un gauge pur este setul de configurații ale câmpurilor obținute printr-o [[Transformarea gabaritului|transformare gauge]] pe configurația nulă a câmpurilor, adică o transformare gauge a unei valori zero. Este, așadar, o anumită „orbită gauge” în spațiul configurațiilor câmpurilor.

Astfel, în cazul abelian, unde <math>A_\mu (x) \rightarrow A'_\mu(x) = A_\mu(x)+ \partial_\mu f(x)</math>, gauge-ul pur este doar setul de configurații ale câmpurilor <math>A'_\mu(x) = \partial_\mu f(x)</math> pentru toate funcțiile  {{Math|''f''(''x'')}}.

== Note ==
<references/>

== Bibliografie ==
; Cititori generali
* Schumm, Bruce (2004) ''[[iarchive:deepdownthingsbr00schu|Deep Down Things]]'' . Presa Universității Johns Hopkins. Esp. cap. 8. O încercare serioasă a unui fizician de a explica teoria gauge și [[modelul standard]] cu puțină matematică formală.

; Texte
* {{Citat carte|nume=Greiner|prenume=Walter|nume2=Müller|prenume2=Berndt|titlu=Gauge Theory of Weak Interactions|editură=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|an=2000|isbn=3-540-67672-4}}
* {{Citat carte|prenume=T.-P.|nume=Cheng|legătură-autor2=Ling-Fong Li|prenume2=L.-F.|nume2=Li|titlu=Gauge Theory of Elementary Particle Physics|editură=[[Oxford University Press]]|an=1983|isbn=0-19-851961-3}}
* {{Citat carte|nume=Frampton|prenume=P.|legătură-autor=Paul Frampton|titlu=Gauge Field Theories|ediție=3rd|editură=[[Wiley-VCH]]|an=2008}}
* {{Citat carte|nume=Kane|prenume=G.L.|titlu=Modern Elementary Particle Physics|editură=Perseus Books|an=1987|isbn=0-201-11749-5}}

; Articole
* {{Cite arXiv|eprint=hep-ph/9705211|title=Introduction to Gauge Theories|last1=Becchi}}
* {{Citat web|url=http://psroc.phys.ntu.edu.tw/cjp/download.php?type=paper&vol=30&num=7&page=955|nume=Gross|titlu=Gauge theory – Past, Present and Future|accessdate=2009-04-23|first1=D.|authorlink=David Gross|year=1992|archive-date=2016-02-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20160223060506/http://psroc.phys.ntu.edu.tw/cjp/download.php?type=paper&vol=30&num=7&page=955|dead-url=yes}}
* {{Citat revistă|nume=Jackson|prenume=J.D.|legătură-autor=John_David_Jackson_(physicist)|an=2002|titlu=From Lorenz to Coulomb and other explicit gauge transformations|journal=Am. J. Phys.|volum=70|număr=9|pagini=917–928|bibcode=2002AmJPh..70..917J|doi=10.1119/1.1491265}}
* {{Cite arXiv|eprint=math-ph/9902027|title=Preparation for Gauge Theory|last1=Svetlichny}}

== Vezi și ==
* [[Principiul gauge]]
* [[Efectul Aharonov–Bohm]]
* [[Gauge Coulomb]]
* [[Teoria electroslabă]]
* [[Derivată covariantăgauge]]
* [[Fixarea gauge]]
* [[Teoria gravitației gauge]]
* [[Grup gauge (matematică)]]
* [[Teoria Kaluza–Klein]]
* [[Gauge Lorenz]]
* [[Cromodinamică cuantică]]
* [[Câmp gluonic]]
* [[Tensorul intensității câmpului gluonic]]
* [[Electrodinamică cuantică]]
* [[Potențial electromagnetic cu patru componente]]
* [[Tensor electromagnetic]]
* [[Teoria cuantică a câmpurilor]]
* [[Modelul standard]]
* [[Formularea matematică a modelului standard]]
* [[Ruperea simetriei]]
* [[Simetrie în fizică]]
* [[Sarcină (fizică)]]
* [[Simetrie în mecanica cuantică]]
* [[Simetria Fock în teoria hidrogenului]]
* [[Identitățile Ward]]
* [[Teoria Yang–Mills]]
* [[Existența și golul de masă Yang–Mills]]
* [[Lucrările de rupere a simetriei PRL din 1964]]
* [[Teoria gauge  (matematică)]]

== Legături externe ==
{{Wikicitat}}

*  {{springer|title=Gauge transformation|id=p/g043400}}
* [https://web.archive.org/web/20131109161828/http://wiki.math.toronto.edu/DispersiveWiki/index.php/Yang-Mills Ecuațiile Yang–Mills pe DispersiveWiki]
* [http://www.scholarpedia.org/article/Gauge_theories Teoriile gauge pe Scholarpedia]


{{Control de autoritate}}
[[Categorie:Fizică matematică]]