Vizualizare sursă pentru „Teorema numerelor prime”

'''Teorema numerelor prime''' descrie distribuția [[asimptotă|asimptotică]] a [[număr prim|numerelor prime]].

În linii mari, teorema precizează că, dacă ''N'' este un număr natural suficient de mare, [[probabilitate]]a ca un alt [[număr natural]], din vecinătatea lui ''N'' să fie prim, este 
<math> \frac{1}{ln \; N} </math> ,
unde ln N este [[logaritm]]ul natural al lui ''N''.
De exemplu, dacă N=10 000, aproximativ unul din 9 sunt prime, iar dacă N=1.000.000.000, numai unul din 21 numere (din vecinătatea lui N) sunt prime.

== Enunțul teoremei ==
[[Fișier:PrimeNumberTheorem.png|thumb|right|400px|Graficul comparaţiei dintre <math> \pi(x) </math> &nbsp; şi &nbsp; <math> \frac{x}{\ln{x}} </math>.]]
Se definește „funcția număr prim” <math> \pi </math>

<math> \pi(x) = \# \{p \in \mathbb{P} \mid p \le x \} </math> ,

unde <math> x \in \mathbb{R} </math> 
iar <math> \mathbb{P} </math> este mulțimea numerelor prime.

(Simbolul <math> \# M </math> reprezintă ''numărul de elemente'' sau ''[[număr cardinal|cardinalul]]'' mulțimii M. )

Așadar, <math> \pi(x) </math> definește numărul numerelor prime mai mici decât x.

Teorema numerelor prime afirmă că:

::<math> \lim_{x \to \infty} {\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}}} = 1 </math>.

Sau, cu alte cuvinte, funcțiile <math> \pi (x) </math> și <math>  \frac{x}{\ln(x)}</math> sunt asimptotic echivalente.

== Istoric ==
Teorema numerelor prime demonstrată pentru prima dată de matematicianul francez [[Jacques Hadamard]], în 1896. Teorema a fost demonstrată independent, în același an, și de {{Ill|en|Charles Jean de la Vallée-Poussin}}.

== Îmbunătățire a teoremei ==

== Tabel cu π(''x''), ''x'' / ln ''x'' și Li(''x'') ==

:{| class="wikitable" style="text-align: right"
! ''x''
! π(''x'')<ref>{{citat web
| url = http://www.research.att.com/~njas/sequences/A006880
| title = Number of primes < 10^n (A006880)
| work = [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]] }}</ref>
! π(''x'') - ''x'' / ln''x''
! Li(''x'') - π(''x'')<ref>{{citat web
| url = http://www.research.att.com/~njas/sequences/A057835
| title = Number of primes < 10^n (A057835)
| work = [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]] }}</ref>
! ''x'' / π(''x'')
|-
| 10
| 4
| -0,3
| 0,921
| 2,2
| 2,500
|-
| 10<sup>2</sup>
| 25
| 3,3
| 1,151
| 5,1
| 4,000
|-
| 10<sup>3</sup>
| 168
| 23
| 1,161
| 10
| 5,952
|-
| 10<sup>4</sup>
| 1.229
| 143
| 1,132
| 17
| 8,137
|-
| 10<sup>5</sup>
| 9.592
| 906
| 1,104
| 38
| 10,425
|-
| 10<sup>6</sup>
| 78.498
| 6.116
| 1,084
| 130
| 12,740
|-
| 10<sup>7</sup>
| 664.579
| 44.158
| 1,071
| 339
| 15,047
|-
| 10<sup>8</sup>
| 5.761.455
| 332.774
| 1,061
| 754
|17,357
|-
| 10<sup>9</sup>
| 50.847.534
| 2.592.592
| 1,054
| 1.701
| 19,667
|-
| 10<sup>10</sup>
| 455.052.511
| 20.758.029
| 1,048
| 3.104
| 21,975
|}

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==

* Ingham, A.E. - ''The Distribution of Prime Numbers'', Cambridge University, 1990
* Hardy, G.H. - ''An Introduction to the Theory of Numbers'', Oxford University Press, Oxford, 1979

== Legături externe ==
* [http://www.scs.uiuc.edu/~mainzv/exhibitmath/exhibit/felkel.htm ''Tabele cu numere prime''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20101115185805/http://www.scs.uiuc.edu/~mainzv/exhibitmath/exhibit/felkel.htm |date=2010-11-15 }} de [[Anton Felkel]]
* [http://mathworld.wolfram.com/PrimeFormulas.html Teorema numerelor prime la ''MathWorld'']
* [http://alumnus.caltech.edu/~chamness/prime.html Prime Number Generator] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090904004013/http://alumnus.caltech.edu/~chamness/prime.html |date=2009-09-04 }}

== Vezi și ==
* [[Indicatorul lui Euler]]

[[Categorie:Teoreme în teoria numerelor|prim]]
[[Categorie:Aritmetică]]
[[Categorie:Numere prime]]