Vizualizare sursă pentru „Teorema lui Pitagora”

[[Fișier:Teorema lui pitagora.png|miniatura|292x292px|'''Teorema lui Pitagora:'''<br/>Suma catetelor la pătrat este egală cu ipotenuza la pătrat]]
{{Geometrie generală|2d}}
[[Fișier:01-Satz des Pythagoras-W.gif|260px|thumb|Animație în care este demonstrată Teorema lui Pitagora]]
'''Teorema lui Pitagora''' este una dintre cele mai cunoscute [[Teoremă|teoreme]] din [[geometrie plană|geometria]] [[euclid]]iană, constituind o relație între cele trei laturi ale unui [[triunghi dreptunghic]].  Teorema lui [[Pitagora]] afirmă că în orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor [[catetă|catetelor]] este egală cu pătratul [[ipotenuză|ipotenuzei]] (latura opusă [[unghi drept|unghiului drept]]). Teorema poate fi scrisă sub forma unei relații între cele trei laturi ''a'', ''b'' și ''c'', câteodată denumită ''relația lui Pitagora'':<ref name="Sally0">{{cite book |title=Roots to research: a vertical development of mathematical problems |author=Judith D. Sally, Paul Sally |page=63 |chapter=Chapter 3: Pythagorean triples |url=http://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA63 |isbn=0-8218-4403-2 |year=2007 |publisher=American Mathematical Society Bookstore}}</ref>
:<math>a^2 + b^2 = c^2\!\, ,</math>
unde ''c'' reprezintă lungimea ipotenuzei, iar ''a'' și ''b'' lungimile celorlalte două laturi ale triunghiului.

Deși este în discuție faptul că teorema putea fi cunoscută dinaintea lui,<ref name=Pos /> aceasta a fost totuși denumită după matematicianul din [[Grecia Antică]], [[Pitagora]] ({{circa}} 570 – {{circa}} 495 î.Hr.) din moment ce el este cel care, în mod tradițional, a fost recunoscut pentru prima demonstrație a sa.<ref name="Allman2">{{cite book |title=Greek Geometry from Thales to Euclid |author=George Johnston Allman |page=26 |url=http://books.google.com/?id=-gYCAAAAYAAJ&pg=PA26 |publisher=Hodges, Figgis, & Co |year=1889 |quote=The discovery of the law of three squares, commonly called the "theorem of Pythagoras" is attributed to him by –&nbsp;amongst others&nbsp;– Vitruvius, Diogenes Laertius, Proclus, and Plutarch&nbsp;... |edition=Reprinted by Kessinger Publishing LLC 2005 |isbn=1-4326-0662-X}}</ref><ref name="heath144">{{harv|Heath|1921|loc=Vol I, p. 144}}</ref> <!----

 -->Există unele dovezi cum că matematicienii babilonieni ar fi înțeles formula, dar foarte puține indică o aplicație într-un cadru de lucru matematic.<!--
 --><ref name="Neugebauer">{{cite book|title=The exact sciences in antiquity|page=36|url=http://books.google.com/?id=JVhTtVA2zr8C&pg=PA36|author=Otto Neugebauer|isbn=0-486-22332-9|year=1969|edition=Republication of 1957 Brown University Press 2nd|publisher=Courier Dover Publications}}. For a different view, see {{cite book|author=Dick Teresi|page=52|title=Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science|url=http://books.google.com/?id=pheL_ubbXD0C&pg=PA52|isbn=0-7432-4379-X|year=2003|publisher=Simon and Schuster}}, where the speculation is made that the first column of [[Plimpton 322|tablet 322 in the Plimpton collection]] supports a Babylonian knowledge of some elements of trigonometry. That notion is pretty much laid to rest, however, by {{cite journal|author=Eleanor Robson|year=2002|title=Words and Pictures: New Light on Plimpton 322|journal=The American Mathematical Monthly|volume=109|issue=2|pages=105–120|publisher=[[Mathematical Association of America]]|jstor=2695324|doi=10.2307/2695324|ref=harv | issn=0002-9890}} ([http://www.dma.ulpgc.es/profesores/pacheco/Robson.pdf pdf file] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130921054112/http://www.dma.ulpgc.es/profesores/pacheco/Robson.pdf|date=2013-09-21}}). The generally accepted view today is that the Babylonians had no awareness of trigonometric functions. See also {{cite arXiv|title=The Plimpton 322 Tablet and the Babylonian Method of Generating Pythagorean Triples|author=Abdulrahman A. Abdulaziz|year=2010|eprint=1004.0025|ref=harv|class=math.HO}} §2, page 7.</ref><!--
 --><ref name="Livio">{{cite book |title=The golden ratio: the story of phi, the world's most astonishing number |author=Mario Livio |page=25 |url=http://books.google.com/?id=bUARfgWRH14C&pg=PA25 |isbn=0-7679-0816-3 |publisher=Random House, Inc |year=2003}}</ref> <!--
 -->Matematicienii din [[Mesopotamia]], [[India]] și [[China]] au descoperit teorema independent și, în unele cazuri, au oferit demonstrații în cazuri speciale.

Această teoremă a primit numeroase [[Demonstrație matematică|demonstrații]] – probabil cele mai multe dintre toate teoremele din matematică. Acestea sunt foarte diversificate, incluzând dovezi atât geometrice cât și algebrice, cele mai vechi datând de acum mii de ani. Teorema poate fi generalizată în diferite moduri, inclusiv prin referire la spațiile multidimensionale, spațiile neeuclidiene, triunghiuri care nu sunt dreptunghice sau chiar figuri care nu sunt triunghiuri, ci spațiale.

Teorema lui Pitagora este considerată un punct de interes în afara matematicii, constituind un simbol al incomprehensibilității matematice, al misterului, sau al puterii intelectuale; abundă referințele populare din literatură, muzică, teatru, sau artă.

== Istoric ==

Deși teorema i se atribuie astăzi [[filozof]]ului și [[matematician]]ului [[Grecia antică|grec antic]] [[Pitagora]], care a trăit în [[secolul al VI-lea î.Hr.]], se știe că a fost cunoscută de mai multe civilizații de-a lungul timpului: [[India antică|indienii antici]], [[Mesopotamia|asiro-babilonienii]], [[Istoria Egiptului Antic|egiptenii antici]], [[China antică|chinezii antici]] și alții.<ref>[http://math.truman.edu/~thammond/history/PythagoreanTriangles.html Pythagorean Triangles and Triples - Mathematics and the Liberal Arts]</ref>

Acest subiect poate fi împărțit în trei: cunoașterea tripletelor pitagoreice (seturi de câte trei numere întregi care reprezintă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic), cunoașterea teoremei propriu-zise și cunoașterea unor demonstrații.

Tripletele pitagoreice sunt cunoscute de foarte mult timp, ele fiind folosite pentru construirea unui unghi drept în condiții practice: o sfoară este marcată cu noduri aflate la anumite distanțe; formând din ea un triunghi (de exemplu de laturi 3, 4 și 5), acel triunghi va fi dreptunghic - metoda poate fi folosită de exemplu pentru a monta vertical catargul unui vas pe mare.

Monumente megalitice de acum 6000 de ani (în Egipt) sau 4500 de ani (în [[Britania|Insulele Britanice]]) conțin triunghiuri dreptunghice cu laturi de lungimi numere întregi<ref>{{Citat web |url=http://hyperion.cc.uregina.ca/~astro/Mega_circ.html |accessdate=2006-11-22 |titlu=Megalithic triangles |archive-date=2011-07-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110706211316/http://hyperion.cc.uregina.ca/%7Eastro/Mega_circ.html |dead-url=yes }}</ref>, dar aceasta nu înseamnă neapărat că cei care le-au construit cunoșteau teorema. De asemenea, scrieri vechi din [[Regatul Mijlociu Egiptean]] și din Mesopotamia menționează triplete pitagoreice.

''[[Sulba Sutra]] lui [[Baudhayana]]'', scrisă în [[secolul VIII î.Hr.]] în [[India]], conține o listă de triplete pitagoreice descoperite algebric, un enunț al teoremei, precum și o demonstrație pentru un triunghi dreptunghic isoscel.

'' Sulba Sutra'' lui [[Apastamba]] (circa [[600 î.Hr.]]) conține o demonstrație numerică a cazului general, calculând arii. Unii cercetători susțin că de aici s-ar fi putut inspira Pitagora, în timpul călătoriei sale în India.

Pitagora (aproximativ [[580 î.Hr.]] - [[495 î.Hr.]]) a folosit metode algebrice pentru a construi triplete pitagoreice, conform lui [[Proclus]]. Acesta a scris însă între anii [[410]] și [[485|485 d.Hr.]], adică 9 secole mai târziu. După [[Sir Thomas L. Heath]], teorema nu i-a fost atribuită lui Pitagora timp de cinci secole după perioada în care acesta a trăit. Totuși, atunci când autori cum ar fi [[Plutarh]] și [[Cicero]] au vorbit despre teoremă ca fiind „a lui Pitagora”, au făcut-o ca și cum acesta era un lucru binecunoscut și de necontestat.

În jurul anului [[400 î.Hr.]], conform lui Proclus, [[Platon]] a dat o metodă de a determina triplete pitagoreice care combină algebra și geometria. Există o infinitate de astfel de triplete,forma lor generală fiind ''x''=2uv, ''y''=u<sup>2</sup>-v<sup>2</sup>, ''z''=u<sup>2</sup>+v<sup>2</sup>, unde u și v sunt [[Număr natural|numere naturale]] oarecare, cu u>v. După aproximativ 100 de ani, [[Euclid]] a dat în cadrul lucrării ''Elemente'' prima demonstrație axiomatică a teoremei.

Scris între [[500 î.Hr.]] și [[200|200 d.Hr.]], textul [[China|chinezesc]] ''Chou Pei Suan Ching'' (周髀算经) conține o demonstrație vizuală a teoremei.

De fapt, nu numai că nu se poate ști cine a descoperit teorema, dar cercetătorii nu se pot pune de acord nici în privința întrebării dacă a fost descoperită o singură dată, ori independent în istorie de către mai multe civilizații.

Teorema este valabilă doar în geometria euclidiană, de aceea orice demonstrație folosește (uneori indirect sau mai puțin vizibil) [[Axioma paralelelor|axioma lui Euclid]].

== Demonstrații ==
[[Fișier:Pythagoras-proof-anim.svg|thumb|Demonstrație la teorema lui Pitagora]]

Teorema lui Pitagora a fost cunoscută mult timp înainte de Pitagora, dar el a fost primul care a demonstrat-o.<ref name=Pos>Posamentier, Alfred. ''[http://books.google.com/books?id=fHFuCkSrfysC&pg=PA23 The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty]'', p. 23 (Prometheus Books 2010).</ref> În orice mod, demonstrația atribuită lui este foarte simplă, și apelează la o rearanjare a figurilor.

Cele două pătrate mari reprezentate în figură conțin fiecare patru triunghiuri identice, iar singura diferență dintre cele două pătrate mari este faptul că triunghiurile sunt aranjate într-un mod diferit. Astfel, spațiul alb din interiorului fiecărui pătrat mare trebuie să aibă aceeași suprafață. Egalând suprafețele spațiilor albe reiese teorema lui Pitagora, [[quod erat demonstrandum|c.c.t.d.]] <ref>Benson, Donald. ''[http://books.google.com/books?id=8_vbuzxrpfIC&pg=PA172 The Moment of Proof : Mathematical Epiphanies]'', pp. 172–173 (Oxford University Press, 1999).</ref>

Faptul că această demonstrație foarte simplă îi aparține lui Pitagora este dedus din scrierile filozofului și matematicianului grec [[Proclus]].<ref>Maor, Eli. ''[http://books.google.com/books?id=Z5VoBGy3AoAC&pg=PA63 The Pythagorean Theorem: A 4,000-year History]'', p. 61 (Princeton University Press, 2007).</ref>

Este posibil ca aceasta să fie teorema cu cele mai multe demonstrații; cartea ''The Pythagorean Proposition'' (în traducere directă Propoziția Pitagorică) conține 370 de demonstrații.<ref>{{Harv|Loomis|1968}}</ref>

=== Demonstrația cu triunghiuri asemenea ===
[[Fișier:Pythagoras similar triangles simplified.svg|thumb|Demonstrația cu triunghiuri asemenea]]

Această demonstrație are la bază [[proporționalitate]]a laturilor a două triunghiuri asemenea, adică are în vedere faptul că raportul dintre oricare două laturi corespondente ale triunghiurilor asemenea este aceeași, indiferent de mărimea triunghiurilor.

Fie ''ABC'' un triunghi dreptunghic, cu unghiul drept aflat în punctul ''C'', după cum se observă în figură. Se desenează înălțimea în triunghi din punctul ''C'', astfel ca ''H'' să fie punctul de intersecție al înălțimii cu latura ''AB''. Punctul ''H'' împarte ipotenuza ''c'' în două părți, numite ''d'' și ''e''. Noul triunghi, ''ACH'', este asemenea cu triunghiul ''ABC'', deoarece ambele au un unghi drept (prin definiție, înălțimea formează un unghi drept), iar unghiul lor comun este ''A'', ceea ce înseamnă că cel de-al treilea unghi va fi același în ambele triunghiuri, marcat ''θ'' pe figură. Printr-o rațiune similară, triunghiul ''CBH'' este și el asemenea cu triunghiul ''ABC''. Demonstrația asemănării triunghiurilor recurge la postulatul triunghiului: suma unghiurilor într-un triunghi este egală cu două unghiuri drepte, dar și la postulatul paralelismului. Asemănarea triunghiurilor ne conduce la egalarea raporturilor dintre laturile corespondente după cum urmează:
:<math> \frac{BC}{AB}=\frac{BH}{BC} \text{ și } \frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}.\,</math>
Primul rezultat este [[cosinus]]ul unghiurilor ''θ'', iar al doilea este [[sinus]]ul lor.

Raporturile pot fi scrise astfel:
:<math>{BC}^{2}={AB}\times {BH} \text{ and }{AC}^{2}={AB}\times {AH}. \,</math>
Însumarea acestor două egalități rezultă în
:<math>{BC}^{2}+{AC}^{2}={AB}\times {BH}+{AB}\times {AH}={AB}\times({AH}+{BH})={AB}^{2} ,\,\!</math>
care, prin simplificare, dă expresia teoremei lui Pitagora:
:<math>{BC}^{2}+{AC}^{2}={AB}^{2} \ .\,\!</math>

Rolul acestei demonstrații de-a lungul istorie este subiectul multor speculații. Întrebarea care ar trebui pusă este de ce Euclid nu a folosit această demonstrație, dar a inventat alta. O presupunere ar fi că demonstrația cu triunghiuri asemenea avea nevoie de teoria proporțiilor, un subiect netratat până la publicarea lucrării ''Elemente'', astfel că teoria proporțiilor avea nevoie de o dezvoltare mai mare la aceea vreme.<ref>{{Harv|Maor|2007| p=39}} [http://books.google.com/books?id=Z5VoBGy3AoAC&pg=PA39&dq=%22why+did+Euclid+choose+this+particular+proof%22&hl=en&ei=WckoTLv4JIKknQecwvWoAQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCUQ6AEwAA#v=onepage&q=%22why%20did%20Euclid%20choose%20this%20particular%20proof%22&f=false page 39]</ref><ref name=Hawking>
{{cite book |title=God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history |author=Stephen W. Hawking |page=12 |url=http://books.google.com/?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA12 |isbn=0-7624-1922-9 |year=2005 |publisher=Running Press Book Publishers |location=Philadelphia}}

Această demonstrație a apărut pentru prima dată după ce un program de computer a fost programat să verifice demonstrațiile euclidiene.</ref>

=== Demonstrația lui Euclid ===
[[Fișier:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|thumb|Demonstrație ca în ''Elemente'' a lui Euclid]]
În mare parte, acesta este modul în care demonstrația lui [[Euclid]] din ''Elemente'' are loc. Pătratul mare este divizat în două dreptunghiuri, unul în stânga, iar altul în dreapta. Apoi, alt triunghi este construit astfel încât acesta să aibă jumătate din suprafața pătratului din partea stângă. Aceste două triunghiuri sunt congruente, ceea ce demonstrează faptul că acest pătrat are aceeași suprafață ca și dreptunghiul din stânga. O versiune analogă  este valabilă și pentru dreptunghiul din partea dreaptă și pentru pătratul rămas. Recombinând cele două dreptunghiuri pentru a forma pătratul pe ipotenuză, suprafața sa este aceeași cu suma suprafețelor celor două pătrate. În continuare se află detaliile.

Fie ''A'', ''B'', ''C'' vârfurile unui triunghi dreptunghic, în care unghiul drept să fie ''A''. Se trasează perpendiculara din punctul ''A'' prin ipotenuză, până pe latura opusă ipotenuzei, din pătrat. Dreapta desparte pătratul respectiv în două dreptunghiuri, fiecare având aceeași suprafață cu unul dintre pătratele de pe catete.

Pentru demonstrația formală, se recurge la patru [[lemă|leme]] elementare:
# Dacă un triunghi are două laturi egale cu alte două laturi ale unui alt triunghi, iar unghiurile făcute de aceste laturi sunt egale, 
atunci triunghiurile sunt congruente.
# Suprafața unui triunghi este egală cu jumătate din suprafața oricărui paralelogram de aceeași bază și cu aceeași înălțime.
# Suprafața unui dreptunghi este egală cu produsul a două laturi adiacente.
# Suprafața unui pătrat este egală cu produsul a două dintre laturile sale (se deduce din 2).

În continuare, fiecare dintre pătratele de sus se află în legătură cu un triunghi congruent cu alt triunghi aflat la rândul său în legătură cu unul dintre cele două dreptunghiuri care alcătuiesc pătratul de jos.<ref>De exemplu, vezi [http://www.slu.edu/classes/maymk/GeoGebra/Pythagoras.html Teorema lui Pitagora] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161014165156/http://www.slu.edu/classes/maymk/GeoGebra/Pythagoras.html |date=2016-10-14 }}, Saint Louis University website Java applet</ref>
{{-}}
[[Fișier:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem2.svg|thumb|Ilustrație incluzând noile drepte]]
[[Fișier:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem3.svg|thumb|Reprezentarea celor două triunghiuri congruente, cu jumătate din suprafața dreptunghiului BDLK și a pătratului BAGF]]
Demonstrația este următoarea:
#Fie ACB un triunghi dreptunghic cu unghiul drept CAB.
#Pe fiecare dintre laturile BC, AB și CA, se reprezintă pătratele CBDE, BAGF și ACIH, în această ordine. Construcția pătratelor necesită teoremele lui Euclid, și depinde de postulatul paralelismului.<ref name=Gullberg>

{{cite book |title=Mathematics: from the birth of numbers |author=Jan Gullberg |page=435 |url=http://books.google.com/books?id=E09fBi9StpQC&pg=PA435 |isbn=0-393-04002-X |year=1997 |publisher=W. W. Norton & Company}}

</ref>
#Din A, se trasează dreapta paralelă cu BD și CE. Aceasta va fi perpendiculară pe laturile BC și DE, iar punctele de intersecție vor fi K și L.
#Se trasează dreptele CF și AD, formându-se triunghiurile BCF și BDA.
#Unghiurile CAB și BAG sunt ambele unghiuri drepte; astfel C, A, și G sunt puncte coliniare. Analog pentru punctele B, A și H.
#Unghiurile CBD și FBA sunt ambele unghiuri drepte; astfel ABD este egal cu unghiul FBC, din moment ce ambele sunt egale cu suma dintre un unghi drept și unghiul ABC:
#Deoarece AB este egală cu FB iar BD este egală cu BC, triunghiul ABD este congruent cu triunghiul FBC.
#Deoarece A-K-L este o dreptă, paralelă cu BD, atunci dreptunghiul BDLK este de două ori aria triunghiului ABD, având baza comună BD și înălțimea BK.
#Deoarece C este coliniar cu A și G, pătratul BAGF este de două ori aria triunghiului FBC.
#Astfel, dreptunghiul BDLK are aceeași arie ca pătratul BAGF = AB<sup>2</sup>.
#Similar, se poate arăta că dreptunghiul CKLE are aceeași arie cu pătratul ACIH = AC<sup>2</sup>.
#Adunând rezultatele putem scrie AB<sup>2</sup> + AC<sup>2</sup> = BD &times; BK + KL &times; KC
#Din moment ce BD = KL, BD &times; BK + KL &times; KC = BD(BK + KC) = BD &times; BC
#Atunci AB<sup>2</sup> + AC<sup>2</sup> = BC<sup>2</sup>, pentru că CBDE este un pătrat.

Această demonstrație, care apare în ''Elementele'' lui Euclid, sub forma Propoziției&nbsp;47 din Cartea&nbsp;1,<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?doc=Perseus:text:1999.01.0085:book=1:proposition=47 Elementele 1.47] de Euclid. Accesat pe 17 martie 2015.</ref> arată faptul că suprafața pătratului de pe ipotenuză este suma suprafețelor celor două pătrate mici.<ref>

[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI47.html Euclid's Elements, Book&nbsp;I, Proposition&nbsp;47]: web page version using Java applets from [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html Euclid's Elements] de Prof. David E. Joyce, Clark University

</ref> Această demonstrație este una destul de diferită față de cea folosind asemănarea triunghiurilor, care folosește posibila metoda de demonstrație a Pitagora.<ref name=Hawking/><ref name=Pythagoras>Demonstrația lui Pitagora a fost cel mai probabil nu una generală, din moment ce teoria proporțiilor a fost dezvoltată doar două secole după Pitagora; vezi și {{Harv |Maor|2007 |p=25}} [http://books.google.com/books?id=Z5VoBGy3AoAC&pg=PA25&hl=en#v=onepage&q&f=false pagina 25]</ref>

=== Demonstrația prin cvadratură ===
[[Fișier:Pythagorean proof.png|frame]]
Suprafețele ambelor [[pătrat]]e mari sunt egale cu <math>(a + b)^2\,</math>. Dacă suprafețele pătratelor roz, ce reprezintă pătratele numerelor <math>a\,</math> și <math>b\,</math> (figura din stânga) sunt substituite cu un pătrat ce reprezintă numărul <math>c\,</math> la pătrat, făcându-se simultan o rearanjare a jumătăților celor două [[dreptunghi]]uri (fiecare fiind format inițial din câte două triunghiuri dreptunghice, [[congruență (geometrie)|congruente]] cu cel inițial), se obține figura din dreapta. Suprafețele celor două pătrate mari sunt identice, întrucât [[latură|laturile]] acestora sunt congruente.

Calculând în fiecare caz suprafețele celor două pătrate, se obține:

:<math>S = a^2 + b^2 + 4 \frac{ab}{2}</math> (pentru pătratul din stânga)
:<math>S = c^2 + 4 \frac{ab}{2}</math> (pentru pătratul din dreapta)

Se ajunge așadar la <math>c^2 + 2ab = a^2 + b^2 + 2ab \,</math>, ceea ce duce direct la relația din teorema studiată.

=== Demonstrația prin rearanjare===
Demonstrația pitagoreică, care a fost deja discutată, a fost o demonstrație prin rearanjare. Aceeași idee este reprezentată în animația din partea stângă, care conține pătratul mare de latură {{nowrap|''a'' + ''b''}}, cu patru triunghiuri dreptunghice identice. Triunghiurile sunt reprezentate alternativ în două moduri de aranjare, în primul în care sunt arătate cele două pătrate mici ''a''<sup>2</sup> și ''b''<sup>2</sup>, iar în al doilea în care este arătat pătratul ''c''<sup>2</sup>. Suprafața cuprinsă de pătratul exterior nu se schimbă, iar suprafața celor patru triunghiuri este aceeași și la începutul rearanjării, dar și după, așadar suprafețele pătratelor negre sunt egale. Astfel, ajungem la rezultatul {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> {{=}} ''c''<sup>2</sup>.}}

O a doua demonstrație prin rearanjare este reprezentată de animația din mijloc. Un pătrat mare este format din suprafața ''c''<sup>2</sup>,din patru triunghiuri dreptunghice identice de laturi ''a'', ''b'' și ''c'', amplasate în jurul unui pătrat central mic. Apoi, se formează două dreptunghiuri cu laturile ''a'' și ''b'' prin mutarea triunghiurilor. Combinând pătratul mai mic cu aceste dreptunghiuri se formează două pătrate de suprafețe ''a''<sup>2</sup> și ''b''<sup>2</sup>, care vor avea aceeași suprafață cu pătratul mare inițial.<ref>{{cite web |url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#10 |title= Pythagorean Theorem, proof number 10|author=Alexander Bogomolny |date= |work=Cut the Knot |publisher= |accessdate=22 martie 2015}}</ref>

O a treia demonstrație este reprezentată în imaginea din dreapta. Pătratele superioare sunt divizate după cum se poate observa, în figuri cu nuanțe de albastru și verde, iar aceste figuri mici pot fi rearanjate pentru a umple pătratul mare inferior. Analog, acest lucru se poate face și invers. Astfel, se poate observa faptul că suprafața pătratului mare este egală cu suprafețele pătratelor mici.<ref name=specifics>{{Harv|Loomis|1968|loc= Geometric proof 22 and Figure 123, page= 113}}</ref>

{|
| [[File:Pythag anim.gif|thumb|Animație ce reprezintă demonstrația prin rearanjarea a patru triunghiuri dreptunghice identice]]
| [[File:Pythagoras-2a.gif|thumb|Animație ce reprezintă demonstrația prin rearanjare]]
| [[File:Pythagorean theorem rearrangement.svg|thumb|Demonstrație utilizând o rearanjare elaborată]]
|}

=== Demonstrații algebrice ===
[[File:Pythagoras algebraic2.svg|thumb|upright|Diagramă cu cele două demonstrații algebrice]]

Teorema poate fi demonstrată algebric cu ajutorul a patru triunghiuri identice cu triunghiul dreptunghic de laturi ''a'', ''b'' și ''c'', aranjate în interiorul unui pătrat de latură ''c'', după cum se poate observa în jumătatea superioară a diagramei.<ref name=rotate>
{{cite web |url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#3 |title=Cut-the-knot.org: Pythagorean theorem and its many proofs, Proof #3 |author=Alexander Bogomolny |date= |work=Cut the Knot |publisher= |accessdate=22 martie 2015}}
</ref> Triunghiurile sunt congruente, având aria <math>\tfrac12ab</math>, în timp ce pătratul mic are latura {{nowrap|''b'' − ''a''}} și aria {{nowrap|(''b'' − ''a'')<sup>2</sup>}}. Așadar, aria pătratului mare este:

:<math>(b-a)^2+4\frac{ab}{2} = (b-a)^2+2ab = a^2+b^2. \, </math>

Dar acesta este un pătrat de latură ''c'' și cu suprafața ''c''<sup>2</sup>, deci

:<math>c^2 = a^2 + b^2. \, </math>

O demonstrație similară folosește patru copii ale aceluiași triunghi, care sunt aranjate simetric în jurul unui pătrat de latură ''c'', după cum se poate observa în partea inferioară a diagramei.<ref>{{cite web |url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#4 |title=Cut-the-knot.org: Pythagorean theorem and its many proofs, Proof #4 |author=Alexander Bogomolny |date= |work=Cut the Knot |publisher= |accessdate=22 martie 2015}}</ref>  Astfel se formează un pătrat mai mare, de latură {{nowrap|''a'' + ''b''}} și arie {{nowrap|(''a'' + ''b'')<sup>2</sup>}}. Cele patru triunghiuri și pătratul de latură ''c'' au aceeași suprafață cu pătratul cel mare,

:<math>(b+a)^2 = c^2 + 4\frac{ab}{2} = c^2+2ab,\,</math>

ceea ce conduce la:

:<math>c^2 = (b+a)^2 - 2ab = a^2 + b^2.\,</math>

[[File:Garfield Pythagoras.svg|thumb|upright|Diagramă reprezentând demonstrația lui Garfield]]
O altă demonstrație, o variațiune a celor de mai sus, a fost publicată de președintele american [[James A. Garfield]].<ref name=Garfield>Published in a weekly mathematics column: {{cite journal |journal=The New England Journal of Education |volume=3 |page=161 |year=1876 |author=James A Garfield |ref=harv}} as noted in {{cite book |title=The mathematical universe: An alphabetical journey through the great proofs, problems, and personalities |url=http://books.google.com/?id=3tG_FRQ9N1QC&cd=1&dq=%22mathematical+universe%22+inauthor%3AWilliam+inauthor%3ADunham&q=New+England+Journal#search_anchor |author=William Dunham |year=1997 |publisher=Wiley |isbn=0-471-17661-3 |page=96 }} and in [http://www.math.usma.edu/people/rickey/hm/Dates/April.pdf A calendar of mathematical dates: 1 aprilie 1876] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100714153516/http://www.math.usma.edu/people/rickey/hm/Dates/April.pdf |date=2010-07-14 }} by V. Frederick Rickey</ref><ref name=animation>[http://math.colgate.edu/faculty/dlantz/pythpfs/garfldpf.html Prof. David Lantz' animation] from his [http://math.colgate.edu/faculty/dlantz/Pythpfs/Pythpfs.html web site of animated proofs]</ref> Diferența constă în utilizarea unui [[trapez]] în locul unui pătrat, acesta putând fi construit prin tăierea cu o dreaptă a pătratului mare reprezentat mai sus, în cadrul celei de-a doua demonstrații algebrice. Astfel, se obține trapezul reprezentat în diagramă. Deci suprafața trapezului este jumătate din cea a pătratului, adică

:<math>\frac{1}{2}(b+a)^2.</math>

Folosindu-se ecuația pătratului mare, vom aveam rezultatul înjumătățit pentru trapez. Raportul <math>\frac{1}{2}</math> se reduce, astfel că în final rămâne relația pitagoreică.

=== Demonstrația cu diferențiale ===
Se poate ajunge la teorema lui Pitagora prin intermediul studiului modului în care schimbările într-o latură produc o schimbare în ipotenuză, iar pentru această demonstrație se apelează la [[calcul infinitezimal|calcului diferențial și integral]].<ref name="Staring">
{{cite journal |doi=10.2307/2691395 |title=The Pythagorean proposition: A proof by means of calculus |author=Mike Staring |journal=Mathematics Magazine |publisher=Mathematical Association of America |volume=69 |number=1 |pages=45–46 |year=1996 |jstor=2691395 |ref=harv}}
</ref><ref name=M_Hardy>
{{cite web|url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras |title=Pythagorean Theorem |accessdate=2010-05-09 |last=Bogomolny |first=Alexander |work=[http://www.cut-the-knot.org/ Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles] |publisher=Alexander Bogomolny }}
</ref><ref>
{{cite journal |author= Bruce C. Berndt |title= Ramanujan—100 years old (fashioned) or 100 years new (fangled)? |journal= The Mathematical Intelligencer |volume= 10 |pages= 24 |year= 1988 |doi=10.1007/BF03026638 |ref= harv |issue= 3}}
</ref>

Triunghiul ''ABC'' este un triunghi drept, după cum se observă și în partea superioară a diagramei, iar ''BC'' este ipotenuza. În același timp, lungimile triunghiului sunt măsurate după cum se poate vedea în partea inferioară, cu ipotenuza de lungime ''y'', latura ''AC'' de lungime ''x'' și latura ''AB'' de lungime ''a''.

[[Fișier:Pythag differential proof.svg|thumb|Diagrama pentru demonstrația diferențială]]
Dacă ''x'' crește cu o valoare mică ''dx'' prin extinderea laturii ''AC'' către ''D'', atunci ''y'' de asemenea crește cu ''dy''. Acestea formează două laturi ale unui triunghi, ''CDE'', care (cu ''E'' ales astfel încât ''CE'' să fie perpendicular pe ipotenuză) este un triunghi dreptunghic aproximativ asemănător cu ''ABC''. De aceea, raporturile dintre laturile lor trebuie să fie la fel, adică:

:<math> \frac{dy}{dx} = \frac xy.</math>
Asta poate fi rescris după cum urmează:
:<math>y \cdot dy - x \cdot dx = 0.\,</math>
Aceasta este o [[ecuație diferențială]] care prin rezolvare dă
:<math>y^2 - x^2 = C,\,</math>
Iar constanta poate fi dedusă de la ''x'' = 0, ''y'' = ''a'' pentru a obține ecuația
:<math>y^2 = x^2 + a^2.\,</math>
Această demonstrație este mai degrabă intuitivă; se poate face și mai riguros dacă în locul valorilor ''dx'' și ''dy'' se folosesc limite.

==Alte forme==
După cum s-a arătat și în introducere, dacă ''c'' reprezintă [[lungime]]a ipotenuzei, iar ''a'' și ''b'' reprezintă lungimile celorlalte două laturi, teorema lui Pitagora poate fi exprimată sub forma unei relației pitagorice:

: <math>a^2 + b^2 = c^2 .\, </math>
Dacă sunt cunoscute lungimile ambelor catete ''a'' și ''b'' , atunci ''c'' poate fi calculat astfel:
: <math> c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,</math>
Dacă sunt cunoscute lungimea ipotenuzei ''c'' și a uneia dintre catete (''a'' sau ''b''), atunci lungimea celeilalte catete se poate calcula:
: <math>a = \sqrt{c^2 - b^2} \,</math>
sau
: <math>b = \sqrt{c^2 - a^2}. \,</math>

Teorema lui Pitagora oferă o relație de legătură între laturile unui triunghi dreptunghic într-un mod simplu, astfel că dacă sunt cunoscute lungimile la două dintre laturi, se poate calcula lungimea celei de a treia. Un corolar al teoremei spune că în orice triunghi dreptunghic, ipotenuza este mai mare decât oricare dintre catete, dar mai mică decât suma acestora.

O generalizare a teoremei pitagorice este [[teorema cosinusului]], care oferă posibilitatea de a calcula lungimea oricărei laturi a unui triunghi, dacă se cunosc lungimile a două dintre laturi și unghiul dintre ele. Dacă unghiul dintre ele două este un [[unghi drept]], atunci această teoremă se reduce la relația pitagorică.

==Reciproca==
[[Teoremă reciprocă|Reciproca teoremei]] este de asemenea adevărată:<ref name=Sally1>

{{cite book |title=Cited work |author=Judith D. Sally, Paul Sally |page=62 |chapter=Theorem 2.4 (Converse of the Pythagorean Theorem). |url=http://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA54
|isbn=0-8218-4403-2 |date=2007-12-21 }}
</ref>
<blockquote>Oricare ar fi trei numere pozitive '''a''', '''b''', '''c''' astfel încât '''a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>''' , există un triunghi cu laturi de lungimi '''a''', '''b''', '''c''', iar unghiul dintre laturile de lungimi '''a''' și '''b''' va fi drept.</blockquote>

O formulare alternativă a reciprocii este:

<blockquote>Pentru orice triunghi cu laturile ''a'', ''b'', ''c'', dacă {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> {{=}} ''c''<sup>2</sup>,}} atunci unghiul dintre laturile ''a'' și ''b'' are 90°.</blockquote>

Această reciprocă de asemenea apare în lucrarea ''Elemente'' a lui [[Euclid]] (Cartea I, Propoziția 48):<ref>
[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI48.html Euclid's Elements, Book I, Proposition 48] De la [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html D.E. Joyce's web page] la Clark University
</ref> <blockquote>"Dacă într-un triunghi pătratul unei dintre laturi este egal cu suma pătratelor laturilor rămas ale triunghiului, atunci unghiul dintre celelalte două laturi ale triunghiului este drept."</blockquote>

Poate fi demonstrată folosindu-se [[teorema cosinusului]] după cum urmează:

Fie ''ABC'' un triunghi cu laturile ''a'', ''b'' și ''c'' cu proprietatea că {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> {{=}} ''c''<sup>2</sup>.}} Fie un al doilea triunghi de lungime ''a'' și ''b'', ce conține un unghi drept. Conform teoremei lui Pitagora, rezultă că ipotenuza acestui triunghi are lungimea laturii ''c'' = {{radic|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>}}, la fel cu ipotenuza primului triunghi. Din moment ce laturile ambelor triunghiuri au aceleași lungimi ''a'', ''b'' și ''c'', triunghiurile sunt [[congruență (geometrie)|congruente]] și trebuie să aibă aceleași unghiuri. Astfel, unghiul dintre laturile de lungime ''a'' și ''b'' din triunghiul original este un unghi drept.

Demonstrația reciprocii de mai sus face apel însuși la teorema lui Pitagora, dar reciproca poate fi demonstrată și fără să se utilizeze această teoremă.<ref>Casey, Stephen, "The converse of the theorem of Pythagoras", ''[[Mathematical Gazette]]'' 92, July 2008, 309–313.</ref><ref>Mitchell, Douglas W., "Feedback on 92.47", ''Mathematical Gazette'' 93, March 2009, 156.</ref>

Un corolar ce derivă din reciproca teoremei lui Pitagora este o metodă simplă de a determina dacă un triunghi este dreptunghic, obtuzunghic sau ascuțitunghic. Fie ''c'' cea mai lungă dintre cele trei laturi și {{nowrap|''a'' + ''b'' > ''c''}} (altfel nu există acest triunghi conform [[Inegalitatea triunghiului|inegalității triunghiului]]). Atunci, sunt adevărate următoarele relații:<ref name=Wilczynski>
{{cite book |title=Plane trigonometry and applications |author=Ernest Julius Wilczynski, Herbert Ellsworth Slaught |page=85 |url=http://books.google.com/?id=vxk3AAAAMAAJ&pg=PA85 |chapter=Theorem 1 and Theorem 2 |year=1914 |publisher=Allyn and Bacon}}
</ref>
* Dacă {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> {{=}} ''c''<sup>2</sup>,}} atunci triunghiul este dreptunghic.
* Dacă {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> > ''c''<sup>2</sup>,}} atunci triunghiul este ascuțitunghic.
* Dacă {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> < ''c''<sup>2</sup>,}} atunci triunghiul este obtuzunghic.

[[Edsger Dijkstra]] a enunțat această propoziție despre triunghiul ascuțitunghic, obtuzunghic și dreptunghic în următorul limbaj matematic:

:{{nowrap|sgn(''α'' + ''β'' − ''γ'') {{=}} sgn(''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> − ''c''<sup>2</sup>),}}

unde ''α'' este unghiul opus laturii ''a'', ''β'' este unghiul opus laturii ''b'', ''γ'' este unghiul opus laturii ''c'', iar sgn reprezintă [[funcția signum]].<ref>{{cite web|url=http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd09xx/EWD975.PDF|title=Dijkstra's generalization|format=PDF}}</ref>

==Consecințe și utilizări==
===Triplete pitagoreice===
{{Main|Triplet pitagoreic}}
Un triplet pitagoreic (sau numere pitagoreice) conține trei numere pozitive [[număr întreg|întregi]] ''a'', ''b'' și ''c'', astfel încât {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> {{=}} ''c''<sup>2</sup>.}} Cu alte cuvinte, un triplet pitagoreic reprezintă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic astfel încât lungimile tuturor laturilor au valori numere întregi.<ref name=Sally0/><ref>{{citat web |url=http://recreatiimatematice.ro/arhiva/complementare/RM12003CRASMAREANU.pdf |titlu=Câteva probleme privind triplete pitagoreice |nume=Crâșmăreanu |prenume=Mircea |autor= |format=pdf |doi= |datăaccesare= 13 martie|anaccesare=2015}}</ref> Observații asupra monumentelor megalitice din Europa Nordică arată evidențe ale faptului că aceste triplete erau cunoscute cu mult timp înainte de descoperirea scrisului. Un triplet scris în mod obișnuit este {{nowrap|(''a'', ''b'', ''c'').}} Alte exemple bine-cunoscute sunt {{nowrap|(3, 4, 5)}} și {{nowrap|(5, 12, 13).}}

Un triplet pitagoreic primitiv este unul în care ''a'', ''b'' și ''c'' sunt [[Numere prime între ele|prime între ele]] (adică [[cel mai mare divizor comun]] al lui ''a'', ''b'' și ''c'' este 1).

Următoarea este o listă de triplete pitagoreice primitive cu valori mai mici decât 100:
<!-- Nu adăugați alte exemple de triplete NEPRIMITIVE listei, cum ar fi (6,8,10) sau (15,20,25) sau (10,24,26). -->

:(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

===Lungimi incomensurabile===
[[File:Euclid Corollary 5.svg|thumb|Spirala lui Teodor din Cirene: o construcție formată din triunghiuri dreptunghice, iar ipotenuzele sunt rădăcinile pătrate ale numerelor întregi pozitive.]]

Una dintre urmările teoremei lui Pitagora este aceea că dreptele a căror lungimi sunt ''incomensurabile'' (adică raportul dintre ele nu este un [[număr rațional]]) pot fi construite [[Construcții geometrice cu rigla și compasul|cu ajutorul riglei și compasului]]. Teorema lui Pitagora oferă posibilitatea construirii unor segmente de lungimi incomensurabile deoarece ipotenuza unui triunghi este legată de operația numită [[rădăcină pătrată]].

În figura din dreapta este ilustrat modul de construcție al unui segment a cărui lungime este rădăcina pătrată a oricărui număr întreg pozitiv, prin referire la alte două segmente.<ref name=Euclid_5>{{cite book |title=The Elements of Euclid: with many additional propositions, and explanatory notes, to which is prefixed an introductory essay on logic |first=Henry |last=Law |publisher=John Weale |year=1853 |url=http://books.google.com/?id=Ssb_OnVOGLgC&pg=PA49 |page=49 |chapter=Corollary 5 of Proposition XLVII (''Pythagoras's Theorem'')}}</ref> Fiecare triunghi are o latură (numerotată cu ''1'') care este aleasă ca unitate de măsură. În fiecare dintre triunghiurile dreptunghice, teorema lui Pitagora stabilește lungimea ipotenuzei în conformitate cu unitatea. Dacă ipotenuza se calculează prin rădăcina pătrată a sumei catetelor (a căror valori sunt: unitatea iar alta orice număr natural) și suma nu este un pătrat perfect, atunci desenul ipotenuzei reprezintă trasarea unei lungimi incomensurabile. De exemplu, astfel sunt {{radic|2}}, {{radic|3}}, {{radic|5}}&nbsp;.

Lungimile incomensurabile erau în conflict cu conceptele școlii [[Pitagora|pitagoreice]], în care numai numerele întregi erau numere. Proporțiile erau realizate prin compararea [[multiplu|multiplilor întregi]] a unei subunități comune.<ref name=Lavine0>

{{cite book |title=Understanding the infinite |author=Shaughan Lavine |page=13 |url=http://books.google.com/books?id=GvGqRYifGpMC&pg=PA13 |isbn=0-674-92096-1 |year=1994 |publisher=Harvard University Press}}

</ref> Conform unei legende, [[Hippasos|Hippasos din Metaponte]] (''ca.'' 470&nbsp;î.Hr.) a fost înecat în mare pentru că a descoprit existența numerelor iraționale sau a incomensurabilității.<ref name=drown>

{{Harv|Heath|1921|loc= Vol I, pp. 65}}; Hippasus was on a voyage at the time, and his fellows cast him overboard. See {{cite journal |author= James R. Choike |title= The pentagram and the discovery of an irrational number |journal=The College Mathematics Journal |volume=11 |pages=312–316 |year=1980 |ref= harv}}

</ref><ref name=Fritz>
O discuție detaliată despre contribuțiile lui Hippasos se găsesc în
{{cite journal |title=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum |author=Kurt Von Fritz |journal=Annals of Mathematics | series = Second Series|volume= 46 |date=Apr 1945|pages= 242–264 |jstor=1969021 |issue= 2 |publisher=Annals of Mathematics |ref=harv}}

</ref>

===Numere complexe===
[[Fișier:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|Valoarea absolută a unui număr complex ''z'' este distanța ''r'' de la ''z'' până la origine]]
Pentru orice [[număr complex]]
:<math>z = x + iy,\,</math>
[[valoare absolută|valoarea absolută]] este dată de
:<math>r = |z|=\sqrt{x^2 + y^2}.\,</math>
Așadar cele trei numere, ''r'', ''x'' și ''y'' sunt legate prin relația pitagoreică,
:<math>r^2 = x^2 + y^2.\,</math>
Trebuie menționat faptul că ''r'' este definit ca fiind un număr pozitiv sau zero, dar ''x'' și ''y'' pot fi sau negative sau pozitive. Din punct de vedere geometric, ''r'' este distanța lui ''z'' de la zero sau din punctul de origine ''O'' în [[planul complex]].

Această relație poate fi generalizată pentru găsirea distanței dintre două punte, cum ar fi ''z''<sub>1</sub> și ''z''<sub>2</sub>. Distanța căutată este dată de relația
:<math>|z_1 - z_2|=\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2},\,</math>
care din nou este o versiune a relației pitagorice,
:<math>|z_1 - z_2|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2.\,</math>

===Distanțe euclidiene===
{{main|Distanța euclidiană}}
Formula pentru distanță aplicabilă în [[coordonate carteziene]] este derivată din teorema lui Pitagora.<ref name=Macdonald>

{{cite book |title=Mastering algorithms with Perl |author=Jon Orwant, Jarkko Hietaniemi, John Macdonald |url=http://books.google.com/books?id=z9xMfXGoWd0C&pg=PA426 |page=426 |chapter=Euclidean distance |isbn=1-56592-398-7 |year=1999 |publisher=O'Reilly Media, Inc}}

</ref> Dacă {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}} și {{nowrap|(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>)}} sunt puncte dintr-un plan, atunci distanța dintre ele, de asemenea cunoscută și ca [[Distanța euclidiană|distanță euclidiană]], este dată de formula:

:<math> \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}. </math>

Mai general, într-un [[spațiu euclidian]] de ordinul ''n'', distanța euclidiană dintre două puncte, <math>A\,=\,(a_1,a_2,\dots,a_n)</math> și <math>B\,=\,(b_1,b_2,\dots,b_n)</math>, este definită, prin generalizarea teoremei lui Pitagora, ca:

:<math>\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}.</math>

Dacă nu sunt folosite coordonatele carteziene și, de exemplu, sunt folosite [[coordonate polare]] în două dimensiuni, formulele ce exprimă distanța euclidiană sunt mult mai complicate decât teorema lui Pitagora, dar pot fi derivate plecând de la aceasta. Un exemplu tipic în care distanța dintre două puncte este convertită în coordonate curbilinii poate fi găsit în cadrul [[Polinoamele lui Legendre|aplicațiilor polinomialelor lui Legendre în fizică]]. Formulele pot fi deduse folosindu-se teorema lui Pitagora cu ecuațiile ce fac legătura dintre coordonatele curbilinii și cele carteziene. De exemplu, coordonatele polare {{nowrap|(''r'', ''θ'')}} pot fi scrise ca:
:<math> x = r \cos \theta, \ y = r \sin \theta.\, </math>

Cele două puncte cu locațiile {{nowrap|(''r''<sub>1</sub>, ''θ''<sub>1</sub>)}} și  {{nowrap|(''r''<sub>2</sub>, ''θ''<sub>2</sub>)}} sunt separate de distanța ''s'':

:<math>s^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 = (r_1 \cos \theta_1 -r_2 \cos \theta_2 )^2 + (r_1 \sin \theta_1 -r_2 \sin \theta_2)^2.\, </math>
Combinând termeni și rezolvând diferite operații în pătrate, formula lui Pitagora în coordonate carteziene produce separarea în coordonate polare după cum urmează:
:<math>\begin{align}s^2 &= r_1^2 +r_2^2 -2 r_1 r_2 \left( \cos \theta_1 \cos \theta_2 +\sin \theta_1 \sin \theta_2 \right)\\
 &= r_1^2 +r_2^2 -2 r_1 r_2 \cos \left( \theta_1 - \theta_2\right)\\
 &=r_1^2 +r_2^2 -2 r_1 r_2 \cos \Delta \theta, \end{align}\,</math>
folosind [[Identități trigonometrice#Identit.C4.83.C8.9Bile produselor prin sum.C4.83 .C8.99i al sumelor prin produse|formule pentru identitățile produselor prin sumă]]. Această formulă este cunoscută ca [[teorema cosinusului]], câteodată numită și Teorema lui Pitagora Generalizată.<ref>{{Cite book
|title=Plane Trigonometry and Tables
|first1=George
|last1=Wentworth
|publisher=BiblioBazaar, LLC
|year=2009
|isbn=1-103-07998-0
|page=116
|url=http://books.google.com/?id=Z-O57gUYmIgC
|postscript=<!--None-->}}, [http://books.google.com/books?id=Z-O57gUYmIgC&pg=PA116 Exerciții, pagina 116]
</ref>

===Identitatea trigonometrică pitagoreică===
[[Fișier:Trig functions.svg|thumb|Triunghiuri asemenea dreptunghice, în care sunt reprezentate sinusul și cosinusul unghiului θ]]
Într-un triunghi drept cu catetele ''a'', ''b'' și ipotenuza ''c'', din punct de vedere [[trigonometrie|trigonometric]] sunt determinate [[sinus]]ul și [[cosinus]]ul unghiului ''θ'' dintre latura ''a'' și ipotenuză astfel:
:<math>\sin \theta = \frac{b}{c}, \quad \cos \theta = \frac{a}{c}.</math>

De unde se deduce că:

:<math> {\cos}^2 \theta + {\sin}^2 \theta = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1,</math>

unde ultima ecuație aplică teorema lui Pitagora. Această relație dintre sinus și cosinus este câteodată denumită identitatea trigonometrică pitagoreică fundamentală.<ref name= Leff>
{{cite book |title=PreCalculus the Easy Way |author=Lawrence S. Leff |url=http://books.google.com/?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA296 |page=296 |isbn=0-7641-2892-2 |edition=7th |publisher=Barron's Educational Series |year=2005}}
</ref> În triunghiuri asemenea, raportul dintre laturi este același indiferent de mărimile lor, și depinde de unghiuri. Astfel, în figură, triunghiul cu ipotenuza de mărime egală cu 1 are cateta opusă de mărimea sin&thinsp;''θ'' și cateta alăturată de mărimea cos&thinsp;''θ''.

===Produsul vectorial===
[[Fișier:Cross product parallelogram.svg|right|thumb|Suprafața unui paralelogram ca produs vectorial; vectorii '''a''' și '''b''' determină un plan iar {{nowrap|'''a × b'''}} este normala acestui plan.]]
Teorema lui Pitagora are o legătură strânsă și cu [[produs vectorial|produsul vectorial]] și cu [[produs scalar|produsul scalar]]:<ref name=Massey>
{{cite journal |doi=10.2307/2323537 |title=Cross products of vectors in higher-dimensional Euclidean spaces |author=WS Massey |journal=The American Mathematical Monthly |volume=90 |date=Dec 1983 |pages=697–701 |jstor=2323537 |issue=10 |publisher=Mathematical Association of America |ref=harv}}
</ref>

:<math> \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2 + (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = \|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2.\,</math>

Această relație poate fi privită prin definiția produsului vectorial și scalar ca:

:<math>\begin{align} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= ab \mathbf{n} \sin{\theta} \\
 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= ab \cos{\theta}, \end{align}</math>

unde '''n''' este un [[versor]] normal pentru '''a''' și '''b'''. Relația se deduce prin aceste definiții și prin identitatea trigonometrică pitagoreică.

Aceasta poate fi de asemenea definită și prin produs scalar. Prin rearanjarea ecuației următoare se obține:

:<math> \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2 = \|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2.\,</math>

Această relație poate fi considerată ca o condiție în produsul scalar și astfel parte din definiția sa.<ref name=n_dimensions>{{cite book |title=Clifford algebras and spinors |author=Pertti Lounesto |url=http://books.google.com/?id=kOsybQWDK4oC&pg=PA96 |page=96 |chapter=§7.4 Cross product of two vectors |isbn=0-521-00551-5 |year=2001 |publisher=Cambridge University Press |edition=2nd }}{{Legătură nefuncțională|date=februarie 2023 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref><ref name=Hildebrand>
{{cite book |title=Methods of applied mathematics |author=Francis Begnaud Hildebrand |page=24 |url=http://books.google.com/?id=17EZkWPz_eQC&pg=PA24|isbn=0-486-67002-3 |edition=Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd|publisher=Courier Dover Publications |year=1992}}
</ref>

== Generalizări ==
=== Figuri asemenea pe triunghiuri ===
O generalizare a teoremei lui Pitagora are la bază pătratele plasate pe laturile unui triunghi dreptunghic. Proprietățile referitoare la figurile asemenea plasate pe laturile unui triunghi erau cunoscute deja de [[Hipocrate din Chios]] din secolul V î.Hr.,<ref>Heath, T. L., ''A History of Greek Mathematics'', Oxford University Press, 1921; reprinted by Dover, 1981.</ref> și a fost inclusă de [[Euclid]] în lucrarea sa, ''Elementele'':<ref name=Euclid_VI>Euclid's ''Elements'': Book VI, Proposition VI 31: "In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle."</ref>

<blockquote>Dacă cineva construiește figuri asemenea pe fiecare dintre laturile corespondente laturilor unui triunghi dreptunghi, atunci suma suprafețelor figurilor de pe laturile mici (catete) este egală cu suprafața figurii de pe latura mare (ipotenuză). </blockquote>

Această extindere presupune că laturile triunghiului original sunt laturile corespondente ale celor trei figuri congruente (așadar raportul dintre laturile figurilor asemenea de pe triunghi este ''a:b:c'').<ref name=Putz>Putz, John F. and Sipka, Timothy A. "On generalizing the Pythagorean theorem", ''The College Mathematics Journal'' 34 (4), September 2003, pp. 291–295.</ref> Dacă demonstrația lui Euclid avea aplicabilitate numai pentru poligoanele convexe, teorema se aplică de asemenea și poligoanelor concave și chiar figurilor asemenea cu margini curbe (dar care au o parte din figură legată de una dintre laturile triunghiului).<ref name=Putz/>

Ideea de bază a acestei generalizări este aceea că suprafața unei figuri plane este [[Proporționalitate (matematică)|proporțională]] cu pătratul oricărei dimensiuni liniare, și în particular este proporțională cu pătratul lungimii oricărei laturi. Astfel, dacă figurile asemenea de laturi ''A'', ''B'' și ''C'' sunt construite cu lungimile corespunzătoare ''a'', ''b'' și ''c'', atunci:

:<math>\frac{A}{a^2} = \frac{B}{b^2} = \frac{C}{c^2}\, ,</math>
:<math>\Rightarrow A + B = \frac{a^2}{c^2}C + \frac{b^2}{c^2}C\, .</math>

Dar, conform teoremei lui Pitagora, ''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> = ''c''<sup>2</sup>, așadar ''A'' + ''B'' = ''C''.

În schimb, dacă se poate demonstra faptul că este adevărată expresia ''A'' + ''B'' = ''C'' pentru trei figuri asemenea fără să se folosească teorema lui Pitagora, atunci este posibil să se lucreze invers pentru a se realiza o demonstrație a teoremei. De exemplu, triunghiul central poate fi replicat și folosit ca un triunghi ''C'' pe ipotenuza sa, și două triunghiuri dreptunghice asemenea (''A'' și ''B'' ) construite pe catetele sale, formate prin divizarea triunghiului central cu ajutorul înălțimii sale. Suma suprafețelor triunghiurilor mai mici este așadar egală cu suprafața celui de-al treilea triunghi, astfel ''A'' + ''B'' = ''C'' și inversând logica precedentă se ajunge la expresia teoremei lui Pitagora, a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>.
{|
| [[File:Pythagoras applied to similar triangles.svg|thumb|size=75%|Generalizare pentru triunghiuri asemenea,<br>aria verde {{nowrap|A + B {{=}} }} aria albastră C]]
| [[File:Pythagoras by similar triangles.svg|thumb|Teorema lui Pitagora dacă se folosesc triunghiuri dreptunghice asemenea]]
| [[File:Pythagoras by pentagons.svg|thumb|size=75%|Generalizare pentru pentagoane regulate asemenea]]
|}

=== Triunghiuri oarecare ===
[[File:Tâbit ibn Qorra.svg|thumb|Generalizarea teoremei lui Pitagora realizată de [[Thabit ibn Qurra|Tâbit ibn Qorra]].<ref name=Eves>

{{cite book |title=Great moments in mathematics (before 1650) |author=Howard Whitley Eves |url=http://books.google.com/books?id=9_w5jDPTvCQC&pg=PA41 |chapter=§4.8:...generalization of Pythagorean theorem |isbn=0-88385-310-8 |year=1983 |page=41 |publisher=Mathematical Association of America}}

</ref> Partea de jos: reflexa triunghiului ABD (de sus) care formează triunghiul DBA, asemenea cu triunghiul ABC (de sus).]]

Se selectează orice unghi al unui triunghi oarecare de laturi ''a, b, c'', și se înscrie acesta într-un triunghi isoscel astfel încât unghiurile egale de la baza sa, notate cu θ, sunt egale cu unghiul selectat anterior. Se presupune că unghiul selectat θ se opune laturii notate cu ''c''. Prin înscrierea triunghiului isoscel se formează triunghiul ''ABD'' cu unghiul θ opus laturii ''a'' și cu latura ''r'' ce aparține de ''c''. Un al doilea triunghi se formează cu unghiul θ opus laturii ''b'' și cu latura ''s'' ce aparține de ''c'', conform figurii. [[Thabit ibn Qurra|Tâbit ibn Qorra]]<ref name=Qorra>Tâbit ibn Qorra (numele întreg Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826–901&nbsp;AD) a fost un fizician ce a trăit în Bagdad și a scris o multitudine asupra Elementele lui Euclid și alte subiecte matematice.</ref> a spus că între laturile celor trei triunghiuri există următoarea relație:<ref name=Sayii>

{{cite journal |doi=10.1086/348837 |jstor=227603 |author=Aydin Sayili |date=Mar 1960 |title= Thâbit ibn Qurra's Generalization of the Pythagorean Theorem |journal= Isis |volume= 51 |issue=1 |pages= 35–37 |ref=harv}}</ref><ref name=Sally2>

{{cite book |title=Roots to Research: A Vertical Development of Mathematical Problems |author=Judith D. Sally, Paul Sally |chapter=Exercise 2.10 (ii) |page=62 |url=http://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA62
|isbn=0-8218-4403-2 |date=2007-12-21 }}
</ref>
:<math> a^2 +b^2 =c(r+s) \ . </math>
Pe măsură ce unghiul θ se apropie de π/2, baza triunghiului isoscel se micșorează, iar lungimile ''r'' și ''s'' se confundă tot mai mult, devenind un singur segment. Când θ = π/2, ''ADB'' devine un triunghi dreptunghic, ''r'' + ''s'' = ''c'', ceea ce amintește de relația lui Pitagora.

O demonstrație punctează faptul că triunghiul ''ABC'' are aceleași unghiuri cu triunghiul ''ABD'', dar în ordine inversă (cele două triunghiuri au un unghi comun în vârful B, ambele conțin unghiul θ, așadar au același al treilea unghi conform postulatului triunghiului). Prin urmare, '''ABC''' este asemenea cu reflexia lui ''ABD'', adică triunghiul ''DBA'' din partea de jos a figurii. Considerând raportul laturilor opuse și adiacente lui θ, atunci
:<math>\frac{c}{a} = \frac{a}{r} \ .</math>
De asemenea, pentru reflexia celuilalt triunghi,
:<math>\frac{c}{b} = \frac{b}{s} \ . </math>
Prin calcule algebrice se ajunge la egalitatea:
:<math> cr +cs = a^2 +b^2 \ , </math>
rezultatul căutat.

Teorema rămâne validă dacă unghiul <math> \theta </math> este obtuz iar lungimile ''r'' și ''s'' nu se suprapun.

=== Teorema cosinusului ===
[[File:Law of cosines2.svg|x200px|thumb|Decalajul sau separarea ''s'' dintre două puncte {{nowrap|(r<sub>1</sub>, θ<sub>1</sub>)}} și {{nowrap|(r<sub>2</sub>, θ<sub>2</sub>)}} în [[coordonate polare]] este dată de [[teorema cosinusului]]. Unghiul intern Δθ = θ<sub>1</sub>−θ<sub>2</sub>.]]
{{Articol principal|Teorema lui Pitagora generalizată}}
Teorema lui Pitagora  este un caz particular pentru o teorema mai generalizată care exprimă legături dintre laturile oricărui triunghi, numită [[teorema cosinusului]] sau, sugestiv, [[teorema lui Pitagora generalizată]], care este exprimată astfel:<ref name= Leff1>

{{cite book |title=''cited work'' |author=Lawrence S. Leff |url=http://books.google.com/?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA326 |page=326 |isbn=0-7641-2892-2 |publisher=Barron's Educational Series |date=2005-05-01}}

</ref>

: <math>a^2+b^2-2ab\cos{\theta}=c^2, \,</math>
unde θ este unghiul dintre laturile <math>a\,</math> și <math>b\,</math>.

Când θ este de 90 de grade, atunci cos''θ'' = 0, astfel formula se reduce la simpla relație a lui Pitagora.

=== Geometrie spațială ===
{{main|Stereometrie}}
[[File:Pythagoras 3D.svg|thumb|Teorema lui Pitagora în trei dimensiuni realizează legătura dintre diagonala AD și cele trei laturi.]]
[[File:Tetrahedron vertfig.svg|thumb|Un tetraedru care a cărui vârf este format din unghiuri drepte]]
În stereometrie, sau geometrie spațială, teorema lui Pitagora poate fi aplicată în trei dimensiuni după cum urmează. Se consideră un solid dreptunghiular după cum se poate observa și în figură. Lungimea diagonalei ''BD'' se regăsește în teorema lui Pitagora astfel:

:<math> \overline{BD}^{\,2} = \overline{BC}^{\,2} + \overline{CD}^{\,2} \ ,</math>

unde aceste trei laturi formează un triunghi dreptunghi. Folosind diagonala orizontală ''BD'' și latura verticală ''AB'', lungimea diagonalei ''AD'' se găsește printr-o a doua aplicare a teoremei lui Pitagora astfel:

:<math> \overline{AD}^{\,2} = \overline{AB}^{\,2} + \overline{BD}^{\,2} \ ,</math>
sau, dacă se face totul odată:
:<math> \overline{AD}^{\,2} = \overline{AB}^{\,2} + \overline{BC}^{\,2} + \overline{CD}^{\,2} \ .</math>

Acest rezultat este expresia tridimensională pentru magnitudinea unui vector '''v''' (diagonala AD) referindu-se la componentele lui ortogonale {'''v'''<sub>k</sub>} (cele trei laturi perpendiculare):

:<math>\|\mathbf{v}\|^2 = \sum_{k=1}^3 \|\mathbf{v}_k\|^2.</math>

Această formulare scurtă poate fi privită ca o generalizare a teoremei lui Pitagora pentru dimensiuni mai mari. Totuși, acest rezultat este dat doar de aplicarea repetată a teoremei originale a lui Pitagora asupra unei succesiuni de triunghiuri dreptunghice într-o secvență de planuri ortogonale.

O generalizare substanțială a teoremei lui Pitagora în spațiul tridimensional este [[teorema lui De Gua]], numită astfel după [[Jean-Paul de Gua de Malves]]: Dacă un [[tetraedru]] are un vârf format din unghiuri drepte (cum este colțul unui [[cub]]), atunci pătratul ariei feței opuse acestui vârf este egal cu suma pătratelor ariilor celorlalte trei fețe. Acest rezultat poate fi generalizat într-o așa-zisă ''teoremă a lui Pitagora n-dimensională'':<ref name=Bhatia>

{{cite book |title=Matrix analysis |author=Rajendra Bhatia |url=http://books.google.com/?id=eay3HALl620C&pg=PA21 |page=21 |isbn=0-387-94846-5 |year=1997 |publisher=Springer}}

</ref>
{{Cquote|Fie <math>x_1, x_2, \ldots,x_n \,</math> vectori ortogonali pe ℝ<sup>n</sup>. Se consideră simplexurile ''n''-dimensionale  ''S'' de vârfuri <math>0,x_1,\ldots, x_n\,</math>. (Se poate asemăna un simplex (''n''&nbsp;−&nbsp;1)-dimensional de vârfuri <math>x_1,\ldots,x_n\,</math>, neincluzând originea, ca „ipotenuza” lui ''S'' și fețele rămase (''n''&nbsp;−&nbsp;1)-dimensionale ale lui ''S'' ca și catetele sale). Atunci pătratului volumului ipotenuzei lui ''S'' este egal cu suma pătratelor volumelor „catetelor” ''n''.}}

Această propoziție este ilustrată în trei dimensiuni cu ajutorul tetraedrului din figură. „Ipotenuza” este baza tetraedrului din spatele figurii, iar „catetele” sunt cele trei laturi care se întâlnesc în vârful din fața figurii. Pe măsură ce se mărește distanța dintre bază și vârf, la fel crește și suprafața „catetelor”, în timp ce cea a bazei rămâne fixă. Teorema sugerează faptul că atunci când această distanță atinge o valoare ce permite unghiuri drepte în jurul vârfului, generalizarea teoremei lui Pitagora are aplicabilitate. CU alte cuvinte:<ref name=Wong>Pentru o discuție extinsă referitoare la această generalizare, vezi, de exemplu, [http://www.dpmms.cam.ac.uk/~ww278/papers/gp.pdf Willie W. Wong] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091229111557/http://www.dpmms.cam.ac.uk/~ww278/papers/gp.pdf |date=2009-12-29 }} 2002, ''A generalized n-dimensional Pythagorean theorem'' (engleză).</ref>
{{cquote|Pentru un simplex ''n''-dreptunghiular și ''n''-dimensional, pătratul conținutului (''n''&nbsp;−&nbsp;1) feței opuse vârfului drept este egal cu suma pătratelor conținutului (''n''&nbsp;−&nbsp;1) a fețelor rămase.}}

=== Spații prehilbertiene ===
{{main|Spațiu Hilbert}}
[[File:Parallelogram equality.svg|thumb|Vectorii și legea paralelogramului]]

Teorema lui Pitagora poate fi generalizată în [[spațiu prehilbertian|spațiile prehilbertiene]], adică spații de produs vectorial,<ref name=van_der_Heijden>

{{cite book |title=Classification, parameter estimation, and state estimation |author=Ferdinand van der Heijden, Dick de Ridder |url=http://books.google.com/books?id=krSB9PIKMSYC&pg=PA357 |page=357 |isbn=0-470-09013-8 |year=2004 |publisher=Wiley}}

</ref> care sunt generalizări ale [[spațiu euclidian|spațiilor euclidiene]] [[spațiu bidimensional|bidimensionale]] și [[spațiu tridimensional|tridimensionale]]. De exemplu, o [[funcție (matematică)|funcție]] poate fi considerată ca un [[spațiu vectorial|vector]] cu un număr infinit de componente într-un spațiu prehilbertian, ca în analiza funcțională.<ref name=Lin>

{{cite book |title=Finite element methods: accuracy and improvement |author=Qun Lin, Jiafu Lin |url=http://books.google.com/books?id=cMvAqzMuAWgC&pg=PA23 |page=23 |isbn=7-03-016656-6 |year=2006 |publisher=Elsevier}}

</ref>

Într-un spațiu prehilbertian, conceptul de [[perpendicularitate]] este înlocuit de conceptul de [[ortogonalitate]] doi vectori '''v''' și '''w''' sunt ortogonali dacă produsul lor scalar <math> \langle \mathbf{v} , \mathbf{w}\rangle </math> este zero. Spațiul prehilbertian, numit și spațiu de produs scalar, este o generalizare a [[produs scalar|produsului scalar]] dintre vectori.<ref name=Rorres>

{{cite book |title=Elementary Linear Algebra: Applications Version |author=Howard Anton, Chris Rorres |url=http://books.google.com/books?id=1PJ-WHepeBsC&pg=PA336 |page=336 |isbn=0-470-43205-5 |year=2010 |edition=10th |publisher=Wiley}}

</ref>

Conceptul de lungime este înlocuit de conceptul de [[Spațiu vectorial normat|normă]] ||'''v'''|| unui vector '''v''', definită ca:<ref name=Saxe>

{{cite book |title=Beginning functional analysis |author=Karen Saxe |url=http://books.google.com/books?id=QALoZC64ea0C&pg=PA7 |page=7 |chapter=Theorem 1.2 |isbn=0-387-95224-1 |year=2002 |publisher=Springer}}

</ref>
:<math>\lVert \mathbf{v} \rVert \equiv \sqrt{\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle} \, .</math>

Întru-un spațiu prehilbertian, '''teorema lui Pitagora''' spune că pentru oricare vectori ortogonali '''v''' și '''w''' avem

:<math>\left\| \mathbf{v} + \mathbf{w} \right\|^2 = \left\| \mathbf{v} \right\|^2 + \left\| \mathbf{w} \right\|^2 .</math>

Aici, vectorii '''v''' și '''w''' sunt oarecum înrudiți cu laturile unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza egală cu suma vectorială '''v'''&nbsp;+&nbsp;'''w'''. Această formă a teoremei lui Pitagora este o consecvență a proprietăților produsului scalar:
:<math>\left\| \mathbf{v} + \mathbf{w} \right\|^2 =\langle \mathbf{ v+w},\ \mathbf{ v+w}\rangle = \langle \mathbf{ v},\ \mathbf{ v}\rangle +\langle \mathbf{ w},\ \mathbf{ w}\rangle +\langle\mathbf{ v,\ w }\rangle + \langle\mathbf{ w,\ v }\rangle \ = \left\| \mathbf{v}\right\|^2 + \left\| \mathbf{w}\right\|^2, </math>
unde produsul scalar ar termenilor este zero, datorită ortogonalității.

O generalizare mai profundă a teoremei lui Pitagora legată de spațiile prehilbertiene, referitoare la vectorii neortogonali, este ''[[teorema paralelogramului]]'':<ref name=Saxe/>

:<math>2\|\mathbf v\|^2 +2 \|\mathbf w\|^2 = \|\mathbf {v + w} \|^2 +\| \mathbf{v-w}\|^2 \ , </math>

care spune că dublul sumei pătratelor lungimilor laturilor unui paralelogram este egal cu suma pătratelor lungimilor diagonalelor. Orice normă care satisface această egalitate este o normă corespondentă unui produs scalar.<ref name=Saxe/>

{{anchor|Decomposition}}
Identitatea pitagoreică poate fi extinsă la sume pentru mai mult de doi vectori ortogonali. Dacă '''v'''<sub>''1''</sub>, '''v'''<sub>''2''</sub>, ..., '''v'''<sub>''n''</sub> sunt vectori ortogonali perechi într-un spațiu prehilbertian, atunci aplicarea teoremei lui Pitagora pentru perechi succesive formate din acești vectori ia forma relației<ref name='Douglas1998'>{{cite book | last = Douglas | first = Ronald G. | title = Banach Algebra Techniques in Operator Theory, 2nd edition | publisher = Springer-Verlag New York, Inc | year = 1998 | location = New York, New York | pages = 60–1 | url = http://books.google.com/?id=-OdfXeNmrT0C&pg=PA60#v=onepage&q | isbn = 978-0-387-98377-6}}</ref>
:<math>\|\sum_{k=1}^{n}\mathbf{v}_k\|^2 = \sum_{k=1}^n \|\mathbf{v}_k\|^2.</math>

=== Geometrie neeuclidiană ===
{{main|Geometrie neeuclidiană}}
Teorema lui Pitagora are la bază axiomele folosite în [[geometrie euclidiană|geometria euclidiană]], dar, de fapt, ea nu are valabilitate în geometriile neeuclidiene.<ref name=false>

{{cite book |title=''cited work'' |author=Stephen W. Hawking |page=4 |url=http://books.google.com/books?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA4 |isbn=0-7624-1922-9 |year=2005}}

</ref> (S-a arătat că teorema lui Pitagora este de fapt, [[Axioma paralelelor#Alte enunțuri echivalente|echivalentă cu axioma paralelelor]], adică al cincilea postulat al lui Euclid <ref name=Parallel>

{{cite book |title=CRC concise encyclopedia of mathematics |author= Eric W. Weisstein |url=http://books.google.com/books?id=aFDWuZZslUUC&pg=PA2147 |page=2147 |quote=The parallel postulate is equivalent to the ''Equidistance postulate'', ''Playfair axiom'', ''Proclus axiom'', the ''Triangle postulate'' and the ''Pythagorean theorem''. |edition=2nd |isbn=1-58488-347-2 |year=2003}}

</ref><ref name= Pruss>

{{cite book |title=The principle of sufficient reason: a reassessment |author= Alexander R. Pruss |quote=We could include...the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate. |isbn=0-521-85959-X |year=2006 |publisher=Cambridge University Press |page=11 |url=http://books.google.com/books?id=8qAxk1rXIjQC&pg=PA11}}

</ref>).
Cu alte cuvinte, în geometria neeuclidiană, relația dintre laturile unui triunghi trebuie să aibă o formă diferită de relația pitagoreică. De exemplu, în [[geometrie sferică|geometria sferică]], toate cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic (cum ar fi ''a'', ''b'' și ''c'') au lungimea egală cu π/2, și toate unghiurile sale sunt drept, ceea ce se află în contradicție cu teorema lui Pitagora, deoarece {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> ≠ ''c''<sup>2</sup>.}}

Mai jos sunt considerate două cazuri în geometrii neeuclidiene: sferică și hiperbolică. În fiecare caz, ca și în cazul euclidian pentru triunghiuri care nu sunt dreptunghice, rezultatul se află având ca punct de plecare [[teorema cosinusului]].

Totuși, teorema lui Pitagora rămâne adevărată în geometriile hiperbolică și eliptică [[dacă și numai dacă]] suma a două unghiuri este egală cu al treilea, adică ''A''+''B'' = ''C''. Laturile sunt apoi relaționate astfel: suma suprafețelor cercurilor de diametre ''a'' și ''b'' sunt egale cu diametrul ''c''.<ref>{{cite journal|author=Victor Pambuccian|title=Maria Teresa Calapso's Hyperbolic Pythagorean Theorem|journal=The Mathematical Intelligencer|volume=32|date=December 2010|page =2|doi=10.1007/s00283-010-9169-0|issue=4}}</ref>

==== Geometrie sferică ====
{{main|Geometrie sferică }}
[[File:Triangle sphérique.svg|thumb|Triunghi sferic]]
Pentru orice triunghi dreptunghic aflat pe o sferă de rază ''R'' (de exemplu, dacă γ din figură este un unghi drept), de laturi ''a'', ''b'', ''c'', relația dintre laturi ia următoarea formă:<ref name=O'Neill>
{{cite book |title=Elementary differential geometry |author=Barrett O'Neill |url=http://books.google.com/?id=OtbNXAIve_AC&pg=PA441 |chapter=Exercise 4 |page=441 |isbn=0-12-088735-5 |year=2006 |edition=2nd |publisher=Academic Press}}
</ref>

:<math> \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\cos \left(\frac{b}{R}\right).</math>

Această relație poate fi dedusă ca un fiind caz special al teoremei cosinusului sferic, care se aplică tuturor triunghiurilor sferice:

:<math> \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\cos \left(\frac{b}{R}\right) +\sin\left(\frac{a}{R}\right) \sin\left(\frac{b}{R}\right) \cos \gamma \ .</math>

Prin explicitarea [[Serie Taylor|seriilor Maclaurin]] pentru funcția cosinus ca o expansiune asimptotică<!-- cu termenul rămas în cota superioară asimptotică-->,

:<math> \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \text{ când } x \to 0\ ,</math>

se poate arăta faptul că în timp ce raza ''R'' se apropie de infinit și argumentele ''a/R'', ''b/R'' și ''c/R'' tind către zero, relația sferică dintre laturile unui triunghi dreptunghic se apropie de forma euclidiană a teoremei lui Pitagora. Substituind expansiunea asimptotică pentru fiecare dintre cosinusuri în relația sferică pentru un triunghi dreptunghic se obține

:<math>1-\frac{1}{2}\left(\frac{c}{R}\right)^2 + O\left(\frac{1}{R^4}\right) = \left[1-\frac{1}{2}\left(\frac{a}{R}\right)^2 + O\left(\frac{1}{R^4}\right) \right]\left[1-\frac{1}{2}\left(\frac{b}{R}\right)^2 + O\left(\frac{1}{R^4}\right) \right] \text{ când }R\to\infty\ .</math>

<!--Constantele ''a''<sup>4</sup>, ''b''<sup>4</sup> și ''c''<sup>4</sup> have been absorbed into the big ''O'' remainder terms since they are independent of the radius ''R''. This asymptotic relationship can be further simplified by multiplying out the bracketed quantities, cancelling the ones, multiplying through by −2, and collecting all the error terms together:

:<math>\left(\frac{c}{R}\right)^2 = \left(\frac{a}{R}\right)^2 + \left(\frac{b}{R}\right)^2 + O\left(\frac{1}{R^4}\right)\text{ as }R\to\infty\ .</math>

After multiplying through by ''R''<sup>2</sup>, the Euclidean Pythagorean relationship ''c''<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> is recovered in the limit as the radius ''R'' approaches infinity (since the remainder term tends to zero):

:<math>c^2= a^2 + b^2 + O\left(\frac{1}{R^2}\right)\text{ as }R\to\infty\ .</math>
-->

==== Geometrie hiperbolică ====
{{main|Geometrie hiperbolică }}
[[File:Hyperbolic triangle.svg|thumb|[[Triunghi hiperbolic]]]]
Pentru un triunghi dreptunghic în geometria hiperbolică, cu laturile  ''a'', ''b'', ''c'' iar ''c'' fiind latura opusă unghiului drept, relația dintre laturi ia următoarea formă:<ref name=Stahl>

{{cite book |title=The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry |author=Saul Stahl |page=122 |url=http://books.google.com/?id=TABicHVMQhMC&pg=PA122 |chapter=Theorem 8.3| isbn=0-86720-298-X |year=1993 |publisher=Jones & Bartlett Learning}}

</ref>

:<math> \cosh c=\cosh a\,\cosh b</math>

unde cosh este [[funcție hiperbolică|cosinusul hiperbolic]]. Această formulă este o formă specială a legii cosinusului hiperbolic care se aplică tuturor triunghiurilor hiperbolice:<ref name=Gilman>

{{cite book |title=Two-generator discrete subgroups of PSL(2,R) |author=Jane Gilman |url=http://books.google.com/?id=YRFz9Zj_vAAC&pg=PA74 |chapter=Hyperbolic triangles |isbn=0-8218-0361-1 |year=1995 |publisher=American Mathematical Society Bookstore}}

</ref>

:<math>\cosh c = \cosh a \ \cosh b - \sinh a \ \sinh b \ \cos \gamma \ , </math>

unde γ este unghiul format la vârful opus laturii ''c''.

Folosind [[Serie Taylor|serii Maclaurin]] pentru cosinusul hiperbolic, {{nowrap|cosh ''x'' ≈ 1 + ''x''<sup>2</sup>/2}}, se poate arăta faptul că dacă un triunghi hiperbolic devine foarte mic (anume, când ''a'', ''b'' și ''c'' tind spre zero), relația hiperbolică pentru un triunghi dreptunghic se apropie de teorema lui Pitagora.

=== Geometrie diferențială ===
{{Articol principal|Geometrie diferențială}}

[[File:Line elements2.svg|thumb|Distanța între puncte separate infinitezimal în coordonate carteziene (sus) și coordonate polare (jos), conform teoremei lui Pitagora.]]

La un nivel infinitezimal, în spațiul tridimensional, teorema lui Pitagora descrie distanța dintre două puncte separate infinitezimal ca:

:<math>ds^2 = dx^2 + dy^2 +dz^2,\, </math>

unde ''ds'' este elementul distanței iar (''dx'', ''dy'', ''dz'') sunt componentele vectorului ce separă cele două puncte. Un asemenea spațiu se numește [[spațiu euclidian]]. Totuși, o generalizare a acestei expresii, folositoare pentru coordonate generale (nu doar carteziene) și spații generale (nu doar euclidiene) iau forma:<ref name=Chow>{{cite book |title=Mathematical methods for physicists: a concise introduction |author=Tai L. Chow |page=52 |url=http://books.google.com/?id=MpRXPOYZzfUC&pg=PA52 |isbn=0-521-65544-7 |year=2000 |publisher=Cambridge University Press }}{{Legătură nefuncțională|date=februarie 2023 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>

:<math>ds^2 = \sum_{i,j}^n g_{ij}\, dx_i\, dx_j </math>

unde {{nowrap|''g''<sub>''ij''</sub>}} se numește tensor metric. Poate fi o funcție de poziție. Astfel de spații curbe includ [[geometrie riemanniană|geometria lui Riemann]] ca exemplu general. Această formulare de asemenea se aplică unui spațiu euclidian când sunt folosite [[coordonate curbilinii]]. De exemplu, în [[coordonate polare]]:

:<math>ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 \ . </math>

==În cultura populară==
[[File:UniversumUNAM18.JPG|thumb|Expoziție referitoare la teorema lui Pitagora la Muzeul Universum din Mexico City.]]
<!--pentru unele surse se pot găsi traduceri, doar la nevoie-->
Teorema lui Pitagora se reflectă în cultura populară într-o mare varietate:
* [[Hans Christian Andersen]] a scris în [[1831]] un poem referitor la această teoremă: ''Formens Evige Magie (Et poetisk Spilfægteri)''.<ref>[http://visithcandersen.dk/d-hca-formens-magi.htm H.C. Andersen: ''Formens evige Magie'' (1831)], visithcandersen.dk</ref>
* Un vers din cântecul [[:en:Major-General's Song|Major-General's Song]] de [[Gilbert și Sullivan]] din lucrarea de operă comică ''[[:en:The Pirates of Penzance|The Pirates of Penzance]]'', "About binomial theorem I'm teeming with a lot o' news, With many cheerful facts about the square of the hypotenuse", face referire la teoremă.<ref>{{harvtxt|Maor|2007}}, p. 47.</ref>
* Personajul Sperietoarea de ciori din filmul ''[[Vrăjitorul din Oz (film din 1939)|Vrăjitorul din Oz]]'' face o referire și mai specifică la teoremă, spunând o versiune greșită și distorsionată a acesteia: "The sum of the square roots of any two sides of an isosceles triangle is equal to the square root of the remaining side. Oh, joy! Oh, rapture! I've got a brain!"<ref>{{cite web|url=http://www.imdb.com/title/tt0032138/quotes?qt0409923|title=The Scarecrow's Formula |work=Internet Movie Data Base |accessdate=25 martie 2015}}</ref><ref>{{cite book|last=Singh|first=Simon|title=The Simpsons and Their Mathematical Secrets}}</ref>
* În 2000, [[Uganda]] a emis o monedă în forma unui triunghi dreptunghic isoscel. Pe revers este reprezentată o imagine a lui Pitagora și relația α<sup>2</sup> + β<sup>2</sup> = γ<sup>2</sup>, împreună cu mențiunea "PYTHAGORAS MILLENNIUM".<ref>{{cite web |url=http://www.ngccoin.com/price-guide/world/uganda-2000-shillings-km-72-2000-cuid-44480-duid-126324 |title=Uganda 2000 Shillings |publisher=Numismatic Guaranty Corporation |accessdate=2014-06-13}}</ref><ref>{{cite web |url=http://homepage.sefanet.ch/meylan-sa/saviez-vous1.htm |title=Le Saviez-vous? |accessdate=2015-03-12 |archive-date=2009-09-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090921060307/http://homepage.sefanet.ch/meylan-sa/saviez-vous1.htm |dead-url=yes }}</ref>
* [[Grecia]], [[Japonia]], [[San Marino]], [[Sierra Leone]] și [[Surinam]] au emis [[marcă poștală|mărci poștale]] cu referire la Pitagora și teorema sa.<ref>{{cite web|url=http://jeff560.tripod.com/stamps.html|title=Images of Mathematicians on Postage Stamps|first=Jeff|last=Miller|date=2007-08-03|accessdate=2010-07-18}}</ref>
* În romanul de ficțiune speculativă a lui [[Neal Stephenson]],  ''[[Anathem]]'', teorema lui Pitagora este denumită ''teorema Adrakhonică''. O demonstrație a teoremei este proiectată pe o laterală a unei nave extraterestre pentru a demonstra înțelegerea matematică a extratereștrilor.

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
===Engleză===
<!--
* ''Mică Enciclopedie de Matematică'', traducere după KLEINE ENZIKLOPADIE DER MATHEMATIK, sixth edition, VEB Bibliographic Institute Leipzig, 1971, cu completări din MATHEMATICS AT A GLANCE, 1975.
* Anton Dumitriu, ''Istoria Logicii'', vol. 1, Editura Tehnică, București 1993.
-->
{{refbegin}}
* {{Cite book |last=Bell |first=John L. |url=http://publish.uwo.ca/~jbell/ |title=The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development |publisher=Kluwer |year=1999 |isbn=0-7923-5972-0|ref=harv}}
* {{Cite book |last=Euclid |title= The Elements (3 vols.) |editor=Translated by Johan Ludvig Heiberg with an introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath|publisher=Dover |edition=Reprint of 1908 |year= 1956 |volume= Vol. 1 (Books I and II)|isbn= 0-486-60088-2|ref=harv}} On-line text at [http://books.google.com/books?id=UhgPAAAAIAAJ&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Euclid]
*{{cite book |title=A History of Greek Mathematics (2 Vols.)|last=Heath |first=Sir Thomas |publisher= Clarendon Press, Oxford |url=http://books.google.com/?id=h4JsAAAAMAAJ&pg=PA144 |page=144 ''ff'' |chapter=The 'Theorem of Pythagoras' |year=1921 |edition= Dover Publications, Inc. (1981) |isbn= 0-486-24073-8|ref=harv}}
<!-- * {{Cite book |last= Kaplan|first=Robert and Ellen| title=Hidden Harmonies: The Lives and Times of the Pythagorean Theorem |location=New York, NY |publisher=Bloomsbury Press |url=http://www.bloomsburypress.com/books/catalog/hidden_harmonies_hc_220 |year=2011 |isbn=978-1-59691-522-0|ref=harv }} -->
*{{cite book |title=Euclidean and transformational geometry: a deductive inquiry |last=Libeskind |first=Shlomo |url=http://books.google.com/books?id=6YUUeO-RjU0C&pg=PA41 |isbn=0-7637-4366-6 |year=2008 |publisher=Jones & Bartlett Learning|ref=harv}} This high-school geometry text covers many of the topics in this WP article.
* {{Cite book |last=Loomis |first=Elisha Scott |title=The Pythagorean proposition|edition= 2nd |publisher= The National Council of Teachers of Mathematics |year=1968 |isbn=978-0-87353-036-1|ref=harv}} For full text of 2nd edition of 1940, see {{cite web|url=http://www.eric.ed.gov/PDFS/ED037335.pdf|author=Elisha Scott Loomis |title=The Pythagorean proposition: its demonstrations analyzed and classified, and bibliography of sources for data of the four kinds of proofs |accessdate=2010-05-04 |work=[[Education Resources Information Center]] |publisher=[[Institute of Education Sciences]] (IES) of the [[U.S. Department of Education]] }} Originally published in 1940 and reprinted in 1968 by National Council of Teachers of Mathematics, isbn=0-87353-036-5.
* {{Cite book |last= Maor |first=Eli |title=The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History |location=Princeton, New Jersey |publisher=Princeton University Press |url=http://books.google.com/?id=Z5VoBGy3AoAC&printsec=frontcover&q |year=2007 |isbn=978-0-691-12526-8|ref=harv}}
* {{Cite book |last=Stillwell |first=John |title=Mathematics and Its History |publisher= Springer-Verlag |year=1989 |isbn=0-387-96981-0|ref=harv}} Also ISBN 3-540-96981-0.
*{{Cite book |last=Swetz |first= Frank |last2=Kao, T. I. |title=Was Pythagoras Chinese?: An Examination of Right Triangle Theory in Ancient China |publisher= Pennsylvania State University Press |year=1977 |isbn= 0-271-01238-2 |ref=harv }}
*{{Cite book |last=van der Waerden |first=Bartel Leendert |title=Geometry and Algebra in Ancient Civilizations |publisher=Springer |year=1983 |isbn=3-540-12159-5 |url=http://books.google.com/?id=_vPuAAAAMAAJ&q=%22Pythagorean+triples%22++%22Babylonian+scribes%22+inauthor:van+inauthor:der+inauthor:Waerden&dq=%22Pythagorean+triples%22++%22Babylonian+scribes%22+inauthor:van+inauthor:der+inauthor:Waerden&cd=1 |ref=harv}}
* Alfred S. Posamentier: ''The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty''. Prometheus Books 2010, ISBN 978-1-61614-181-3.
{{refend}}
===Alte limbi===
* Anna M. Fraedrich: ''Die Satzgruppe des Pythagoras.'' Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1994, ISBN 3-86025-669-6.
* Hans Schupp: ''Elementargeometrie.'' UTB, Stuttgart 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 114–118.
* [[Alexander K. Dewdney]]: ''Reise in das Innere der Mathematik.'' Birkhäuser, Berlin 2000, ISBN 3-7643-6189-1, S. 47–76.

==Legături externe==
{{Portal|Matematică}}
* {{commonscat-inline|Pythagorean theorem}}
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml The Pythagorean theorem: Teorema lui Pitagora] (peste 70 de demonstrații ale teoremei, în engleză)
* [http://matepedia.ro/teorema-lui-pitagora/ Teorema lui Pitagora] (în română)
* Legături interactive:
** [http://www.sunsite.ubc.ca/LivingMathematics/V001N01/UBCExamples/Pythagoras/pythagoras.html Demonstrație interactivă] în [[Java (limbaj de programare)|Java]]
** [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Perigal.shtml O altă demonstrație interactivă] în Java
** [http://www.mathopenref.com/pythagorastheorem.html Teorema lui Pitagora] cu animație interactivă
** [http://math.ucr.edu/~jdp/Relativity/Pythagorus.html Animat, fără algebră] Teorema lui Pitagora
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PrintHT/Babylonian_Pythagoras.html Subiect istoric: Teorema lui Pitagora în matematica babiloniană] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110606082111/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PrintHT/Babylonian_Pythagoras.html |date=2011-06-06 }}
* {{springer|title=Pythagorean theorem|id=p/p075940}}
* {{MathWorld|title=Pythagorean theorem|urlname=PythagoreanTheorem}}
*{{cite book
 | last = Euclid
 | title = Elements
 | origyear = c. 300 BC
 | url = http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html
 | accessdate = 2006-08-30
 | year = David E. Joyce, ed. 1997
 }} In HTML with Java-based interactive figures.

{{Control de autoritate}}
[[Categorie:Teoreme de geometrie|Pitagora, Teorema lui]]
[[Categorie:Geometrie]]