Vizualizare sursă pentru „Teorema lui Jordan”

{{de verificat|informația}}
O [[Funcție (matematică)|funcție]] <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> este cu variație mărginită pe <math>[a,b]</math> [[dacă și numai dacă]] ea se reprezintă ca diferența a două funcții crescătoare.

==Proprietăți==

# Pentru orice funcție <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math>, următoarele afirmații sunt echivalente:
##<math>f</math> este cu variație mărginită pe <math>[a,b]</math>;
##<math>f=g-h</math>, cu <math>g,h</math> strict crescătoare;
##<math>f=g-h</math>, cu <math>g,h</math> strict crescătoare și pozitive;
##<math>f=g-h</math>, cu <math>g,h</math> strict descrescătoare și negative;
##<math>f=g-h</math>, cu <math>g,h</math> strict descrescătoare;
##<math>f=g-h</math>, cu <math>g,h</math> descrescătoare;
#Pentru orice funcție <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math>, următoarele afirmații sunt echivalente:
##<math>f</math> este cu variație mărginită pe <math>[a,b]</math>;
##<math>f</math> se reprezintă ca diferența a două funcții monotone de același sens;
##<math>f</math> se reprezintă ca diferența a două funcții strict monotone de același sens.
#Orice funcție cu variație mărginită este o funcție riglată.
#Mulțimea punctelor de discontinuitate ale unei funcții <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> cu variație mărginită  este cel mult numărabilă.
#Subspațiul vectorial generat de mulțimea funcțiilor monotone este mulțimea funcțiilor cu variație mărginită.
#Mulțimea funcțiilor <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> monotone nu este un spațiu vectorial, căci diferența a două funcții monotone nu este neapărat monotonă.

== Bibliografie ==
* M. Megan, ''Bazele analizei matematice'', Editura Eurobit.

[[Categorie:Funcții matematice]]
[[Categorie:Analiză matematică]]
[[Categorie:Topologie]]