Vizualizare sursă pentru „Teorema lui Cramer (curbe algebrice)”

În [[geometrie algebrică |geometria algebrică]] '''teorema lui Cramer asupra curbelor algebrice''' oferă numărul {{ill-wd| Q875267||necesar și suficient}} de puncte dintr-un plan (reprezentat în [[coordonate carteziene]]) care se află pe o {{ill-wd| Q266237||curbă algebrică}} și care determină în mod unic curba în cazuri [[degenerare (matematică) |nedegenerate]]. Acest număr este
:<math>\frac {n(n+3)} 2,</math>
unde {{mvar|n}} este [[gradul unui polinom |gradul]] curbei. Teorema a fost publicată de [[Gabriel Cramer]] în 1750.<ref>{{en icon}} {{google books|HzcVAAAAQAAJ|Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques}}. Geneva: Frères Cramer & Cl. Philibert, 1750</ref>

De exemplu, o [[dreaptă]] (care are gradul 1) este determinată de 2 puncte distincte de pe ea: o singură dreaptă trece prin acele două puncte. La fel, o [[conică]] nedegenerată [[poziția generală|oarecare]] ([[ecuație polinomială]] în {{mvar|x}} și {{mvar|y}} cu suma puterilor lor care în orice termen nu depășește 2, prin urmare fiind de gradul&nbsp;2) este determinată în mod unic de 5 puncte (dintre care nu există trei [[coliniar]]e).

Intuiția cazului conicelor este următoarea: fie presupunerea că punctele date se află, de exemplu, pe o [[elipsă]]. Atunci sunt necesare și suficiente cinci informații pentru a identifica elipsa&nbsp;— poziția centrului elipsei pe orizontală, pe verticală, lungimea [[semiaxa mare |axei mari]] (lungimea celei mai lungi [[coardă (geometrie) |coarde)]], a [[axa mică |axei mici]] (lungimea celei mai scurte coarde prin centru, [[perpendicularitate |perpendiculară]] pe axa mare) și [[rotație (matematică) |orientarea de rotație]] a elipsei ([[unghi]]ul pe care-l face axa mare cu axa {{mvar|Ox}}). Cinci puncte în poziție generală sunt suficiente pentru a furniza aceste cinci informații, în timp ce patru puncte nu.

== Obținerea formulei ==
Numărul de termeni diferiți (inclusiv cei cu un coeficient zero) dintr-o ecuație de gradul {{mvar|n}} în două variabile este <math>(n+1)(n+2)/2.</math> Acest lucru se datorează faptului că termenii de gradul {{mvar|n}} sunt <math>x^n, \, x^{n-1}y^1, \, \dots , \, y^n,</math> adică sunt <math>n+1</math> termeni. Termenii de gradul <math>n-1</math> sunt <math>x^{n-1}, \, x^{n-2}y^1, \, \dots , \, y^{n-1},</math> adică {{mvar|n}} termeni. Și tot așa până la temenii de gradul întâi, <math>x</math> și <math>y,</math> adică 2 termeni și 1 termen de gradul 0 ([[termen constant |constanta]]). Suma numerelor termenilor este <math>(n+1)+n+(n-1)+ \, \dots \,+2+1 = (n+1)(n+2)/2,</math> fiecare cu propriul său [[coeficient]]. Totuși, unul dintre acești coeficienți este redundant la determinarea curbei, deoarece putem întotdeauna împărți ecuația polinomială cu oricare dintre coeficienți, dând o ecuație echivalentă cu un coeficient cu [[valoare (matematică) |valoarea]] 1, astfel rămânând, <math>\left[(n+1)(n+2)/2\right]-1 = n(n+3)/2</math> coeficienți.

De exemplu, o ecuație de gradul 4 are forma generală
:<math>x^4+c_1x^3y+c_2x^2y^2+ c_3xy^3+c_4y^4+c_5x^3+c_6x^2y+c_7xy^2+c_8y^3+c_9x^2+c_{10}xy+c_{11}y^2+c_{12}x+c_{13}y+c_{14}=0,</math>
cu <math>4(4+3)/2 = 14</math> coeficienți.

Determinarea unei curbe algebrice printr-un set de puncte constă în determinarea valorilor acestor coeficienți în ecuația algebrică astfel încât fiecare dintre puncte să satisfacă ecuația. Fiind date <math>n(n+3)/2</math> puncte <math>(x_i,\,y_i),</math> fiecare dintre aceste puncte poate fi folosit pentru a crea o ecuație separată prin substituirea acesteia în ecuația polinomială generală de gradul {{mvar|n}}, obținându-se în total <math>n(n+3)/2</math> ecuații liniare cu <math>n(n+3)/2</math> coeficienți necunoscuți. Dacă acest sistem este nedegenerat în sensul că are un [[determinant (matematică) |determinant]] diferit de zero, coeficienții necunoscuți sunt determinați în mod unic și, prin urmare, [[ecuație polinomială |ecuația polinomială]] și curba sa sunt determinate în mod unic. Mai mult decât acest număr de puncte ar fi redundant, iar mai puține ar fi insuficiente pentru a rezolva sistemul de ecuații în mod unic pentru coeficienți.

== Cazuri degenerate ==
Un exemplu de caz degenerat, în care <math>n(n+3)/2</math> puncte de pe curbă nu sunt suficiente pentru a determina curba în mod unic, a fost oferit de Cramer ca parte a [[paradoxul lui Cramer |paradoxului lui Cramer]]. Fie gradul {{mvar|n}}&nbsp;=&nbsp;3, iar nouă puncte să fie toate combinațiile de <math>x=-1,\,0,\,1</math> și <math>y=-1,\,0,\,1</math>. Toate aceste puncte sunt conținute nu doar de o singură cubică, ci toate cubicele cu ecuația <math>a(x^3-x) +b(y^3-y)=0.</math> Deci aceste puncte nu determină o cubică unică, chiar dacă există <math>n(n+3)/2 = 9</math> puncte. În general există infinit de multe cubice care trec prin cele nouă puncte de intersecție a două cubice ([[teorema lui Bézout]] implică faptul că două cubice au, în general, nouă puncte de intersecție).

De asemenea, pentru cazul conicelor, la care {{mvar|n}} = 2, dacă trei din cinci puncte date se află pe aceeași dreaptă, este posibil să nu determine în mod unic curba.

== Cazuri restricționate ==
Dacă curba trebuie să fie într-o anumită subcategorie de ecuații polinomiale de gradul {{mvar|n}}, atunci pot fi necesare și suficiente mai puțin de <math>n(n+3)/2</math> puncte pentru a determina o curbă unică. De exemplu, '''trei puncte (necoliniare) determină un cerc''': [[cercul]] generic este dat de ecuația <math>(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 </math> unde centrul este situat în ({{mvar|a, b}}) iar [[rază |raza]] este {{mvar|r}}. Echivalent, prin dezvoltarea termenilor la pătrat, ecuația generică devine <math>x^2-2ax+y^2-2by=k,</math> unde <math>k=r^2-a^2-b^2 .</math> Două restricții au fost impuse aici în comparație cu cazul conicelor în general cu {{mvar|n}}&nbsp;=&nbsp;2: coeficientul termenului în {{mvar|xy}} este restricționat la 0, iar coeficientul a lui {{mvar|y}}<sup>2</sup> este același cu cel al lui {{mvar|x}}<sup>2</sup>. Astfel, în loc să fie nevoie de cinci puncte, sunt necesare doar 5&nbsp;–&nbsp;2&nbsp;=&nbsp;3, coincizând cu cei 3 parametri {{mvar|a}},&nbsp;{{mvar|b}},&nbsp;{{mvar|k}} (equivalent {{mvar|a}},&nbsp;{{mvar|b}},&nbsp;{{mvar|r}}) care trebuie deteminați.

== Note ==
<references />

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Algebră]]
[[Categorie:Geometrie analitică]]