Vizualizare sursă pentru „Teorema lui Abel”

În [[matematică]], '''Teorema lui Abel''' pentru [[Serie de puteri|seriile de puteri]] leagă limita unei serii de puteri de suma coeficienților acesteia. A fost denumită astfel în cinstea matematicianului norvegian [[Niels Henrik Abel]].

==Teorema==
Fie <math> a\,=\,\{a_i, i \ge 0 \}</math> un șir de numere [[Număr real|reale]] sau [[Număr complex|complexe]] și fie

:<math>G_a(z)\,=\,\sum_{i=0}^{\infty} a_i z^i</math>

o serie de puteri cu coeficienții ''a''. Dacă seria <math>\sum_{i=0}^{\infty} a_i</math> este convergentă, atunci

:<math>\lim_{z\rightarrow 1^-} G_a(z) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i.\qquad (*)</math>

În cazul special în care toți coeficienții <math>a_i</math> sunt reali și pozitivi, atunci formula (*) este valabilă și când seria  <math>\sum_{i=0}^{\infty} a_i</math> nu este convergentă, în sensul că în acest caz ambele părți ale ecuației sunt egale între ele și egale cu <math>+\infty</math>.

==Observație==

Într-o versiune mai generală a teoremei, dacă ''r'' este orice număr real nenul pentru care seria <math>
\sum_{i=0}^\infty a_i r^i
</math> este convergentă, atunci rezultă că

:<math>\lim_{z\to r} G_a(z) = \sum_{i=0}^{\infty} a_ir^i</math>

dacă se interpretează limita din această formulă ca [[limita laterală]], la stânga dacă ''r'' este pozitiv și la dreapta dacă ''r'' este negativ.

==Aplicații==

Utilitatea teoremei lui Abel este aceea că permite găsirea limitei unei serii de puteri când [[argumentul unei funcții|argumentul]] său (''z'') tinde crescător către 1, chiar și în cazurile când [[raza de convergență]], ''R'', a seriei de puteri este chiar 1 și nu putem fi siguri dacă limita ar trebui să fie finită sau nu. 

''G''<sub>''a''</sub>(''z'') se numește [[funcție generatoare]] a șirului ''a''. Teorema lui Abel este adesea utilă în tratarea funcțiilor generatoare de șiruri cu valori reale nenegative, cum ar fi [[Funcție generatoare de probabilități|funcțiile generatoare de probabilități]]. În particular, este utilă în teoria [[Procese Galton-Watson|proceselor Galton-Watson]].

== Vezi și ==
* [[Lema lui Abel]]
[[Categorie:Analiză matematică]]