Vizualizare sursă pentru „Teorema Wedderburn–Artin”

În [[algebră]], '''teorema Wedderburn–Artin''' este o [[Teorema de clasificare|teoremă de clasificare]] pentru [[modul semisimplu|inele semisimple]] și [[Algebra semisimpla|algebre semisimple]]. Teorema afirmă că un inel semisimplu (artinian){{Efn|Din definiția folosită aici, [[Inel semisimplu|inelele semisimple]] sunt automat [[Inel artinian|artiniene]]. Totuși, unii autori folosesc termenul „semisimplu” diferit, cu sensul că inelul are un [[Radical Jacobson|radical Jacobson]] trivial. Pentru inelele artiniene, cele două noțiuni sunt echivalente, deci cuvântul „artinian” este inclus aici pentru a elimina ambiguitatea.}} ''R'' este izomorf cu un [[Produs din inele|produs]] finit de [[inel de matrici|inele de matrici]] de tip {{nowrap|''n''{{sub|''i''}} × ''n''{{sub|''i''}}}} cu elemente în [[Corp (matematică)|corpuri]] {{Math|''D''{{sub|''i''}}}}, pentru niște numere întregi {{Math|''n''{{sub|''i''}}}}, ambele fiind determinate în mod unic până la permutarea indicelui {{Mvar|i}}. În particular, orice [[Inel simplu|inel]] [[Inel artinian|artinian]] simplu la stânga sau la dreapta este izomorf cu un [[inel de matrici]] de tip {{nowrap|''n'' × ''n''}} cu elemente într-un [[Corp (matematică)|corp]] ''D'', unde atât ''n'', cât și ''D'' sunt unic determinate.{{Sfn|Beachy|1999}}

== Teorema ==
Fie {{Mvar|R}} un [[modul semisimplu|inel semisimplu]] (artinian). Atunci teorema Wedderburn–Artin afirmă că {{Mvar|R}} este izomorf cu un produs finit de [[inel de matrici|inele de matrici]] de tip {{nowrap|''n''{{sub|''i''}} × ''n''{{sub|''i''}}}} cu elemente în [[Corp (matematică)|corpuri]] {{Math|''D''{{sub|''i''}}}} (adică <math>M_{n_i}(D_i)</math>), pentru niște numere întregi {{Math|''n''{{sub|''i''}}}}, ambele fiind unic determinate până la permutarea indicelui {{Mvar|i}}.

Există, de asemenea, o versiune a teoremei Wedderburn–Artin pentru algebre peste un [[Corp comutativ|corp]] {{Mvar|k}}. Dacă {{Mvar|R}} este o {{Mvar|k}}-algebră semisimplă de dimensiune finită, atunci fiecare {{Math|''D''{{sub|''i''}}}} din afirmația de mai sus este o [[algebră cu diviziune]] finit dimensională peste {{Mvar|k}}. [[Centru (teoria inelelor)|Centrul]] fiecărui {{Math|''D''{{sub|''i''}}}} nu trebuie să fie neapărat {{Mvar|k}}; ar putea fi o [[Gradul unei extinderi de corp|extindere finită]] a lui {{Mvar|k}}.

De remarcat că dacă {{Mvar|R}} este o algebră simplă de dimensiune finită peste un inel cu diviziune ''E'', ''D'' nu trebuie să fie neapărat conținut în ''E''. De exemplu, inelele de matrici cu elemente [[Număr complex|numere complexe]] sunt algebre simple de dimensiune finită peste [[Număr real|numerele reale]].

== Demonstrație ==
Există mai multe [[Demonstrație matematică|demonstrații]] ale teoremei Wedderburn–Artin.{{Sfn|Henderson|1965}}{{Sfn|Nicholson|1993}} Una modernă clasică{{Sfn|Cohn|2003}} folosește următoarea abordare.

Presupunem că inelul <math>R</math> este semisimplu. Atunci <math>R</math>-modulul la dreapta <math>R_R</math> este izomorf cu o sumă directă finită de [[modul simplu|module simple]] (care sunt același lucru cu [[Ideal (teoria inelelor)|idealele]] drepte minimale ale lui <math>R</math>). Această sumă directă se scrie ca

: <math>
  R_R \;\cong\; \bigoplus_{i=1}^m I_i^{\oplus n_i},
</math>

unde <math>I_i</math> sunt <math>R</math>-module simple la dreapta neizomorfe, al {{Mvar|i}}-lea apărând cu multiplicitate <math>n_i</math>. Acest lucru dă un izomorfism de inele de [[endomorfism|endomorfisme]]

: <math>
  \mathrm{End}(R_R) 
 \;\cong\; 
 \bigoplus_{i=1}^m \mathrm{End}\big(I_i^{\oplus n_i}\big) 
</math>

și putem identifica <math>\mathrm{End}\big(I_i^{\oplus n_i}\big)</math> cu un inel de [[Matrice|matrici]]

: <math>
 \mathrm{End}\big(I_i^{\oplus n_i}\big) \;\cong\; M_{n_i}\big(\mathrm{End}(I_i)\big), 
</math>

unde inelul de endomorfisme <math>\mathrm{End}(I_i)</math> al lui <math>I_i</math> este un corp conform [[lema lui Schur|lemei lui Schur]], deoarece <math>I_i</math> este simplu. Cum <math>R \cong \mathrm{End}(R_R)</math> concluzionăm că

: <math>
 R \;\cong\; 
 \bigoplus_{i=1}^m M_{n_i}\big(\mathrm{End}(I_i)\big) 
 .
</math>

Aici s-au folosit module la dreapta deoarece <math>R \cong \mathrm{End}(R_R)</math>; dacă s-ar folosi module la stânga, <math>R</math> ar fi izomorf cu [[Opus algebrei|algebra opusă]] a lui <math>\mathrm{End}({}_R R)</math>, dar demonstrația ar rămâne valabilă. Pentru a vedea această demonstrație într-un context mai larg, se poate consulta [[Descompunerea unui modul]]. Pentru demonstrația unui caz particular important se poate vedea [[Inel artinian|Inel Artinian simplu]].

== Consecințe ==
Deoarece o algebră finit dimensională peste un corp este artiniană, teorema Wedderburn-Artin implică faptul că orice [[Inel simplu|algebră simplă]] finit dimensională peste un corp este izomorfă cu un [[inel de matrici]] de tip {{nowrap|''n'' × ''n''}} cu elemente într-o algebră cu diviziune ''D'' peste <math> k </math>, unde atât ''n'' cât și ''D'' sunt unic determinate.{{Sfn|Beachy|1999}} Acest lucru a fost demonstrat de [[Joseph Wedderburn]]. [[Emil Artin]] a generalizat ulterior acest rezultat la cazul [[Inel artinian|inelelor artiniane]] simple la stânga sau la dreapta.

Deoarece singura algebră cu diviziune finit dimensională peste un [[corp algebric închis]] este însuși corpul, teorema Wedderburn-Artin are consecințe puternice în acest caz. Fie {{Mvar|R}} un [[modul semisimplu|inel semisimplu]] care este o algebră finit dimensională peste un corp algebric închis <math> k </math>. Atunci {{Mvar|R}} este un produs finit <math>\textstyle \prod_{i=1}^r M_{n_i}(k) </math> unde <math> n_i </math> sunt numere întregi pozitive și <math> M_{n_i}(k) </math> este algebra de matrici de tip <math> n_i \times n_i </math> cu elemente în <math> k </math>.

În plus, teorema Wedderburn–Artin reduce problema clasificării [[Algebră centrală simplă|algebrelor simple centrale]] finit dimensionale peste un corp <math> k </math> la problema clasificării algebrelor cu diviziune '''centrale''' finit dimensionale peste <math> k </math>: adică algebrele cu diviziune peste <math> k </math> al cărui centru este <math> k </math>. Aceasta implică faptul că orice algebră simplă centrală finit dimensională peste <math> k </math> este izomorfă cu o algebră de matrici <math>\textstyle M_{n}(D) </math>, unde <math>D</math> este o algebră cu diviziune centrală finit dimensională peste <math> k </math>.

== Note explicative ==
{{Notelist}}

== Note ==
<references />

== Bibliografie == 
{{refbegin}}
* {{cite book
  | last1=Beachy | first1=John A.
  | year=1999
  | title=Introductory Lectures on Rings and Modules
  | url=https://archive.org/details/introductorylect0000beac |url-access=registration
  | publisher=Cambridge University Press
  | isbn=978-0-521-64407-5
  | page=[https://archive.org/details/introductorylect0000beac/page/156 156]
  }}
* {{cite book
  | last1=Cohn | first1=P. M.
  | year=2003
  | title=Basic Algebra: Groups, Rings, and Fields
  | pages = 137–139
  }}
* {{cite journal
  | last1 = Henderson | first1 = D.W.
  | year = 1965
  | title = A short proof of Wedderburn's theorem
  | journal = [[The American Mathematical Monthly]]
  | volume = 72 | issue = 4
  | pages = 385–386
  | doi = 10.2307/2313499
  | jstor = 2313499
  }}
* {{cite journal
  | last1 = Nicholson
  | first1 = William K.
  | year = 1993
  | title = A short proof of the Wedderburn–Artin theorem
  | journal = New Zealand J. Math
  | volume = 22
  | pages = 83–86
  | url = https://www.thebookshelf.auckland.ac.nz/docs/NZJMaths/nzjmaths022/nzjmaths022-01-010.pdf
  | access-date = 2024-06-19
  | archive-date = 2023-10-14
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20231014020535/https://www.thebookshelf.auckland.ac.nz/docs/NZJMaths/nzjmaths022/nzjmaths022-01-010.pdf
  | dead-url = yes
  }}
* {{cite journal
  | last1=Wedderburn | first1=J.H.M. | author-link=Joseph Wedderburn
  | year=1908
  | title=On Hypercomplex Numbers
  | journal=[[Proceedings of the London Mathematical Society]]
  | volume=6
  | pages=77–118
  | doi=10.1112/plms/s2-6.1.77
  | url=https://zenodo.org/record/1447798
  }}
* {{cite journal
  | last=Artin | first=E. | author-link = Emil Artin
  | year=1927
  | journal=[[Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg]]
  | jfm = 53.0114.03
  | doi = 10.1007/BF02952526
  | title=Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen
  | volume=5
  | pages=251–260
  }}
{{refend}}